Ôn luyện kiến thức và kĩ năng môn toán THPT tập 1 đại số và giải tích (bấm nút toàn màn hình để xem đầy đủ)

Các cuốn sách “Ôn /uyệên kiến thúc và kĩ năng môn Toán Tiểu học” và “Ôn luyện kiến thúc và kĩ năng môn Toán THCS” đã được xuất bản và phát hành, nay chúng tôi xin được giới thiệu tiếp

"NGUYÊN KHẮC AN - ĐỖ CÔNG ĐOÁN

'THIÊN HƯƠNG - TRẦN LƯU THỊNH -HỔ LỘC THUẬN

NGUYEN KHÁC AN - ĐỖ CÔNG ĐOÁN

LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG - TRẦN LƯU THỊNH - HỒ NGỌC THUẬN

ÔN LUYỆN KIẾN THỨC VÀ KĨ NĂNG

MÔN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

Công ty cổ phần Dịch vụ xuất bản giáo dục Gia Định —

Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm

Ma sé : C3T04M0

LOI NOI DAU

Cuốn sach On /uyén kién thuc va kinang m6n Toán THPT, tập

một — Đại số và Giải tích này nằm trong bộ sách Ôn /uyện kiến

thúc và kĩ năng môn Toán từ Tiều học đến THPT, gồm bốn

cuốn Nội dung mỗi cuốn sách của bộ sách này nhằm hệ thống

hoá toàn bộ kiến thức về môn Toán của chương trình môn Toán

từ cấp Tiểu học đến cấp Trung học phổ thông, giúp học sinh

trong việc nám vững một cách có hệ thống những kiến thức mới

và củng cố, tra cứu lại những kiến thức cũ đã học

Các cuốn sách “Ôn /uyệên kiến thúc và kĩ năng môn Toán Tiểu

học” và “Ôn luyện kiến thúc và kĩ năng môn Toán THCS” đã

được xuất bản và phát hành, nay chúng tôi xin được giới thiệu

tiếp các cuốn “Ôn /uyện kiến thức và kĩ năng môn Toán THPT”,

gồm hai tập, tập một — Đại số và Giải tích; tập hai — Hình học

Trong cuốn tập một này, toàn bộ kiến thức cơ bản và

những kí năng tối cần thiết của môn Đại số và Giải tích các lớp

10, 11, 12 được hệ thống lại và sắp xếp trong 8 chương để học

sinh và bạn đọc dễ sử dụng Nội dung các chương bao gồm :

— Chương 0 : Kiến thức cơ bản về lượng giác, luỹ thừa, lôgarit

— Chương 1 : Đảng thức, phương trình, hệ phương trình

Mỗi chương, mục được cấu trúc như sau :

thức cơ bản, rất thuận tiện cho người học Các kĩ năng cơ bản

được tổng kết theo từng “Chuyên đẻ”, có phương pháp giải, ví

dụ cụ thể, dễ hiểu, dễ áp dụng mà lại rất cơ bản Phan Bai tap tu’

luyện được biên soạn có hệ thống, các bài tập từ dễ đến khó hơn, từ áp dụng trực tiếp đến suy luận, vận dụng kiến thức tổng

hợp, có hướng dẫn, tự học

Chính vì vậy, các tác giả hi vọng rằng cuốn sách này là tài

liệu quan trọng, là cầm nang học tập với mọi đối tượng học sinh

từ yếu đến khá, giỏi, có thể dùng nó trong quá trình ôn luyện kiến thức THPT, chuẩn bị cho các kì thi tốt nghiệp và thi vào Đại

học — Cao đẳng

Lần dầu tiên viết sách về tổ chức kiến thức và rèn luyện kĩ

năng cho mọi đối tượng học sinh, từ trung bình, khá, giỏi và các thầy, cô giáo, bạn đọc khác vẫn tham khảo tốt được, đòi hỏi nhiều về phương pháp, về tri thức tổng hợp Giáo dục học ; chác

rằng cuốn sách khó tránh khỏi những sai sót, kính mong được bạn đọc góp ý xây dựng

