Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsiNội dung đề tài: I- Tên Đề tài: Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức côsi II.. Lý do chọn đề tài: Trong chơng trình toán THPT bất đẳng thứ
Trang 1Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsi
Nội dung đề tài:
I- Tên Đề tài: Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức côsi
II Lý do chọn đề tài:
Trong chơng trình toán THPT bất đẳng thức là phần gây cho học sinh, ngay cả học sinh khá
và giỏi nhiều bối rối nhất Tuy nhiên đây là phần quyến rũ những học sinh say mê với Toán học và mong giỏi Toán vì nó đòi hỏi học sinh phải động não, tìm tòi và sáng tạo
Để giúp các em làm quen và đi đến thích thú các bài toán bất đẳng thức nên tôi viết "Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi" với mục đích cung cấp cho các em học sinh một số phơng pháp và kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức Côsi
III- Những biện pháp thực hiện :
A- Kiến thức cơ bản
* Bất đẳng thức cô si
1- Dạng tổng quát (nsố)
∀x1; x2; x3 xn > 0 ta có n
n
n x x x n
x x
x x
2 1 3
2
1+ + + + ≥ hoặc
(x1+x2+ +xn) > n n
n x x
x 1 2 hoặc ( n n x x xm
n
x x
x x
)
2 1 3
2
Dấu "=" xảy ra ⇔ x1= x2= = xn
* HQ 1: nếu x1 + x2 + +xn = S (không đổi) thì Max(x1x2 xn) =
2
n S
Dấu "=" xảy ra ⇔ x1= x2= = xn
* HQ2: Nếu x1x2 xn = P (không đổi) thì Min(x1+x2 + +xn) = nn P
Dấu "=" xảy ra ⇔ x1= x2= = xn
2- Dạng cụ thể cho 2 số:
∀x, y > 0 ta có x+ y ≥ xy
2 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y
3- Dạng cụ thể cho 3 số:
∀x, y, z > 0 ta có 3
z y x
≥ + +
Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z
B- Một số phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
1- Phơng pháp đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:
VD : CMR (a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 ∀a, b, c ∈ R
Sai lầm thờng gặp là:
∀x, y thì (x - y)2 > 0 ⇔x2 + y2 > 2xy
Do đó ta có:
ì
≥ +
≥ +
≥ +
ac a
c
bc c
b
ab b
a
2 2 2
2 2
2 2
2 2
(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 (sai)
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Đúng
Trang 2Chẳng hạn: 4 > - 4
2 > - 6
3 > 2
⇒ 4.2.3 > (- 4)(- 6).2 (sai)
Nhận xét: chỉ nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả nhận đợc bất đẳng thức
cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm
Nh vậy ta có lời giải đúng nh sau:
=
≥ +
=
≥ +
=
≥ +
ca c
a a
c
bc c
b c
b
ab b
a b
a
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
(a2 + 2) (b2+c2) (c2 + a2) > 8 a2b2c2 = 8 a2b2c2
* Thông thờng ta ít gặp các bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cô si nh bài toán trên mà phải biến đổi bài toán đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cô si
