SKKN Bổ sung các kỹ thuật khi sử dụng BĐT CÔSI

Bất đẳng thức là một môn học khó đối với đa số học sinh nhng cũng là một mảng kiến thức dễ đâm chồi nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi.. Rèn luyệ

Chñ nhiÖm SKKN : Lª ThÞ Hång Thuý

Chøc vô : Gi¸o viªn

Tæ: To¸n-Tin Trêng THPT Lý Nh©n T«ng

N¨m häc: 2011 - 2012

Mục lục

Trang Lời mở đầu 2

I Cơ sở lí luận và lí do chọn đề tài 3

II.Phần nội dung đề tài II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi 4

II.2 Các kĩ thuật chính 1 Phơng pháp chứng minh trực tiếp 4

2 Kĩ thuật dùng hoán vị vòng 7

3 Phơng pháp cân bằng tổng 8

4 Phơng pháp cân bằng tích 10

5 Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi 11

6 Kĩ thuật nhân nghịch đảo 16

7.Kĩ thuật Côsi ngợc dấu 17

II.3 Các bài tập chọn lọc 20

II.4Kết quả kiểm chứng của chuyên đề. 24

III.Kết kuận 25

IV.Phụ lục 26

Lời mở đầu

I.1 Cơ sở lí luận, cơ sở thực tiễn và lí do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy toán cần thờng xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dỡng trong cuộc sống của học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh

hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc học toán Bất đẳng thức là một môn học khó đối với đa số học sinh nhng cũng là một mảng kiến thức dễ đâm chồi nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của tính sáng tạo, sự kiên trì, ham học hỏi Rèn luyện về bất đẳng thức giúp học sinh tăng cờng khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán, phát triển t duy cho học sinh.

Qua vàt năm giảng dạy theo chuyên đề bất đẳng thức tôi đã rút ra nhiều kinh nghiệm, cải tiến cũng nh có các sáng kiến mới để giảng dạy mảng kiến thức này Chính vì vậy cũng mạnh dạn đa lên để các thày cô giáo tham khảo đánh giá, cùng bàn bạc để tìm đợc các phơng hớng mới, cách thức mới để giảng dạy hiệu quả

hơn,giúp học sinh tiếp cận kiến thức dễ dàng và hứng thú hơn Các điều mới trong

sáng kiến lần này là: bổ sung kĩ thuật nhân nghịch đảo, lấy nhiều ví dụ hay và

đẹp cho các phơng pháp đề ra, đặc biệt là phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm

rơi Côsi, sự bố trí các bài tập hợp lí ngay sau các lí thuyết nh thế nào, bổ sung các lời giải v h à ớng dẫn cho các bài tập mà trớc đây chỉ có đề bài Hi vọng với một lợng

bài tập và các ví dụ vừa đủ sẽ có tác dụng tốt cho các em học sinh Các thầy cô chỉ cần bổ sung một lợng bài tập nhỏ là có thể xây dựng các chuyên đề hay cho học sinh của mình.

Với sự nhiệt tình và say mê sáng tạo các thầy cô giáo sẽ giúp cho các em học sinh tự tin, dần tự mình tìm tòi học hỏi để làm chủ đợc kiến thức, đó là một thành công rất lớn của các thầy cô giáo.

Đối tợng khảo sát:Học sinh lớp 10A1 và 12A1 trờng THPT Lý Nhân Tông.

I.2 Tóm tắt nội dung chính của đề tài

Đề tài đợc trình bày theo cấu trúc sau:

*)Hệ thống các kiến thức cơ bản quan trọng

*)Hệ thống các kĩ thuật đợc sử dụng, bao gồm các ví dụ minh họa và các bài tập

đi kèm để củng cố

*)Phần bài tập có chọn lọc để giúp học sinh rèn luyện các kĩ năng

*) Một số đề xuất kiến nghị và các hớng khai thác kết quả

II.Phần nội dung đề tài

II.1 Hệ thống các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi

Bất đẳng thức Côsi (BĐT Côsi) đợc nhà toán học ngời Pháp Augustin Louis

Cauchy đa ra, nó có dạng sau:

Dạng tổng quát: Cho a1,a2,…an là các số không âm thì:

a

2 1 2

a + ≥ 2 Đẳng thức xảy ra khi a = b

Hệ quả1:Hai số dơng có tổng không đổi,tích của chúng lớn nhất khi 2 số bằngnhau

Hệ quả2:Hai số dơng có tích không đổi,tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số bằngnhauVới 3 số:Cho a ≥ 0, b ≥ 0 ;c≥ 0 ta luôn có

3

3 abc c

Để cho các em học sinh dễ nhớ các thầy cô nhấn mạnh và giới thiệu thế nào là trung bình cộng và trung bình nhân, vì vậy ta thấy các bất đẳng thức Côsi đều có dạng chung là trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân.

II.2 Các kĩ thuật chính

1 Sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Côsi.

Mục đích chính của lớp bài tập này là giúp học sinh làm quen và có hứng thú đầu tiên khi sử dụng bất đẳng thức côsi.

Bài tập 1 Chứng minh rằng ∀ >0, >0: + ≥2

a

b b

a b

a a

b b

a a

b b

a a

a (2)

Phân tích: Có nhiều cách giải bài tập trên:

Cách 1: là nhân ra ở vế trái sau đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho a/b và b/a Cách 2: Qui đồng rồi đa về (a+b)2 ≥ 4ab, khai căn để trở về bất đẳng thức Côsi v.v

Tuy nhiên các phép biến đổi đó là dài ta có thể làm nh sau:

 ⇒ + + ≥ ⇔ + + ≥

 + ≥ 

Dấu bằng xảy ra khi a = b

Các bài tập tơng tự có thể dùng để củng cố

1) ∀ , , >0 ( + + )(1 + 1 +1)≥9

c b a c b a c

b b

a

b c b

a c c

a b a

c b b

c a c

b a

6

3 3

3 3

3 3

≥+

++

++

vi) a2(1+b2)+b2(1+c2)+c2(1+a2)≥6abc

Lúc này ta nên chú ý cho học sinh là: từ các bất đẳng thức trên bằng các phép biến đổi tơng đơng ta có thể suy ra một số bất đẳng thức phụ khá hữu ích:

b a b

a+ ≥ +

4 1

2

) (

4 1

b a

ab≥ + (2b)

ab b

11

b a b

)111(9

11

c b a c

12

1

2 2

+

++

11

1

+

++

++

=

xz zy

xy

Giải:

93

93

9

9)11

1)(

1

11

11

1

(

2 2

+++

≥+++

=

≥++++++

++

++

z y x zx

yz xy

A

zx yz

xy xz

zy xy

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 3/2

bc c

ab+ + ≥ + + (9)

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có

thể làm ngay đợc, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số

Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên >0, >0, >0

b

ac a

bc c

thức Côsi cho các cặp:

⇒ + +

≥ + +

⇔

≥ +

≥ +

⇔

≥ +

≥ +

⇔

≥ +

) (

2 ) (

2 2

2

2

2

2

2

c b a b

ac a

bc c ab

a c

ba b

ac c

ba b

ac c

ba

b

ac

c b

ac a

bc b

ac a

bc b

ac

a

bc

b a

bc c

ab a

bc c

ab a

bc

c

ab

đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Bài tập 4 : Cho ba số khụng õm a,b,c Chứng minh:

cộng cỏc vế của cỏc BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Ta thấy rằng phơng pháp này áp dụng có hiệu quả rất tốt cho một lớp các bài tậpsau:

1)

c b a ab

c ac

b bc

+ +

≥ +

+

c b c

b a c b a

22

2

2 2 2 2 2

≤++

3 Ph ơng pháp cân bằng tổng

Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là

khi “ nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ

khi chúng bằng nhau”