Thư góp ý xin được gửi về theo địa chỉ :

Ban Biên tập Toán — Tin, Công ty cổ phần DVXB Giáo dục

Gia Dinh — Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam tại TP Hồ chí Minh

231 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, TP Hồ Chí Minh

CÁC TÁC GIẢ

r2 KIEN THUC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC, ~ ` = ` ae

0.1 GOC VA CUNG LUONG GIAC

A KIEN THUC CO BAN

1) Đường tròn định hướng và cung lượng giác

— Đường tròn định hướng là một đường tròn mà } +

trên đó ta đã chọn chiều chuyển động để đi từ điểm A

này đến điểm kia của đường tròn, còn gọi là chiều Af -

quay từ điểm này đến điểm kia Ta quy ước chiều

đương là chiều quay ngược với chiều quay của kim Hình 1

đồng hồ, chiều ngược lại là chiều âm (hình 1) B

— Cung lượng giác AB là một cung trên đường

tròn định hướng tạo bởi một điểm M di động trên M

đường tròn luôn theo một chiều từ điểm A đến

điểm B cho trước, điểm A gọi là điểm đầu (điểm A

gốc), điểm B gọi là điểm cuối (điểm ngọn) của cung

lượng giác AB Chú ý rằng khi cho trước các điểm A

và B trên đường tròn định hướng sẽ có vô số cung

lượng giác với điểm đầu là A, điểm cuối là B và đều

động trên đường tròn từ A đến B thì đồng thời

tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OA tới

vị trí OB, ta nói tỉa OM tạo ra một góc lượng

giác, có tia đầu là OA và tia cuối là OB, người ta

kí hiệu góc lượng giác đó là (OA, OB) Như thé ta ay

luôn có sự tương ứng một — một giữa cung lượng 1

giác và góc lượng giác (hình 3) — Đường tròn lượng giác (còn gọi là đường

tròn đơn vị) là đường tròn định hướng có bán

kính bằng 1, có tâm trùng với gốc toạ độ của

mặt phẳng toạ độ Oxy Trên đường tròn ấy, ta

luôn lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường

3) Số đo của cung và góc lượng giác Hình 4

— Số đo của cung lượng giác là số đo của góc lượng giác tương ứng Số do của cung lượng giác và của góc lượng giác có thể mang dấu âm và về trị tuyệt đối có thể lớn hơn 360° (hay 2z), đây là điểm khác biệt giữa “góc lượng giác” và “góc

hình học”

— Ngoài số đo bằng “độ”, người ta còn dùng số đo bằng “radian” (đọc là ra-đi-an)

— 1 radian (1 rađ) là số đo của cung lượng giác có độ dài bằng bán kính đường tròn ấy, như thế cung nửa đường tròn có số đo là x radian, viét la 7 rad

— Quan hệ giữa số đo “độ” và “radian”

— Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau

một bội của 2 hay một bội của 360°

4) Giá trị lượng giác của một cung

~Giả sử trên đường tròn lượng giác cho cung ẤNÑ có số đo bang a, tia cuối

OM cắt đường tròn lượng giác tại điểm M, giả sử toạ độ của M = (x; y) (hình 5) :

+ sin cua a, ki hiéu la sina, la tung độ

của điểm M, như vậy sina = y

+ côsin của ơ, kí hiệu là cosz, là hoành

độ của điểm M, như vậy cosa = x

+ tang cia a, ki hiéu 1a tana, la ti sé

giữa tung độ và hoành độ của điểm M, như

vậy tana=~

x

+ cotang cla o,, ki hiéu 1a cota, là tỉ số

giữa hoành độ và tung độ của điểm M, như

y

Các giá trị sinœ, cosơ, tanœ, cotœ được gọi là các giá trị lượng giác của cung ứ

— Cac giá trị lượng giác của một cung có các tính chất sau :

