cac ky thuat su dung BDT Cosi

A.MỞ ĐẦUI.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình toán THCS, các dạng toán về bất đẳng thức chưa được đưa vào liền mạch mà xuất hiện rời rạc,do vậy trong chương trình học, học sinh ít khi

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

II.Nhiệm vụ, mục đích của đề tài

III Đối tượng nghiên cứu và phương pháp tiến hành

B NỘI DUNG

Phần 1: Cơ sở lý thuyết

Phần 2: các kĩ thuật sử dụng

I Kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân

II Kĩ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng

III Kĩ thuật chọn điểm rơi

IV Kĩ thuật cân bằng hệ số

A.MỞ ĐẦU

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong chương trình toán THCS, các dạng toán về bất đẳng thức chưa được đưa vào liền mạch mà xuất hiện rời rạc,do vậy trong chương trình học, học sinh ít khi có cơ hội làm quen với các dạng toán về bất đẳng thức và cách giải những dạng toán đó.Mặt khác bất đẳng thức là một dạng toán có nhiều bài toán khó ,thậm chí là rất khó vì vậy khi đưa vào dạy đại trà cho học sinh gặp nhiều khó khăn.Tuy nhiên,khi làm toán cũng như trong các kì thi học sinh giỏi hay thi vào các trường chuyên,lớp chọn thì các bài toán về bất đẳng thức lại thường xuyên xuất hiện.Nhưng do chưa được trang bị đầy đủ về kiến thức cho nên học sinh sẽ gặp khó khăn hoặc có thể không giải được ngay cả khi gặp những bài toán bất đẳng thức cơ bản

Do vậy để tránh phần nào sự lúng túng hay khó khăn cho các em khi gặp dạng toán này thì tôi cũng đã đưa vào giới thiệu cho các em một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Tuy do hiểu biết còn hạn chế nhưng tôi cũng mạnh dạn đưa ra vấn đề để chúng ta cùng trao đổi để đưa ra những phương pháp dạy và đưa ra những dạng toán phù hợp nhằm đưa lại hiệu quả cao nhất trong việc dạy và học bất đẳng thức

II.NHIỆM VỤ,MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:

Có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức như phương pháp biến đổi tương đương,phương pháp làm trội làm giảm,phương pháp miền giá trị

Tuy nhiên do khuôn khổ đề tài có hạn nên tôi chỉ đưa ra cách giải quyết các bài toán nhờ sử dụng bất đẳng thức Cô si

Do vậy nên nhiệm vụ của đề tài này chỉ tập trung nghiên cứu phân tích các kỹ thuật

áp dụng bất đẳng thức Cô si,đồng thời cũng phân tích các sai lầm mà học sinh thường mắc phải và nguyên nhân những sai lầm đó.Như vậy sẽ giúp học sinh hiểu vấn đề được sâu sắc hơn và chủ động hơn trong việc lựa chọn phương pháp giải

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP TIẾN HÀNH.

Đề tài áp dụng cho đối tượng là học sinh khá giỏi lớp 8,9 và được tiến hành giảng dạy khi ôn thi HSG,thi vào trường chuyên,lớp chọn hoặc thi vào THPT

B.NỘI DUNG I.PHẦN 1:CƠ SỞ LÝ THUYẾT

BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI

1.Dạng tổng quát:Với ∀x1, x2, x3, ,xn ≥0 ta có:

*Dạng 1: 1 2 1 2

n n

n

x x x n

* Dạng 2: 1 2 n 1 2

x + + + ≥ x x n x x x

*Dạng 3: 1 2

1 2

n n

n

x x x n

+ + +

Dấu bằng xảy ra ⇔x1= x2= = xn

*Một vài hệ quả quan trọng:

n

+ + +  + + + ÷≥

  với ∀xi > 0, i = 1, n +

2

n

x + x + + x ≥ x x x

+ + + với ∀xi > 0, i = 1, n

+ Nếu x1+ x2 + x3 + + xn = S = const thì Max( P=x1x2 xn)=

n

S n

 