Mở rộng một cách tự nhiên thì để chứng minh tổng S= S 1 + S 2 + + S n ≥ m , ta

biến đổi S = A 1 +A 2 + +A n là các số không âm mà có tích A 1 A 2 A n = C không đổi,

sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2

Bài tập 6 Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 2 1 2 1

( 1)

x x

+

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả,

nh-ng nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có nh-ngay điều phải chứnh-ng minh

Bài tập 7 Chứng minh rằng nếu x ≥ 0 thì 1

)3(

27

3 ≥+

27 3

3 3

3 3

3

+ +

+ +

+ +

+

x

x x

x

4 ) 3 (

27 3

3 3

3 3

3

3 ≥ + +

+ +

+ +

+

⇔

x

x x

x ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Giải: Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không

đổi, vì vậy phải phân tích 2x thành 3 số hạng là (4x-4y);(2y+3);(2y+3) và thêm bớt 6

Ta cú:

4 2

Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

1 2

9 3

2

2 ≥ +

+

x x

3) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì a + 3

) 1 )(

+

−b b a b

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn:

3

−+

=

x

Q = 5

2

6 2 2

6

− +

−

=

− + +

= +

x

x x

x y x

5) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức R =

ab

b a b a

2 2

+++ với a > 0, b > 0

2 2

3

Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dơng có tổng

không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau“.

4a b b mà theo bất đẳng thức Côsi cho 3 số dơng là a,

b/2,b/2 ta có:

27

4 2

2 4 27

1 2

2

3

1 3

2

2 2

2

b b a b b

Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3

Bài tập 10: Cho hai số thực khụng õm x,y thỏa món cỏc điều kiện:

9 4 3

= + ( Do

3 3 & 2 / 3 (2 3 3) / 2 & (9 2 3) / 6

Các bài tập tơng tự mà các thầy cô có thể vận dụng cho học sinh là:

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 Ph ơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi

Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp

và sử dụng khéo léo bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!

Bài tập 11 Chứng minh ∀ a , b , c > 0 thì a b c

a

c c

b b

a

++

≥+

2

Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng

không ra đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc

Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c khi đó a 2 /b =a vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện a 2 /b để có chứng minh sau: Chứng minh:

áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng a

a

c c c

b b b

a

, , , ,

Tuy nhiên câu hỏi đặt ra là tại sao lại thêm hạng tử b cho a2/b?

Giả sử cần thêm cho a2/b số hạng m sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2 Khi dấu bằng xảy ra thì a2/b = m = a = b = c.

Rõ ràng m chỉ có thể bằng b đợc thôi Bài tập sau sẽ làm sáng tỏ hơn:

Bài tập12 Chứng minh rằng ∀ a , b , c > 0 thì

2

2 2

a b

c c a

b c b

+

+ +

+ +

Phân tích: Ta cần thêm cho

c b

m= + Và để tính α thì

α

c b m c b

a = = + +

2

Dễ thấy khi thay a=b=c thì α =4 Chứng minh: áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dơng

4 , ,

4 , ,

4

,

2 2

b a

c a c a c

b c

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể

B i tập 13 à : Chứng minh rằng với x,y,z > 0:

3 3 3 x2 y2 z2

x

z z

y y

Phân tích: ta thấy rằng với hạng tử x3/ y có thể có hai hớng sau:

Cách 1: hs sẽ thêm x3/y +xy ≥ 2x2 ; y3/z +zy ≥ 2y2 ; z3/x +xz ≥ 2z2; sau đó chứngminh

x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, cộng các bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

Cách 2: x3 x3 y2 3 ;x2 y3 y3 z2 3 ;y2 z3 z3 x2 3z2

y + y + ≥ z + z + ≥ x + x + ≥ cộng lại ta có

điều phải chứng minh

Bài tập 14: Chứng minh rằng với a, b, c>0 ta có

a

c a

b b

a a

c c

b b

a

++

≥++ 22 22

2 2

Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2

2 2

2 2

2

a

c c

b b

a + + ≥ 3,

b

a b

a

2 1

2

2

≥ +

c

b c

b

2 1

2

2

≥ +

a

c a

c

2 1

2

2

≥ +

Cộng vế với vế suy ra điều phai chứng minh

Bài tập 15: CMR nếu x, y, z l các số dà ơng thỏa mãn xyz = 1 ta có

x3 + y3 +z3 ≥ x + y + zPhân tích: Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1, vì vậy ta sẽ thêm vào x3 hai số hạng là 1,1 để sử dụng bất đẳng thức Côsi hợp lí