+ với mọi œ thì |sinơ| < 1; |cosơ| <1

+ tana xac dinh véi moi a aot kn (k EZ)

+ cotz xác định với moi a # kn (k EZ)

— Dấu của các giá trị lượng giác của một cung (xem bảng):

~ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt :

Hai góc đối nhau : ava -a Hai góc bù nhau : ở và Tt - a@

tan(-œ) = -tanœ tan(z-a) = -tana

Hai géc phu nhau: ava > Nói Hai góc hơn kém nhau x

Hai géc hon kém nhau 5

tan( +a) = -cota cot( 5 +0) = =tanœ

— Vài hệ thức lượng cơ bản :

B KINANG CO BAN

1) Phân biệt góc lượng giác và góc hình học

Phương pháp

Góc œ Xác định Chiều quay Don vi do $6 do — d6 lén

Phan mat Không phân Độ 0° <œ<360°

phẳng giới hạn | biệt chiểu quay | „ 1 4g

| bởihaitia giữa hai tia P= sep sóc đầy

hình từ một điểm - hộic 1 180

hình hình học Phần mặt Phân biệt tia Độ và radian Là một số thực, phẳng giới hạn | đầu, tia cuối, 1 radian (1 rad) là |dấu của nó bởi hai tỉa chiều quay từ số đo của cung | tương ứng với

cùng xuất phát | tia đầu đến tia lượng giác có độ chiểu quay từ

Góc | từmột điểm - | cuối (ngược đài bằng bán kính | tia đầu đến tia

lượng gắn với một chiều kim đồng | đường tròn cuối ; các góc side | cung lượng hồ là chiều 18099 có cùng tia

giác, với đương, ngược Irad = (“) đầu, tia cuối đường tròn lại là chiều âm) PM hơn kém nhau

a) Dễ thấy tam giác OAB là tam giác đều, vì vậy độ

đài đây cung AB bằng bán kính đường tròn, bằng 1

b) (OA, OB) = - 60° + k.360° ; AB = 1 (h.6)

A

£À,

2) Liên hệ giữa độ dài của một cung và số đo bằng radian của nó

Phương pháp

Cung có số do œ rad của đường tròn bán kính R có độ đài 1= Ra

Cả đường tròn có số đo 2+ rad, độ dài của đường tròn bán kính R là !=2zR

Ví dụ

a) Trên đường tròn có bán kính R = 30 cm lấy hai điểm A và B sao cho cung

AB có số đo là = - Tìm độ dài của cung AB

a) Đổi các góc sau đây từ độ thành radian : 25°, 46° , ~739

b) Đổi các góc sau đây từ radian thành độ : mẻ rad, ~Frad

giác có chung điểm cuối với điểm đầu A(1; 0) sai khác nhau bội 2z hoặc bội của 3601

— Nhớ điểm cuối của một số cung có số đo đặc biệt như ` & mR om

— Nắm chắc định nghĩa của giá trị lượng giác của một góc

— Xác định đúng điểm cuối trên đường tròn lượng giác của góc đặc biệt đó

~ Giải tam giác vuông để tìm ra các giá trị lượng giác của góc đó

Ví dụ

Tính giá trị lượng giác của góc có số đo bằng : Ệ

Giải

Trên hình vẽ ta thấy điểm cuối M của

cung AM cùng với điểm MỸ là điểm đối xứng

với M qua trục Ox (trục côsin) và gốc toạ độ

© tạo nên một tam giác đều có đường phân

giác là OA Dễ thấy đường cao của tam giác

đều này bằng côsin của góc : (là hoành độ

6) Cho trước một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị còn lại

Nắm được các hệ thức cơ bản, giá trị lượng giác của những cung có liên quan

đặc biệt và các phép biến đổi đại số, biến đổi vế này thành vế kia, vận dụng các điều kiện cho trước (nếu có)

