SỬ DỤNG BĐT COSI DỒN BIẾN CHO BÀI TOÁN ĐỐI XỨNG

Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức dưới đây người ta hay gọi là bất đẳng thức Cosi để dồn biến xét hàm BĐT 1.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 8 Trích đề thi thử THPT Quốc Gia P

LỚP HỌC CÂU 10 ĐIỂM

KÌ THI THPT QUỐC GIA

TRẦN CÔNG DIÊU

BÀI 1 SỬ DỤNG COSI DỒN BIẾN

CALL 01237.655.922

Ta sẽ sử dụng các bất đẳng thức dưới đây người ta hay gọi là bất đẳng thức Cosi để dồn biến xét hàm

BĐT 1 Với A B, 0 ta có A B 2 AB, dấu bằng xảy ra khi AB

( CAUCY 2 SỐ DẠNG TỔNG TÍCH )

BĐT 2 Với A B, 0 ta có

2

 , dấu bằng xảy ra khi AB

( CAUCY 2 SỐ DẠNG TÍCH TỔNG )

BĐT 3 Với A B C, , 0 ta có 3

3

( CAUCY 3 SỐ DẠNG TỔNG TÍCH )

BĐT 4 Với A B C, , 0 ta có 3

3

A B C

, dấu bằng xảy ra khi A B C

( CAUCY 3 SỐ DẠNG TÍCH TỔNG )

Chú ý

- Để tìm GTNN ta cần đánh giá P f t minf t , chỉ ra dấu bằng đề kết luận

 

m inf t là giá trị nhỏ nhất của P, ở đây t là một biểu diễn nào đó của các biến đề bài

cho

- Để tìm GTLN ta cần đánh giá P f t m axf t , chỉ ra dấu bằng đề kết luận

 

m axf t là giá trị nhỏ nhất của P, ở đây t là một biểu diễn nào đó của các biến đề

bài cho

Bài toán 1 Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: 2 2 2 3

4

x  y z  Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

1 1 1 8

Trích đề thi thử THPT Quốc Gia

Phân tích và hướng dẫn giải

Nhận xét biểu thức P đối xứng với ba biến x y z, , nên ta thường dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt tại ba biến bằng nhau hoặc hai biến bằng nhau, ở đây chúng ta phải kiểm kĩ hai trường hợp này

bằng máy tính Sau khi kiểm ta xác định được điểm rơi đạt tại 1

2

x  y z , lúc này ta có thể mạnh dạng dùng BĐT Cosi để đánh giá

2 2 2

1 1 1 1

3

   3

3

2 2 2 2

P 8xyz 3 8 với t 3 xyz 0

Ta tiếp tục tìm miền giá trị của t, theo BĐT Cosi ta có:

2 2 2

2 2 2

0

3 4 2

Xét hàm số f t( ) 3 32

8t 

t với 0 t 1

2

Ta có  t 0, f'(t) =24t2 63

t , ''( ) = 0 5 1

4

 

Bảng biến thiên

t 0 1

2

f’(t) 

f(t)

13

Từ bảng ta có P f t 13 với mọi 0 1

2

 t Suy ra P ≥ 13

Vậy giá trị nhở nhất của P là 13 đạt tại 1

2

x  y z

Bình luận

Làm sao để dự đoán tốt điểm rơi của bài toán? Các em sử dụng máy tính Casio 570VN PLUS, dùng phím alpha nhập vào biểu thức 8ABC 1 1 1

   , sau đó các em dùng phím

CALC nhập vào liên tiếp các bộ ( , , )A B C thỏa điều kiện 2 2 2 3

4

A B C  sẽ dễ dàng thấy

2

A  B C thì biểu thức nhỏ nhất Nên kiểm các bộ ba biến bằng nhau, hai biến bằng nhau và một số bộ ba biến khác nhau

Bài toán 2 Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x2y2z2 3 Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức:

9

Thi thử THPT Quốc Gia 2016

Phân tích và hướng dẫn giải

Biểu thức P đối xứng với ba biến x, y, z nên ta có thể biểu diễn P theo ba đại lượng

, ,

p  x y z qxyyzzx rxyz rồi sau đó ta phải cố gắng đánh giá về một trong

ba lượng trên Ta thấy  2 2 2 2    

x y z x y z  xyyzzx   xyyzzx do đó khả năng lớn ta sẽ quy P về qxyyzzx

Còn lại lượng cuối cùng phải xử lí là

3 3 3

9

xyz

, dễ thấy theo Cosi ba số ta có đánh giá

sau

3 3 3

3 1

9 9 3

  , do đó 3 2 1 3 ( )

3

t

2 2 2

3

t xyyzzxx y z  nhưng tiếc rằng f t( ) lại không lớn hơn hoặc bằng 31

3

( giá trị của P tại điểm rơi ) với t0;3, bạn đọc tự kiểm tra lại

Vậy có cách nào xử lí lượng

3 3 3

9

xyz

tốt hơn, ta sẽ thực hiện biến đổi

3 3 3 2 2 2

x y z  x y z x y z  xyyzzx  xyz x y z   xyyzzx  xyz

do đó 3 3 3 1 1 1 1 1  

3

 

   

          

  , chỉ cần đánh giá được lượng

1 1 1

yz zxxy theo xy yz zx  nữa là xong, tuy nhiên điều này là dễ dàng theo bất đẳng thức CS

Do đó ta đã dồn về được một biến duy nhất 2 2 2

3

txyyzzx x  y z  Cùng xem lời giải chi tiết dưới đây!

Lời giải chi tiết

Ta có  2 2 2 2  

2

3 2

Lại có 3 3 3   2 2 2  

3

x y z  x y z x y z  xyyzzx  xyz

x y z3 xy yz zx 3xyz

        nên

3 3 3

1 1 1 1 1

3

 

          

   

 

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

2 2 2 3

3

2 2 2

3

3

   



   

  

  





3

 

        

     

 

Từ đó ta có

3

  

               

 

11  

2

3 xy yz zx

do 0 3

2

Từ đó suy ra GTLN của P là 29

3 đạt khi

2 2 2

3

1 3



   