Bài toán 1:
0 , ≥
∀a b , chứng minh rằng ( a + b)8 ≥64ab(a+b)2
Giải:
Ta có : ( a + b)8 =[( a+ b)2]4 = [ ]4
2 ) (a+b + ab
2
2 2 4
4
) ( 64
2 ) (
2
2 )
( 2
b a ab
ab b
a
ab b a Cosi
+
≥
+
≥
≥
Bài toán 2: Cho a1a2 > 0 , a1c1 > b1 , a2c2 > b22 Chứng minh rằng :
(a1 + a2) (c1+ c2) > (b1 + b2)2
Giải: Từ giả thiết ta có: a1, a2, c1, c2 cùng dấu ⇒ a1c2 > 0 ; a2c1 > 0
Ta có: (a1+a2) (c1+c2) = a1c1 + a1c2 +a2c1 +a2c2 > b1 + a1c2+a2c1 +b2
2 2 1
2 2 1
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2 2 1 2 1
2 1
) (
) (
2 2
b b
b b
b b b b
b c c a a b
Cosi
+
≥
+
≥
+ +
≥
+ +
≥
Bài toán 3:Chứng minh (1+a+b)(a+b+ab) > 9ab
Bài toán 4: Cho a, b,c,d > 0 và 3
1
1 1
1 1
1 1
+
+ +
+ +
+ +a b c d ; Chứng minh rằng: abcd < 81
1
Giải:Từ giả thiết ta có:
Trang 3Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsi
3
1 1
1 3
1 1
1
1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1
) )(
)(
(
) (
) (
) (
d c
b bcd
d
d c
c b b
d c
b a
+ +
+
≥
+
+ +
+ +
≥
+
− + +
− + +
−
≥ +
) 1 )(
1 )(
1 (
3 1
1
+ + +
≥
bcd a
Tơng tự ta có:
0 ) 1 )(
1 )(
1 (
3 1
1
+ + +
≥
acd b
0 ) 1 )(
1 )(
1 (
3 1
1
+ + +
≥
abd c
0 ) 1 )(
1 )(
1 (
3 1
1
+ + +
≥
abc
abcd d
c b a
abcd d
c b
+ + + +
≥ + + +
1 ) 1 )(
1 )(
1 )(
1 (
81 ) 1 )(
1 )(
1 )(
1
(
1
Bài toán5:
1
0
≥
−
−
−
= + +
>
) )(
)(
( : ,
,
c b
a
CMR c
b a
c b a
Giải:
VT=
c
b a b
a c a
c b c
c b
b a
8
≥
abc
ab ca bc
Bài tập áp dụng:
1)
−
≥ + + + +
+
+
∈
≥
>
1 1
1 1
1 1
1
3 0
2 1
2 1
n a a
a
N n n a
a
a
cho
n
n
, , ,
,
Chứng minh rằng a1a2 an <
n
n )
1
−
2) CMR: mm a + nn b ≥ ( m + n )m+nab ∀ ab ≥ 0 ; 1 ≤ m , n ∈ N
3) Cho
= + + +
>
1
0
2 1
2 1
n
n a a
a
a a
a
,
,
n
n a
a
1 1
1 1 1
2 1
−
≥
(tự giải)
2 Phơng pháp tách nghịch đảo
* Kỹ thuật tách nghịch đảo là kỹ thuật tách phần nguyên theo mẫu số đề khi chuyển sang trung bình nhân thì các phần chứa biến số bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số
a
a
∈
∀
≥ +
1
2
2 2
Giải:
Trang 41 1
1
1 1 1
2
2
2 2
2 2
2
+ +
+
= +
+ +
= +
+
a
a a
a a
2 1
1 1 2
2
+ +
≥
a a
−
b a
b a
2 2
2 2
Bài toán 3: CMR: 1 ≥ 3 ∀ > ≥ 0
−
b a b
a
) (
Bài toán 4: CMR: 1 2 ≥ 2 2
−
+
) ( a b b a
Giải:
2 2
1 2
2 4
1 2
2
4
2
2
=
−
−
−
≥
− +
− +
− +
=
) ( ) ( ) (
) (
b a a
b a b a b
a b a
b a b a b VT
3 Phơng pháp đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Bài toán 1: CMR: ab + cd ≤ ( a + c )( b + d ) ∀ a , b , c > 0
Giải:
+ +
+ +
cd d
b c a ab
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
1 2
1
2
1 2
1
=
+
+ + +
+
=
+
+ + +
+
+ +
≤
d b
d b c a
c a
d b
b c
a
c d
b
b c
a
a VT
Bài toán 2:
Chứng minh : c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab ∀ a > c > 0 ; b > c > 0
Bài toán 3: CMR: 3 abc + 1 ≤3 ( 1 + a )( 1 + b 0 ( 1 + c ) ∀ a , b , c > 0
Bài toán 4:
n n n
n n
a a
a1 2 + 1 2 ≤ 1 + 1 2 + 2 +
Với ai; bi >0 ; i = 1,n
Bài toán 5:CMR: 16ab(a-b)2 < (a+b)4 ∀ a, b ≥ 0
Bài toán 6:
CMR:
2
1 1
1
1 2
1
2
+ +
− +
≤
−
) )(
(
) )(
(
b a
ab b
a
Giải:
Trang 5Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsi
2
1 1
1
2
1 1
1
1
2 2
2 2
b a
ab b
a
b a
ab b
a
+ +
≤
− +
⇔
≤ + +
− +
⇔
ab b
a ab
b a
ab b
a
ab b
a
VT
Cosi
2 1
2 2 2 1 1
2 2 2
2
2 2
2 2
− +
+ +
+
≤
− + +
≤
− +
=
) (
2
1
(
VP b
+
≤
c b a
c b a
+
≤
= + +
>
16 1
0
: ,
,
Giải:
b
a
c b a do b
a
c b a b a c
b a b a
c b a abc
VT
Cosi Cosi
+
≤
= + + +
≤
+ + +
≤ +
+
≤
+
≤
=
1 2
1 4
2 4
4
2 16 16
2
2 2
) ).(
(
] ) ( )[
(
) (
) (
Bài toán 10:
729
8 1
0
≤ + +
+
= + +
≥
) )(
)(
( : ,
,
a c c b b a abc CMR c
b a
c b a Cho
Bài toán 11:
27
8 1
0
≤
− +
+
= + +
≥
abc ca
bc ab CMR c
b a
c b a Cho
: ,
,
4 Phơng pháp thêm hằng số
Để sử dụng bất đẳng thức Cô si từ trung bình nhân sang trung bình cộng ta cần chú ý: Chỉ số căn thức là bao nhiêu thì số các số hạng ở trong căn là bấy nhiêu Nếu số các số hạng nhỏ hơn chỉ số căn thì ta phải thêm hằng số để số các số hạng bằng chỉ số căn
Bài toán 1:
CMR: a b − 1 + b a − 1 ≤ ab ∀ ab ≥ 1
Giải: Ta có:
2 2
1 1 1
1
b
a − = ( − ) ≤ − + =
Trang 62 2
1 1 1
1
a
b − = ( − ) ≤ ( − ) + =
Cộng vế ⇒ a b − 1 + b a − 1 ≤ ab (đpcm)
Bài toán 2:
6 1
0
≤ + +
+ +
+
= + +
≥
) ( ) ( ) ( : ,
,
a c c
b b
a CMR
c b a
c b a Cho
Bài toán 3: Cho
≥
≥
≥ 2 4 3
c b
a
Tìm Max
abc
b ca a
b c
ab
f = − 2 + − 3 + − 4
Bài toán 4: Cho
≤
≤
≤
≤ 4 0
3 0
y
x
tìm Max A = (3-x)(4-y)(2x+3y)
Giải: A = (3-x)(4- y)(2x+3y)
=
6
1
(6-2x)(12-3y)(2x+3y)
6
1 3
3 2 3
12 2
Cosi
Dấu "=" xảy ra ⇔6-2x=12-3y=2x+3y=6
=
=
⇔
2
0
y
x
Vậy Max A = 36
Bài toán 5: Cho x, y > 0 Tìm Min 2
3
xy
y x y x
f ( , ) = ( + )
5 Phơng pháp ghép đối xứng
* Chú ý
Phơng pháp cộng:
+ +
+ +
+
= + +
+ + + + +
= + +
2 2
2
2
x z z y y x z y x
x z z y y x z y
(
Phơng nhân:
=
=
zx yz xy xyz
zx yz xy z
y x
.
) ).(
).(
(
2 2 2
với x,y, z >0
Bài toán 1: CMR: + + ≥ a + b + c ∀ a b c > 0
c
ab b
ca a
ba
, ,
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
c ab
abc b
ca a
2
1
Trang 7Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsi
c c
ab b
ca c
ab b
ca
=
≥
2
1
b a
bc c
ab a
bc c
ab
=
≥
2
1
b
ca c
ab a
bc
+ +
≥ + +
⇒
2 2
2 2
2
>
∀ +
+
≥ +
a
b b
c c
a a
c c
b b
a
, ,
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:
c
a c
a c
b b
a c
b
b
a
≥
=
≥
2
2 2
2 2
2
2
2
2
1
a
b a
b a
c c
b a
c c
b
≥
=
≥
2
2 2
2 2
2 2
2
2
1
.