Ví dụ

1+2sinacosa _ sina +cosa

a) Chiing minh rang —>

1+2sinacosa _ sin? a +cos* a+2sinacosa _ (sina + cosa)”

sin” œ — cos” œ s sin? a —cos* a ” (sinơ + cosơ)(sin œ — cosơ)

_ sina +cosa

~ sina cosa”

b) Trong tam gidc ABC ta lu6n cé A+B+C = ø suy ra A+B = œ - C, từ đó :

8) Sử dụng máy tính bỏ túi để chuyển đổi số đo và tính giá trị lượng giác của một góc

Phương pháp

Dùng máy tính bỏ túi có chức năng thực hiện các phép toán phức tạp, chẳng

hạn CASIO fx - 500MS

Ví dụ

a) Chuyển đổi độ thanh radian : chuyển 18942 thành radian

b) Chuyển đổi rađian thành độ : chuyển 3,1 rad thành độ

©) Tính giá trị lượng giác của một góc : sin20°36 và tan m

Giải

a) Ấn liên tiếp MODE chọn Rad (bấm phím 2) để xuất hiện R phía bên phải

phía trên màn hình rồi ấn tiếp 18 o,„ 42 0,,, SHIFT DRG 1 = 0.32637657

b) Ấn liên tiếp MODE chọn Deg (bấm phím 1) để xuất hiện D phía bên phải phía trên màn hình rồi ấn tiếp 3.1 SHIFT DRG 2 = o,„ được 177937

©)

+ Tính sin20°36 : Ấn MODE ba lần rồi ấn liên tiếp các phím 1 sin 20 o,,, 36 0, = được 0,35 (đã làm tròn)

3m + Tính tan 17! Ấn MODE ba lần rồi ấn liên tiếp các phím 2 tan (3 SHIFT x + 17)

5 Tìm độ dài của các cung sau đây trên một đường tròn đường kính 10 m, biết số

đo lần lượt là:

5

6 Dùng máy tính bỏ túi, tính các giá trị lượng giác sau :

a) sin b) cos3,6 c) tan(- 2,5) d) sin42°13

7 Tính giá trị lượng giác của cung œ trong mỗi trường hợp sau đây :

c) tana=-> va —<a<2n d) cota =2,3 va 0<a<—

8 Dùng đường tròn lượng giác, tinh œ biết :

a) sina =-1 b) cosa =0 c) tana=1 đ) cosơ =—l

e) sina=1 f) cosa=1 g) sina=0 h) cota =~-1

10 Trong tam giác ABC, chứng minh các đẳng thức sau :

A+B Cc

=cos—

2

D HUGNG DAN VA DAP SO

Tea) A? = Arad =513° = 213 - 13% (rag) 180 180 180

b) A°= TA rad => 36°12' 660112), 15IK (rad)

3 Sau 1 giờ, kim phút của chiếc đồng hồ quay được 1 vòng (thuận), tức là quay được

360 ° Từ nửa đêm đến 9 giờ sáng là 9 giờ, vậy kim phút quay được một góc

9 x 360° = 3240 ° Theo quy ước góc chiều quay ngược chiều kim đồng hồ là chiều quay dương nên kim phút quay được một góc - 3240°

b)Vìi m<œ< = nén sina < 0, tana va cota déu nhan gid tri duong Từ công thức

sin? a+cos*a=1 suy ra sin? œ=1—cos? œ=1—(—0,27)? =0,9271

Vậy sinơ ~ — 0,963 ; tanơ ~ 3,567, cotơ ~ 0,28

a) sina=-1, a= 4 Oke b) cosa=0, a= F+ke

©) tana=1, a= pike d) cosa=-1, a= x+2k

e) sina=1, a= 5+ 2kn f) cosa=1, a= 2kn

g) sina=0, a=kn h) cota =-1 a= kn,

cos? x cos? x

b) tanx sinx _cotx.tanx _ sinx

ssin? x = tan’ x.sin? x

1—sinˆ œ 1 i sin’ a 7 —tan2 tan’ a

COSỐœ cos*a Cos’ a

1+ tan“ ơ + tan“ œ

“———~=I+2tanÊ œ

1+ tan” œ —tan” œ

10 a) Vì A, B,C là ba góc của một tam giác nên A+B+C = œ, suy ra A+B = 7r- C

Từ đó cos(A +B) = cos(—C) =—cosC (đpcm)