Hớng dẫn: x3 + 1 +1 ≥ 3x; y3 + 1 +1 ≥ 3y; z3 + 1 +1 ≥ 3z; 2(x3 + y3 +z3 ) ≥ 6Theo thống kê thì có khoảng 80% học sinh sẽ sử dụng cách 1 để làm

Bài tập 16 Cho 3 số thực dương a,b,c Chứng minh:

b b

a a

c c

b b

ac c

b

cb b

a

+

++

++

Hớng dẫn: Chứng minh bất đẳng thức phụ:

2

3)(

1)

(

1)

(

1

2 2

+

++

++c b a c c b a b

2 2

≥+

++

+

z z x

y y

z

x

6) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a c b c

ab c

b a b

ca c

a b a

bc

+

++

++

=Với a,b,c là các số thực thoả mãn abc = 1; a, b, c> 0

7) Với x,y,z > 0: x3 +y3 +z3 ≥ x2y+ y2z+z2x

8) CMR: 8x-y + 8y-z + 8z- x ≥ 4x-y + 4y-z + 4z-x

Sau đây ta tham khảo hai ví dụ rất lí thú cho

Bài tập 17: Nếu a, b, c dơng v abc=1 thìà

+ + với α là một số dơng nào đó Vấn đề α bằng bao nhiêu, ta chỉ cần chú ý

là dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1; khi đó 3 1 1

với a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện ab = 1

Hớng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho 3

1

a b

Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau:

c b

y

b a

x

Khi đó x,y,z là các số dơng và (2)⇔ ( + + )(1 + 1 +1)≥9

z y x x y

áp dụng Côsi: cho 3 số x,y,z ta có:x + y + z ≥ 33 xyz > 0

Cho 3 số:

z y x

1,

1,

1

ta có:1 + 1 + 1 ≥33 xyz >0

z y x

Nhân vế với vế 2 bất đẳng thức suy ra điều phải chứng minh

7.Kĩ thuật Co-si ng ợc dấu:

B i tà ập 21 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng:

B i già ải: Phần lớn những học sinh giải b i toán n y nhà à sau :

Quy đồng mẫu số, BĐT cần chứng minh tơng đơng với:

)(

3

)(

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

2 3

3 3 2 3 2 3

2

3

c b a a c c b b a c

b

a

c b a cb ba

ac c

b a b c a b

c

a

++++

++

≥

++++

++

++++

+

Thay a + b + c = 3, ta có thể chứng minh bất đẳng thức nhờ Côsi :

2 2 2

c

.Tơng tự với hai hoán vị

2 3

tơng tự với 2 hoán vị

2 2 2

3 4 4 4 2

2 2

2 3 2 3 2

2

1)(

2

1

c b a c

b a cb

ba ac

b c a b

(đpcm).Dấu "=" xảy ra khi v chà ỉ khi a=b=c=1

Trong b i n y à à để sử dụng b ấ t đẳ ng th ứ c th× ta phải dïng tới biểu thức

B i t à ập 22Chứng minh về mọi số dương a,b,c cã a+b+c=3 th× ta cã:

Cộng vế theo vế c¸c b ấ t đẳ ng th ứ c (1),(2) v (3) ta cà ũng cã:

Dấu "=" xảy ra khi v chà ỉ khi a=b=c=1

Bµi tËp 23:Cho a,b,c d¬ng tho¶ m·n:a+b+c=3.Chøng minh r»ng:

2 2

2

≥+

++

+

c c

b

b b

2

b a

ab b

a

a a

+

= +

−

b a

ab b

a b

a

2

10

c

c c

c b c

b

b b

2 1 2 1

2 2 2 2

≤ +

−

≤ +

)(

)(

2

1

))(

(2

1)(

2

1)1(

2

=+

++

+

≤

+++

+

≤+

a

ca bc ab c b a a

c c b b a VT

2

3 ) (

) 1

(

≥

⇔

− + +

≥

VT

c b a VT

DÊu b»ng x¶y ra khi a=b=c=1

Nhờ kĩ thuật C«si ngược dấu ta đã chứng minh được những b i to¸n m nà à ếu giải bằng c¸c phương ph¸p kh¸c sẽ rất d i thà ậm chÝ kh«ng giải được ,sau đ©y l mà ột số

b i tà ập ứng dụng:

B i 1)Chà ứng minh với mọi số dương a,b,c,d ta lu«n cã:

B i 2)Chà ứng minh rằng với a,b,c,d l các à s ố th ự c dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta luôn có:

B i 3)Cho 3 sà ố v a+b+c=3.Chà ứng minh rằng:

II.3 Các bài tập chọn lọc

Cuối cùng tôi xin đa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao

kĩ năng giải bài cho các em:

1 Cho x, y, z > 0 cm: 4( + )+9( + ) +16( + ) ≥26

z

x y y

z x x

z y

2 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

ab

c ac

b bc

a a

b c a

c b c

b a c b a

3 3 3 2 2 2 2 2 2

22

2+ + + + + ≤ + +

≤++

3 Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 CMR:

c b

a c

c b

b a

a

+

+ +

+ +

≤

≤ +

+ +

+

1 1

1 1

1 2

3 1

1

4 Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

xy y

a

2

1

4 2

2

+

≥+

b) Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

3 3

3

3 3

3

2

cos2

cos2

cos

sinsin

sin

C B

A

c B

A P

++

++

=

6 Thi vào lớp 10 Tổng Hợp - ĐHQG:x, y > 0, x2 + y2 = 1 CMR

11

1

3 3 3

3 3

++

+++

++

a

HD:

abc abc

a c abc b

c abc b

a

11

11

3 3 3

3 3

++

+++

++

b a b a ab

+ +

9 Cho tam giác ABC với AB = c, BC = a, CA = b Gọi S là diện tích tam giác ABC

và M, N, P là các số thực sao cho m + n, n + p, p + m đều là số dơng

x

11 Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn x + y = 10 Tìm giá trị của x, y để

P = ( x4+ 1) ( y4+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất

HD đặt t= xy thì x2 + y2 = 10 - 2t; x4 + y4 = 2t2 – 40t + 100

12 Cho tam giác ABC nội tiếp trong ( O; R ) có 3 góc nhọn với BC = a, AC = b,

AB = c Lấy I bất kỳ ở phía trong tam giác ABC, gọi x, y, z là khoảng cách từ điểm I

đến các cạnh BC, AC, AB của tam giác.Chứng minh

R

c b a z y x

2

2 2

2 + +

≤++

HD CM ax + by + cz = 2S Sử dụng bất đẳng thức Bunhia

13 Cho a, b, c là các số thực dơng thoả mãn abc = 1

CMR:

2

1 3 2

1 3

2

1 3

2

1

2 2 2

2 2

+ +

+ + +

+ +

b b

c c

b b

a + + ≥ + +

b)

3 2

2 2

2 2

2 2

2

abcd

d c b a a

d d

c c

b b

31 Giả sử x v à y l hai sà ố dương v à x y+ = 1 T×m GTNN của

II.4 Một số kết luận và đề nghị

Sau một quá trình tôi xin cung cấp một vài kết quả thực nghiệm ban đầu, với cách dạy mới và cũ tôi thu đợc một vài kết quả sau: với lớp thực nghiệm 10A1, dạy theo phơng án mới và lớp đối chứng 12A1, dạy theo phơng án truyền thống (2 lớp thuộc trờng THPTLý Nhân Tông.) thông qua bài kiểm tra sau khi dạy xong

ví dụ cho hợp lí, nhẹ nhàng, đơn giản và vừa sức với học sinh của mình