b
c b
c b
a a
c b
a
a
2
2 2
2 2
2
2
2
2
1
. ;Cộng vế ta đợc:
a
b b
c c
a a
c c
b b
a22 + 22 + 22 ≥ + +
Bài toán 3:CMR: a3 +b3 +c3 > a2 bc + b2 ac + c2 ab ∀ a , b , c ≥ 0
Bài toán 4: Cho ∆ABC CMR:
1) (p-a)(p-b)(p-c) <
8
abc
c b a c
p b p a
p
1 1 1 2 1 1
1
+ +
≥
−
+
−
+
−
6 Phơng pháp ghép cặp nghịch đảo 3 số:
Chú ý ta có: (x+y+z)(1 + 1 + 1 ≥ 9 ∀ x y z > 0
z y
Thật vậy VT > 33 33 1 = 9
xyz xyz
Bất đẳng thức trên có ý nghĩa rất lớn trong vai trò nhận dạng và đa các bài toán xa lạ trở thành bài toán quen thuộc Các ví dụ sau chứng tỏ điều đó
Bài toán 1: CMR: ha + hb + hc > 9r ∀ ∆ ABC (1)
Giải: Ta có : S∆ ABC=
a
S h
h
a a a 2
2
1 ⇒ = ;Tơng tự:
b
S
hb = 2 và
c
S
hc = 2 mà S =p.r
Nên (*)
p
S c
S b
S a
S
9 2 2
⇔
Theo (*) ⇒ đúng ⇒ ddcpcm
Bài toán 2: CMR: ra +rb +rc > 9 r ∀ ∆ ABC
Trang 8Chú ý:
c p
S r
b p
S r
a p
S
−
=
−
=
−
(S là diện tích ∆ ABC) mà S =p.r
Bài toán 3: CMR + + + + + ≥ 6
c
b a b
a c c
a b
với ∀ a , , b c > 0
+ +
≥ +
+ +
+
2
≥ +
+ +
+
c a c
b c
b
a
, ,
2
2 2
2
>
∀ +
+
≥ +
+ +
+
c b a b a
c a c
b c b
a
, ,
b a
c c a
c
b b c
b
a
+ + +
+ + +
+ +
⇔
2
3
2 2
2
Bài toán 6: Cho
2
9 1 1
1 1
0
≥ +
+ +
+ +
= + +
≥
b a a c c b
CMR c
b a
c b
a , ,
2
1 2
1 2
1 1
0
2 2
+
+ +
+ +
≤ + +
≥
ab c
ca b
bc a
CMR c
b a
c b
a , ,
7 Ph ơng pháp đánh giá mẫu số:
2
1 1
1
2 2
+
+ +
+
c b a ab c
ac b bc
Giải: áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có
1 ( )
2 2
b c
Tơng tự:
abc
c a ca
1
2
+
≤
b a ab
1
2
+
≤
c b a ab c ca b bc
1 1
1
2 2
2
+ +
≤ +
+ +
+ +
⇒
8 Phơng pháp đổi biến số:Đổi biến số nhằm mục đích chuyển bài toán từ tình thế khó biến đổi đại
số (với các biến ban đầu) sang trạng thái dễ biến đổi đại số hơn với biến mới
2
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
, , )
(
Trang 9Một số phương phỏp sử dụng bất đẳng thức cụsi
Giải: Đặt
− +
=
− +
=
− +
=
⇒
>
= +
>
= +
>
= +
z
z y x c
z
y x z b
x z y a
z a b
y c a
x c b
0 0
0
2 2
2 − + + − + + − ≥
+
⇔
z
z y x y
y x z x
x z y
6
≥ + + + +
+
⇔
z
x z
x y
x y
z
x
z
x
y
;Thật vậy: VT =
+ +
+ +
+
z
y y
z z
x x
z y
x x y
6 2 2
≥
Cosi đpcm
Bài toán 2: Cho ∆ABC có các cạnh a, b, c
c b a
c b
a c
b a
c
b
a
+ +
≥
− +
+
− +
+
− +
2 2
2
Bài toán 3: Cho ∆ABC có các cạnh a, b, c CMR:(b+c+-a)(c+a-b)(a+b-c) ≤abc (1)
Bài toán 4: Cho ∆ABC có các cạnh a, b, c ; diện tích S CMR:
) (1 2
3 3 1
1
S b
a c a c b
c
b
− +
+
− +
+
−
>
=
− +
>
=
− +
>
=
− +
0 0 0
z c b a
y b a c
x a c b
C Lời kết:
Trong đề tài này chủ yếu tôi đa ra một số phơng pháp phân tích, đánh giá để có đợc lời giải các bài toán bất đẳng thức liên quan đến bất đẳng thức Cô si cùng với các ví dụ minh hoạ cơ bản đợc su tập chủ yếu trong bộ đề thi tuyển sinh đại học Tuy nhiên trong quá trình thực hiện đề tài chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong muốn có đợc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp, bạn đọc
về nội dung đề tài, tôi xin chân thành cảm ơn!
Krụngpăk, ngày 19/2/2011