b) Từ A+B+C = r, suy ra as ~z:swy ra sin 28 sig

0.2 BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

A KIEN THUC CO BAN

Khi giải các bài toán về lượng giác ta cần sử dụng một số công thức lượng giác

để biến đổi Để đễ nhớ, ta chia các công thức lượng giác thành các nhóm sau đây :

~ Công thức cơ bản

~— Công thức cộng và công thức nhân

~ Công thức biến đổi (tổng thành tích và tích thành tổng)

2) Công thức cộng và công thức nhân

cos(a + b) = cosa.cos b—sina.sinb

cos(a — b) = cosa.cos b + sina.sinb

sin(a +b) = sina.cosb + cosa.sinb

sin(a — b) = sina.cosb— cosa.sinb

tarflsa: B] tana + tanb

1~ tana.tanb tan(a— B]= tana - tanb

1+ tana.tanb `

ng + ke được suy ra từ T `

Từ những công thức này, thay b bằng a, ta sẽ có công thức góc nhân đôi như sau :

cos2a = cos”a —sin”a = cos2a =2cos°a—1=1—2sin?a (1)

sin2a = 2sinacosa

2tana tan2a = ——-

1-tanˆa

Từ công thức (1) ta lại suy ra được công thức ha bac

2 1+cos2a 2 1—cos2a cos” a = ————— sin’ a=

2 3) Công thức biến đổi

a) Biến đổi tổng thành tích (vế trái là tổng)

b) Biến đổi tích thành tổng (vế trái là tích)

cosa.cosb = 2Ieosa +b)+cos(a — b)]

sina.sinb = ~seos(a +b)—cos(a —b)]

4) Một vai bất đẳng thức lượng giác cơ bản

|sinœ|<1 hay —1<sinơ <1 với mọi œ

|cosơ|<1 hay —1< cosơ <1 với mọi œ

binơ+coso|<./2' hay ¬2 <sinơ +cosơ < V2 với mọi œ

jasina + bcosal<, ‘a’ +b? với mọi ơ, mọi a, b

B KĨ NĂNG CƠ BẢN

1) Tính toán các biểu thức lượng giác

Phương pháp

— Áp dụng các công thức như công thức cơ bản, công thức cộng, công thức

nhân, hạ bậc, biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

— Nắm chắc giá trị lượng giác của những góc đặc biệt, mối quan hệ giữa các góc

có liên quan đặc biệt

Ví dụ 1 Tính : a) cos75° b) tân ĐC c) sin™.,

M= (I+cos2a) + (sina +sin3a) _ 2cos?a+2sin2acosa _ 2cosa(cosa + sin2a)

~ Áp dụng bất đẳng thức đại số nói chung như bất đẳng thức Cô-si, B.C.S

~ Chú ý đến tính bị chặn của sin và côsin (bất đẳng thức lượng giác cơ bản)