 ÷

  Khi x1= x2= = xn= S

n

+Nếu x1x2x3 xn = P =const thì Min ( S = x1+x2+ +xn)= n Pn

Khi x1= x2= = xn= n P

2.Dạng cụ thể:

*n = 2: ∀x y, ≥ 0 khi đó:

a,

2

x y

xy

+ ≥

b,

2

2

x y

xy

+

c, ( )2

4

x y + ≥ xy

d, 1 1 4

x + ≥y x y

+

*n = 3 ∀x y, ≥ 0 khi đó:

3

x y z

xyz

+ + ≥

b, x y z + + ≥ 33 xyz

c,

3

3

xyz

+ +

d, ( )3

27

x y z+ + ≥ xyz

PHẦN 2

CÁC KỸ THUẬT SỬ DỤNG

I.ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN.

Đánh giá từ TBC sang TBN là một kỹ thuật cơ bản nhất để đánh giá bất đẳng thức theo chiều " ≥ ",đánh giá từ tổng sang tích

Bài 1:Cho x,y,z > 0.Chứng minh rằng: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

2 2 2

x y xy

y z yz

z x zx

 + ≥

 + ≥



 + ≥



(x y y z z x)( )( ) 8xyz

Bài 2:Chứng minh rằng : (x2 +y2 )(y2 +z2 )(z2 +x2 ) 8 ≥ x y z2 2 2với∀x y z, ,

Giải Sai lầm thường gặp:

Ta có :

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

2

x y xy

y z yz x y y z z x x y z x y z

z x zx

 + ≥





 + ≥



(sai)

Ở cách làm trên ta đã nhân các BĐT cùng chiều trong khi chưa biết giá trị của từng vế là

âm hay dương

Lời giải đúng:

Áp dụng BĐT Côsi, ta có:

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

x y xy

y z yz x y y z z x x y z x y z x y z

z x zx





Bài 3: Chứng minh rằng (1+ a + b)(a + b + ab)≥ 9ab với ∀a,b≥0

Giải

Ta có (1 + +a b a b ab)( + + ) 3 1 .3 ≥ 3 a b 3a b ab = 9ab

*Ở bài toán trên số 9=3.3 gợi ý cho ta sử dụng BĐT Côsi cho 3 số,2 cặp

Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x

2 2

2 2 1

x x

x+ + ≥x

+ +

Giải

2

x + + =x x+  + >

2

2

2

1

x x

x x

+ +

+ +

II.KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪ TBN SANG TBC.

Bài 1.Chứng minh rằng:

ab+ cd ≤ (a c b d+ ) ( + ) ∀a b c d, , , > 0 (1)

Giải (1) ⇔ (a c b d ab) ( ) + (a c b d cd) ( ) ≤1

( ) ( ) ( ) ( ) 12 12

a c b d a c b d a c b d a c b d

1 1(1 1) 1

a c b d

a c b d

Bài 2.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

F

Giải ĐK: x≥ 0

F

Với x≥ 0 theo BĐT Côsi ta có: 4 x =2 2 2x ≤ +2 2x

6 x = 2 3 x 3 3 ≤ x + 3

F

2(2 1) 3(3 1) 2 3 5

Vậy GTLN của F=5 khi x =1

Ở bài toán trên ta thấy để khử mẫu thì việc chuyển căn thức ở tử về biểu thức không chứa căn là việc làm cần thiết,do đó ta sử dụng BĐT Côsi chuyển từ TBN sang

TBC.Việc chuyển từ TBN sang TBC là một mặt mạnh của BĐT Côsi

Bài 3: Cho , , 0

1

a b c

a b c

>



 + + =

8 ( )( )( )

729

abc a b b c c a+ + + ≤

Giải Theo BĐT Côsi ta có:

( )( )( )

a b c a b b c c a abc a b b c c a+ + + ≤  + +   + + + + +  =    =

 ÷  ÷

III.KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI.

Bài toán mở đầu:

Cho a,b > 0.Ta có a b 2

b a+ ≥ .Khi đó ta có hệ quả với a >0 thì a 1 2

a

+ ≥ .