Ví dụ 1 Chứng minh rằng

|sinơ + coso|<./2 hay 2 <sina+cosa <2 véi moia

Giai

Ta cé nhiéu cach dé chting minh bat dang thtic nay

Cách thứ nhất : Áp dụng bất đẳng thức B.C.S cho 4 số là sinơ, cosœ và hai số 1

ta có

|sin a + cosa|=|1.sina +1.cosa|< VP +P sin? a+ cos? a

Vi sin’ œ + cos”œ = 1 nén ta suy ra

|sina +cosa|< VP +P v1 =2 hay ¬2 <sina+cosa <2

Cách thứ hai : Ap dung công thức biến đổi tổng thành tích

sina+cosa =sina+ sin -—a)

a) Trong tam giác ABC ta luôn có

tan A + tan B + tanC = tan A.tan B.tanC

b) Nếu ABC là tam giác có ba góc nhọn thì

T =tanA + tanB+ tanC > 3/3

Giải

a) Ta có A+B+C =n nên A+B = x- C, suy ra tan(A + B) = tan(x—C)

tart tan =-tanC = tanA + tanB = =tanC + tan A tan B.tanC

1-tanA.tanB

hay tanA +tanB+ tanC = tan A.tan B.tanC (đpcm)

b) Nếu tam giác ABC là nhọn thì tanA, tanB, tanC đều là những số dương, áp

dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương này ta có :

_ > ŸtanA.tanB.tanC

Theo kết quả câu a) ta suy ra

x>kT =T2>27T = T? 227 hayT>3V3 (dpem)

24

2 Không dùng máy tính bỏ túi, hãy tính :

a) A=sin59° cos14° —sin14° cos59° b) B= sin F cos cost

16 8

c) C=sin10°.sin50°.sin70' d) D= cog 008; 7 -C0E 7

3 Biến đổi các biểu thức sau thành tích :

a) sina + sinb + sin(a+b) b) 1 + sina + cosa

c) sinx + sin3x + sin5x + sin7x đ) sin3x— 2sin” 3x + cos2xsinx

4 Chứng minh các công thức sau :

a) sin3x =3sinx —4sin* x b) cos3x =4cos’ x —3cosx

c) tanx+cotx =

sin2x `

5 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta luôn có :

a) sinA +sinB +sinC=4cos 2.cos co»

b) cos”? A +cos? B+ cos?C =1—2cos A.cosB.cosC

6 Cho biểu thức f(œ) =asinœ +bcosơ với a và b không đồng thời bằng 0

Hãy chứng tỏ rằng |f(œ)|<va” + bŸ Khi a = b = 1, dấu bằng xảy ra thì œ bằng

b) sin105° =sin(60° + 45°) = B+ ;¡ cos105°=~^—;

cos(_Š)„ Về 2 ; tan(-2%) =-(2+3); co(-25) = = 3-2

in59° cost4° —sin14° cos59° =sin(59° —148)=sin45° = Ý2

2 a) A=sin59° cos14° —sin14° cos59° = sin(59° —14°) = sin45' T°

b) B=sin= cos cos® =" asin®.cos®).cos® =! sin® cost =! sint 22

c) C =sin10°.sin50°.sin70° =sin10°.sin70°.sin50°

= ~ (cos80° —cos60°).sin50° = ~}eos 80° sin50° + asin509

~1, (gin1309 —sin305)+- sin50° =- sin309=.1,

a) sina+ sinb +sin(a+b) = 2sinŠ SP cosŠ —Ô +sin 2

=2sin2=? cos2—® + 2sin'2*P) (63:6)

26

©) sinx + sin3x + sin5x + sin7x = sinx + sin7x + sin3x + sin5x =

=2sin4x cos 3x + 2sin4xcosx = 2sin4x(Cos3x + cosX)

=4sin4x.cos2x.cosx d) sin3x—2sin® 3x + cos 2x sinx = sin3x(1—2sin’ x) + cos 2x sinx

= sin3x cos 2x + cos 2xsinx = cos 2x(sin3x + sinx)

=sinx—2sin? x +2sinx—2sin’ x=3sinx—4sin’ x (dpem)

b) cos3x =cos(x + 2x) = cosx.cos2x —sinx.sin2x

= cos x(2cos* x -1)—2sin? x.cosx

=2cos* x —cosx—2(1—cos* x).cosx

b) cos? A+cos?B+cos? C= 0s? C

(đpcm)

=>)

|f(œ)|=|asinơ +bcoso|< va? +bÊ.vsin? œ + cos”œ =va? +b

Khia=b=1 tacó: |f(œ)|=|sinœ+coso|< V2

Dấu bằng “=” xảy ra khi sna re sina = C050 co =2 +kế (dễ thấy điều

này trên đường tròn lượng giác, k là một số nguyên)

0.3 LUỸ THỪA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1) Luỹ thừa với số mũ nguyên

Với a là số thực tuỳ ý, n là một số nguyên dương, ta định nghĩa

Nếu n= 0, ta quy ước a° =1; _ nếu a#0, ta cũng định nghĩa a" = =

Vì thế ta luôn xác định được a”, với m là số nguyên Biéu thttc0° va 0 khong

có nghĩa

Khi biểu thức a”" có nghĩa, m và n là số nguyên, ta luôn có các tính chất :

(ab)™=a™b™ am an ~amtn

2) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

Người ta cũng mở rộng định nghĩa a” với m là số hữu tỉ, a > 0, chẳng hạn

mm p.q là những số nguyên như sau :

q

P

m =a1 = ÄÍậP , đọc là căn bậc q (4 >2) của a luỹ thừa p Chẳng hạn

28

1 1

a2 = fa san =Wa (a>0,n>2)

Khi mở rộng, các tính chất của luỹ thừa với số mũ hữu tỉ cũng tương tự như

tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên Khái niệm căn bậc hai, căn bậc ba đã

học là những trường hợp riêng của luỹ thừa với số mũ hữu tỉ

a khi n=2k+l

Lưu ý: Nam = ” { khi n=2k,keZ *

3) Luỹ thừa với số mũ thực

Người ta còn tiếp tục mở rộng định nghĩa a” với m là số thực (tức là m có thể hữu tỉ hoặc vô tỉ) mà các tính chất của luỹ thừa cũng vẫn tương tự như luỹ thừa

với số hữu tỉ Cụ thể như sau :

Giả sử a và b là những số thực dương; ơ,B là những số thực tuỳ ý, ta luôn có :

(a.b)*=a".b" a% ab =a?

4) So sánh hai luỹ thừa của cùng một cơ số

Giả sử a là số thực dương; ø,ð là những số thực tuỳ ý, thé thi:

a) Nếu a >1 thì a#> a © œ»B

b) Nếu a<1 thì a“>aP ©> œ<p

5) Bảng tóm tắt luỹ thừa a”“

Số mũ ø Cơ số của luỹ thừa a Luỹ thừa a“

œ=n,n là số nguyên dương _ | a là số thực a“ =a" =aaa a a)

B KINANG CO BAN

1) Tính toán các biểu thức luỹ thừa va căn thức

Phương pháp

— Nắm vững các tính chất của luỹ thừa, nhớ vài luỹ thừa cơ số 2, 3, 5

~ Biết rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức đại số

2) Biến đổi luỹ thừa và căn thức

a)A=Ñ sÍa5b!2 -(Wa} =la|b? -abể

Do đó, nếu a>0 thì A =ab? =abŸ =0; nếu a<0 thì

A =-ab? =ab? = “2a

Nắm vững các tính chất của luỹ thừa để đưa về luỹ thừa của cùng một cơ số,

đặc biệt chú ý tính chất : nếu a là số thực dương ; œ,B là những số thực tuỳ ý, thế

a) Ta có —\/3 <2 và cơ số 4 > 1 nên aca,

b) Tương tự v3 >1,71 và cơ số 2 > 1 nên 2x 2071,

Vi dụ 2 Viết các số sau theo thứ tự tăng dần :