Dấu "=" xảy ra khi a= 1

Bài toán trên là kết quả của bất đẳng thức Côsi

Nhưng ta thử đặt câu hỏi là nếu thay điều kiều kiện a > 0 bởi a ≥1 hay a ≥2 hay a ≥5 thì lời giải bài toán như thế nào???

Bài 1:Cho a≥ 3.Tìm Min của S a 1

a

= +

+ Sai lầm thường gặp:

S a

a

a

+ Nguyên nhân dẫn đến sai lầm:

Min S=2 khi a 1

a

a

⇔ = ⇔ = mâu thuẫn với giả thiết a≥ 3 + Xác định điểm rơi:

Ta biết rằng các giá trị cực trị thường xảy ra tại các giá trị biên hoặc giá trị trung tâm.Ở bài toán này ta thấy khi a tăng thì giá trị của S cũng tăng,mặt khác ta có giá trị biên là 3 nên ta có dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất

Ta phải tách hạng tử a hoặc hạng tử 1

a để sao cho khi áp dụng BĐT Côsi dấu "=" xảy

ra khhi a = 2.Có các hình thức tách sau:

1

; (1) 1

; (2) 1

,

1

; (3)

; (4)

a a a a a

a

a a a a

α α

α α



 ÷

 ÷



 ÷



Chẳng hạn ta chọn sơ đồ (1), với điểm rơi a = 3,ta có:

3

3 1

9

3

a

a

α

 =



 =



S a

= + = + ÷+ ≥ + =

Suy ra Min S=10

3 ⇔ =a 3

Bài 3: Cho a≥ 2.Tìm Min của 2

1

S a

a

= +

+ Sai lầm:

2 2

2

S a

Vậy Min 9

4

S = khi a=2

+ Nguyên nhân:

Mặc dù đã chọn điểm rơi là a = 2 và Min 9

4

S = là đáp số đúng nhưng cách giải trên

đã mác sai lầm ở việc đánh giá mẫu số: "Nếu a≥ 2thì 2 2 24

8a ≥ 8.2 = là đánh giá sai".

Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Côsi sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu và tử

+ Xác định điểm rơi:

a = 2 cho cặp số

2

2

2 1

8

4

a

a

α

 =



 =



+ Lời giải đúng:

3

3

S a

Vậy Min 9

4

S = khi a=2

Bài 4: Cho a,b,c >0 và a+ 2b+ ≥ 3c 20.Tìm min của

3 9 4 2

S a b c

a b c

= + + + + +

+Tìm điểm rơi: Với a+ 2b+ ≥ 3c 20 ta dự đoán được điểm rơi a=2, b=3, c=4,ta có sơ đồ điểm rơi với các biến a,b,c như sau:

2

2

3 3

2

a

a

=



 =

3

9 9

b

b

=



 =



4

1

4 1

4 4

4 1

4

c

c

γ γ

=



 = =



Giải

S a b c

= + + + + + = + ÷ + + ÷ + + ÷+ + +

Theo BĐT Côsi ta có:

3 3 2 8

 +  + +  + + ≥ + + =

a b c a b c

a+ b+ ≥c ⇒ + + = + + ≥ =

(2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được: S ≥ 13 ⇒Min S = 13

Đẳng thức xảy ra ⇔a=2, b=3, c=4

IV.KĨ THUẬT CÂN BẰNG HỆ SỐ:

Bài toán mở đầu:

Cho các số thực không âm x,y,z thoã mãn điều kiện xy + yz + zx = 1,chứng minh bất đẳng thức:

2 2 2

10x + 10y + ≥z 4

Giải Theo BĐT Côsi ta có:

2 2

2x + 2y ≥ 4xy

2 1 2

2

x + z ≥ xz

2 1 2

2

y + z ≥ yz

Cộng từng vế cả 3 bất đẳng thức trên ta được:

( )

2 2 2

10x + 10y + ≥z 4 xy yz zx+ + = 4

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

1 3 4

4 4

3

x y x y

x z

z

y z



=

 = ⇔

Đây là một lời giải đẹp,ngắn gọn nhưng hơi thiếu tự nhiên.Chúng ta sẽ tự hỏi tại sao lại tách 10=2 + 8 đây là sự ngẫu nhiên hay may mắn?Và nếu tách theo cách khác, chẳng hạn 10 = 3 + 7 liệu có giải được không?Tất nhiên,mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả,và tách 10=2+8 cũng không phải là sự may mắn