4 Tính các giá tri của biểu thie A=(a+1)"+(b+1)7 khi a=(2+¥3)" va b=(2-v3)"

0 ab +b?Va_ đạp + đạp? arb? (Ya la +$ $) ae ‘ab

“ath Yard Yard |

b) 5Ì <25 œ 8Ì <‹52 ©|a|{2œ»~2<œ<2

7 Ya? +3fa%b? +b? + Jab? = (ý +b? Binh phuong hai vế ta có :

:

a? + Vath? +b? + Yao! +2? Vato? fb? + Varb* = (3a? + V62

at + Yatb? +b? + Jab? +2 (a?.+ Pato? )(b2 + ato*) =(¥o? +86")

oa? + Path? +b? + YarbY +2a%b? +a" arb" +b?ar? +a°b? =(¥a? + Yb?)

a? + Yatb? +b? + Yar! +2 (lato? +70") = (ae? +b)

o> (QF) + (868) +58 a (SA) (A AY

Đẳng thức sau cùng là đẳng thức đúng, từ đó ta suy ra điều phải chứng minh

0.4LÔGARIT

A KIEN THUC CO BAN

1) Khái niệm lôgarit

Cho số dương a khác 1 và một số dương N Số œ thoả mãn đẳng thức a“ =N được gọi là lôgarit theo cơ số a của N và kí hiệu là log, N Nhu vậy ta luôn

có œ=log,NÑ ©a“=N

Người ta còn nói lôgarit theo cơ số a của N là số mũ của luỹ thừa mà a phải

nâng lên để được N

~2 Chẳng hạn log;8=3 vì 2Ì=8 hay log¡ 25=~2 vì () 225

2) Tính chất của lôgarit

se Chỉ có số dương mới có lôgarit, nghĩa là biểu thức log,N chỉ xác định với N đương

® Với a,b 30 và a #1, œ là số thực bất kì thì log,1=0; log,a=1

b=al98:°, lop, (a“ ) =a

® Với a, bị, bạ 30 và a#1 : log, bb, = log, b, + log, bạ

log, Py = log, b, —log, b„

bạ

log b log.a

se Công thức đổi cơ số: log, b= với a, b, c >0 và a,c #1

— Dac biét : log, b= hay log, b.log,a=1

logya

® log ; b” = Tho b a,b30 và a#1

— Dac biét: log, Yb = dog, b va log b= ze, b với k khác 0

n

3) So sánh các lôgarit cùng cơ số

®Nếu a>1Ithì log,x>log,y<©>x>y>30

s®Nếu 0< a<Ithì log,x>log,y«> 0<xéy

~ Luôn nắm vững các phép toán về luỹ thừa và các tính chất của luỹ thừa

Vi dự 1 Tìm lôgarit theo cơ số 2 của các số sau đây :

16; 64; 512; 1024; tìm 30,25

Giai

log, 16 =4 vi 2 =16 log, 64 =6 vi 2° =64

a) log, 16+log, — ) log, Š: 12 b) log, 27 ) logs + log; ——log1000 Bs 55 [8

c) logy;8—log, 3V3 + log, 36 d) 1og0,01+ 282 — Jog, L

b) log, 27 +log, ) logs 27 + log; = — log ——log1000 = 3-3-3=-3

c) logo 8—log; 3/3 —logi 36=-8~ +2 =-3

Giai

a) Đổi về cùng cơ số 2 rồi áp dụng tính chất của lôgarit

A =log;16+log¡ 32—log¡ 64 = log;2' +log,-2 2 log 2

5

2122 4 5 15 ‘

‘3s

=log, 2* +log,2 2 -log;2'5 =log, ———

b) B log, —logi 27—log,729 =~4+3—log ¿ 3” ==4+3~3=~4

= 5 (logs 2+log, 54 ) = (1+ 4log, 5)

Vay log, 1250= xi +4ơ)

3) Chứng minh đẳng thức lôgarit

Phương pháp

— Nắm các tính chất, công thức đổi cơ số, mối liên hệ giữa luỹ thừa và lôgarit

~ Thường biến đổi từ vế này thành vế kia