Bài 1: Chứng minh rằng nếu xy + yz +zx = 5 thì

2 2 2

3x + 3y + ≥z 10

+ Phân tích tìm lời giải:

Ta cần tách các hạng tử 3x2, 3y2, z2 sao cho khi áp dụng BĐT Côsi thì xuất hiện các tích

xy, yz, zx mà có phần hệ số bằng nhau để ta sử dụng được giả thiết xy + yz +zx = 5

Ta tách 3 = + −l (3 l) với (0 ≤ ≤l 3) và áp dụng BĐT Côsi cho các cặp số (x,y),(y,z),(x,z)

ta có:

2 2 2

lx +ly ≥ lxy

( ) 2 1 2

2

l x z l xz

( ) 2 1 2 ( )

2

Do đó 3x2 + 3y2 + ≥z2 2lxy+ 2(3 −l xz yz)( + ),vậy ta phải tìm số l dương sao cho

2l= 2(3 −l) ⇒ =l 1

Giải

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

2 2

2

x +y ≥ xy

2 1 2

2

y + z ≥ yz

2 1 2

2

x + z ≥ xz

Cộng vế theo vế từng BĐT trên ta được:

3x2 + 3y2 + ≥z2 2(xy yz zx+ + ) 2.5 10 = = (đpcm)

Bây giờ ta sẽ xét bài toán tổng quát như sau:

Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của

k x( 2 +y2 ) +z2

Trong đó các số thực x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1 và k là một hằng số dương

Giải

Ta hãy tách k l= + − (k l) với (0 ≤ ≤l k)và áp dụng BĐT Côsi theo phương pháp tương tự

như trên

2 2 2

lx +ly ≥ lxy

( ) 2 1 2

2( ) 2

k l x− + z ≥ k l xz−

2 1 2

2

k l y− + z ≥ k l yz−

Do đó k x( 2 +y2 ) + ≥z2 2lxy+ 2(k l xz yz− )( + )

Trong trường hợp này, ta không phải cân bằng điều kiện đẳng thức mà ta phải cân bằng điều kiện giả thiết, tức là cần tìm số một số dương l sao cho 2l= 2(k l− ).Khi đó

2 2 2

k x +y + ≥z l xy yz zx+ + = l

Số l được chọn ở trên thỏa mãn phương trình

4

k

l = − ⇔k l l + = ⇔ =l k l − + +

Và ta suy ra kết quả

2 2 2 1 1 8

2

k

k x +y + ≥z − + +

C.KẾT LUẬN

Nội dung của chuyên đề tập trung vào việc cung cấp cho học sinh các kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô si để chứng minh bất đẳng thức.Chuyên đề được trình bày theo cấu trúc : cung cấp, hệ thống cho học sinh các kiến thức cơ bản, đưa ra những qui tắc chung trong việc chứng minh bất đẳng thức,nêu ra những sai lầm mà học sinh thường mắc phải

và đồng thời chỉ ra những sai lầm đó, phân tích và tìm tòi đưa ra lời giải Cách trình bày trên chắc chắn sẽ lảm cho học sinh hiểu vấn đề một cách sâu sắc hơn và chủ động hơn trong việc suy nghĩ tránh tình trạng bị động không định hướng được trong phương pháp giải Khi thực hiện chuyên đề này tôi mong muốn giúp học sinh nâng cao năng lực

chứng minh bất đẳng thức cũng như giúp các em tự tin và hào hứng hơn với bất đẳng thức

Tuy nhiên do bất đẳng thức có một phạm vi khá rộng nên chuyên đề này chỉ tập trung vào một số kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô si Mặt khác do trình độ còn hạn chế nên chắc chắn không thể tránh khỏi nhiều thiếu sót nên tôi rất mong được mọi người góp

ý để chuyên đề được hoàn thiện hơn

Nghi công tháng 4 năm 2011 Người viết

Nguyễn Quốc Hùng