đạo hàm 11 (hay)

Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng

Giải tích toán học Tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Giới hạn, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, dãy số, hàm số, nguyên lý Cantor, nguyên lý Cauchy, giới hạn trên, giới hạn dưới, vô cùng bé, vô cùng lớn, hàm số hợp, hàm số ngược. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số 3

2.1.1 Định nghĩa dãy số 3

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ 5

2.1.3 Giới hạn vô hạn 8

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ 9

2.2.1 Các định lý 9

2.2.2 Số e 10

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại 11

2.2.4 Sự hội tụ của dãy bị chặn 12

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số 13

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới 14

2.3 Khái niệm về hàm số một biến số 16

Chương 2 Giới hạn của dãy số và hàm số

Lê Văn Trực

2.3.1 Định nghĩa 16

2.3.2 Đồ thị của hàm số 16

2.3.3 Hàm số hợp 18

2.3.4 Hàm số ngược 18

2.3.5 Các hàm lượng giác ngược 20

2.3.6 Các hàm số hypebol 22

2.3.7 Các hàm hypebol ngược 23

2.4 Giới hạn của hàm số 25

2.4.1 Lân cận của một điểm 25

2.4.2 Các định nghĩa giới hạn 26

2.4.3 Giới hạn một phía 29

2.4.4 Giới hạn vô cùng 30

2.4.5 Các tính chất của giới hạn 31

2.4.6 Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 31

2.4.7 Vô cùng bé Vô cùng lớn 32

2.4.8 Các giới hạn đáng nhớ 35

2.5 Bài tập chương 2 46

Chương 2

Giới hạn của dãy số và hàm số

2.1 Giới hạn của dãy số

2.1.1 Định nghĩa dãy số

Cho *={1,2,3,…} là tập hợp các số tự nhiên Một ánh xạ f: * → được gọi là

một dãy số thực Nếu đặt x n = f(n) thì ta có thể biểu diễn dãy số dưới dạng:

1, 2, 3, , n,

x x x x (2.1.1)

Phần tử xn được gọi là số hạng thứ n của dãy số

Để cho gọn ta sẽ ký hiệu dãy số bằng {xn} Chỉ số n trong số hạng xn chỉ vị trí của số hạng này trong dãy (2.1.1)

Trước hết ta hãy nêu ra một vài ví dụ về dãy:

Bây giờ ta đưa ra định nghĩa chính xác về giới hạn của dãy

Định nghĩa 1: Ta nói rằng số a là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi số dương ε bé tuỳ

ý đều tìm được một số p∈ * sao cho ∀ >n p n, ∈ * ta đều có:

Ta chú ý rằng số p ở trên nói chung phụ thuộc vào việc chọn ε Để nhấn mạnh điều đó

đôi khi thay cho p ta sẽ viết pε

Khoảng mở (a−ε , a+ε ) có tâm tại điểm a được gọi là lân cận của điểm a Như vậy, để a

là giới hạn của dãy {xn} thì với lân cận bé bất kỳ của điểm a tất cả các phần tử xn của dãy bắt đầu từ một chỉ số nào đó cần phải rơi vào trong lân cận đó (tức là ngoài lân cận đó chỉ

Ví dụ 2

Hãy chỉ ra rằng dãy:

{( 1) } : 1,1, 1, ,− n − − (2.1.8) không có giới hạn

Giả sử rằng dãy có giới hạn là a Khi đó với ε =1, tồn tại số p sao cho với n>p ta có |xn – a|< ε =1

Ta hãy chọn n lớn hơn p, khi đó n+1>p, cho nên

2.1.2 Các tính chất của dãy hội tụ

nhưng b cũng là giới hạn của dãy (2.1.1), nên với số ε nói trên, ta tìm được p2 sao cho với

Gọi k = max {|x1|,|x2|,|x3|,…,|xn|,|a|+1} Khi đó|xn|≤ k ∀n=1,2,3,…, tức là dãy {xn } bị chặn

Ta chú ý rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ

được gọi là dãy con của dãy (2.1.1) Hiển nhiên dãy con của dãy (2.1.12) cũng là dãy con của dãy (2.1.1)

Ta chú ý rằng

n

k ≥ n ∀ n∈ * (2.1.13)

Thật vậy k1≥ 1, cho nên k2>1 và do đó k2≥ 2, bởi vì k2 là số tự nhiên

Một cách tổng quát giả sử ta đã chứng minh được k n ≥ n, ta nhận được k n+1 > và do đó n

lim( n n)

n x y ab (2.1.20) (iv)

→∞

1 lim( )

n

n

y = 1

b với y n ≠0, b≠0 (2.1.21) (v)

Từ đây suy ra điều phải chứng minh

(ii) Chứng minh tương tự như trên

khi n>p1 thì |xn − a|< ε , khi n>p2 thì |yn −b|< ε

Gọi p =max(p1,p2) thì khi n>p ta có:

(v) Kết luận này là hệ quả của (iii) và iv

d) Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong bất đẳng thức

Định lý 2.1.5 Giả sử lim lim

→∞ n < →∞ n

n x n y Khi đó tìm được một số p sao cho với n>p thì x n < y n

Mặt khác vì x n →a và a < r nên tồn tại p1 sao cho khi n > p1 thì xn < r

Tương tự ta tìm được p2 sao cho khi n > p 2 thì y n > r

Nếu gọi p =max(p 1 ,p 2 ) thì khi n>p ta có xn <r và yn>r, nghĩa là xn<yn, và điều này mâu thuẫn với giả thiết

(ii) Vì xn→a nên với ε >0 cho trước tìm được p1 sao cho khi n >p1 thì:

| x n − <a| ε hay a− <ε x n < + a εTương tự, vì z n → , ta tìm được pa 2 sao cho khi n>p2 ta có a− <ε z n < +a ε

Từ đây, đặt p = max(p 1 ,p 2 ), thì khi n > p ta có

− < n ≤ n ≤ n < +

Suy ra a− <ε y n < +a ε, tức là y n → , điều phải chứng minh a

2.1.3 Giới hạn vô hạn

Định lý 2.1.7 Cho dãy số {xn} Nếu với mọi M > 0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p

sao cho ∀ >n p, ta có xn>M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn cộng vô cùng và ký hiệu là

lim n

→∞ = +∞

Nếu với mọi M >0 lớn tuỳ ý, bao giờ cũng tồn tại một số p sao cho ∀ >n p, ta có xn < –

M, thì ta nói rằng dãy {xn} có giới hạn trừ vô cùng và ký hiệu là

lim n

→∞ = −∞ Cuối cùng ta hãy chú ý rằng một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó có giới hạn hữu hạn Dãy có giới hạn là ±∞ không được xem là dãy hội tụ

2.2 Tiêu chuẩn hội tụ

+

< ∀ ∈ * 1

ta nói rằng dãy (2.2.1) là dãy thực sự tăng Tương tự, nếu như

* 1

+

> ∀ ∈

thì ta nói rằng dãy (2.2.1) thực sự giảm

Các dãy nói trên gọi chung là các dãy đơn điệu Tất cả các dãy đơn điệu tạo nên một lớp dãy rất quan trọng Bây giờ đối với những dãy này ta có hai định lý quan trọng sau

Định lý 2.2.1 Giả sử dãy (2.2.1) là không giảm Nếu như dãy không bị chặn trên thì

(i) Giả sử dãy (2.2.1) không bị chặn trên Khi đó ∀M >0 lớn tuỳ ý, ta đều tìm được

một số tự nhiên p sao cho xp>M (tức là ít nhất một số hạng của dãy lớn hơn M) Bởi vì, dãy là không giảm, nên khi n>p, ta có: x n ≥x p và do đó xn>M, cho nên

Dãy số đơn điệu là hội tụ khi và chỉ khi nó bị chặn

Ta thấy rằng dãy hội tụ bất kỳ là bị chặn Tất nhiên, ta cũng biết rằng dãy bị chặn không nhất thiết phải hội tụ Ví dụ như dãy 1

{( 1)− n+ } là bị chặn nhưng không hội tụ Nhưng dãy bị chặn đơn điệu luôn luôn hội tụ Ví dụ sau đây có một vai trò cực kỳ quan trọng trong giải tích cũng như trong ứng dụng

y

n Ta thấy rằng dãy {yn}là dãy giảm, tức là

2 2

2.2.3 Nguyên lý Cantor về dãy các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại

Định lý 2.2.4 Giả sử [a b1, 1]⊃[a b2, 2]⊃ ⊃[a b n, n]⊃ là dãy vô hạn các đoạn thẳng lồng nhau và thắt lại:

Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử

a b

α (2.2.25) Nhưng theo định lý về hiệu của hai giới hạn:

Định lý 2.2.5 Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa một dãy con hội tụ

Ở đây ta không chứng minh định lý này (độc giả có thể đọc trong cuốn [1]) và chỉ lưu ý rằng đây là một định lý rất quan trọng về mặt lý thuyết Sau này ta sẽ thấy rằng khi dùng định

lý Bolzano – Weierstrass có thể chứng minh một số tính chất rất đặc trưng của hàm liên tục

2.2.5 Nguyên lý Cauchy về sự hội tụ của một dãy số

Định nghĩa 2 Dãy {xn} được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ >ε 0 cho trước bao giờ cũng ∃ ∈p * sao cho ∀m n, > p ta có | x n−x m|<ε

Định lý 2.2.6 (Nguyên lý Cauchy): Một dãy số hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản

Vậy {xn} là dãy cơ bản

ii) Điều kiện đủ

Giả sử {xn} là dãy cơ bản Trước hết ta hãy chứng minh dãy {xn} bị chặn Thật vậy

x x n , vậy dãy {xn} phân kỳ

Ví dụ 2: Dùng tiêu chuẩn Cauchy để xét sự hội tụ của dãy

2.2.6 Giới hạn trên và giới hạn dưới

thì ta nói rằng a là một giới hạn riêng của dãy {xn}

Ví dụ như dãy{(−1)n} có hai giới hạn riêng là 1 và −1

b) Giới hạn trên và giới hạn dưới:

Cho {xn} là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt

Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy{x n} và ký hiệu là lim

x là giới hạn riêng nhỏ nhất của dãy đó

Chứng minh: Ta chứng minh cho lim n

∀ >ε u n > − ∀a ε n Theo tính chất của supremun ta có ∀ ∃n, k để a− <ε x n k+ ≤a

Từ đây ta thấy rằng dãy {xn} có vô số số hạng nằm trong (a−ε, ]a Vậy a là giới hạn

riêng của dãy {xn}

Sau đây ta chứng minh a là giới hạn riêng của lớn nhất

Bây giờ giả sử ngược lại có một dãy con { }

Cho X Y, :X ⊂ , Y ⊂ Ánh xạ f X: →Y được gọi là một hàm số một biến số thực,

tập X gọi là tập xác định của hàm số Người ta còn kí hiệu tập xác định của hàm số f là Df Tập

Y thường được gọi là tập giá trị của hàm số

Phần tử x∈X được gọi là biến độc lập, hay đối số, còn f x( )∈Y được gọi là biến phụ

thuộc hay hàm số Để chứng tỏ hàm số f cho tương ứng mỗi phần tử x∈X với một phần tử xác định ( )∈f x Yta thường viết x f x( ) hay y= f x( )

Ví dụ: x x là hàm số đồng nhất, thường kí hiệu là id(x)

Giả sử trên một mặt phẳng cho hai trục toạ độ vuông góc, trục Ox và trục Oy, trục Ox gọi

là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung, đồ thị của hàm f với tập xác định X là tập hợp các điểm (x,y) thoả mãn phương trình y = f(x) , với x∈X

Cho nên đồ thị của hàm số trên là nửa đường tròn phía trên và nửa đường tròn phía dưới (nét đứt) là đồ thị của hàm − 3 x− 2 (Hình 2.3.1)

x được xác định với mọi x≠0(Hình 2.3.2)

Ví dụ 3: x→E x( )=[ ]x trong đó [ ]x là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x, là hàm số phần nguyên của x

Vì trong khoảng [−2,−1), [−1,0), [0,1), [1,2), [2,3)… hàm nhận giá trị hằng số… −2,

−1,0,1,2… cho nên đồ thị là một dãy các đoạn thẳng nằm ngang, không kể các đầu mút bên phải (Hình 2.3.3a)

Ví dụ 4: Cho x là số tự nhiên, gọi T(x) là số lượng ước số dương của x, ví dụ như T(1)=1,

T(6)=4 (ước số dương của 6 là 1,2,3,6)…

Cho nên x→T x( )là hàm số mà tập xác định của nó là tập hợp các số tự nhiên Đồ thị của hàm này gồm những điểm rời rạc (Hình 2.3.3b)

-1 0 1 2 3 x

2 1 -1

Hình 2.3.3a Hình 2.3.3b

x 1 2 3 4 5 6 7…

Theo định nghĩa trên cho hàm số f :X →Y nghĩa là

i) Cho tập xác định X của hàm này,

ii) Cho quy luật tương ứng mỗi x∈Xvới một số xác định f x( ) ∈Y

Hai hàm f, g được xem là như nhau nếu như có cùng tập xác định X và nếu f(x)=g(x)

Như vậy hàm f ánh xạ tập X lên tập Y Ngoài ra ta giả thiết rằng f cũng là đơn ánh, nghĩa

là với x1 ≠ x2, , x1 x2∈X thì f x( 1)≠ f x( 2) Khi đó mỗi phần tử y∈Y đều là ảnh của đúng một phần tử x∈X nên ta có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y∈Y với một phần tử x∈X

Phép tương ứng đó đã xác định một hàm số từ tập Y sang tập X Hàm số này được gọi là hàm

số ngựơc của hàm f và được kí hiệu là 1

Cho nên trong cùng một hệ trục toạ độ đồ thị hàm số y= f x( ) và 1

1 2

Đồ thị của hàm số y= xα, α >0luôn đi qua gốc toạ độ và điểm (1,1)

Tương tự ta có thể xét hàm số y= xα với α <0, trong trường hợp này hàm số không xác

Bây giờ hãy vẽ đồ thị của hàm số y=loga x Hàm số này nhận được từ hàm số

Hàm số y=sinx được xác định trong khoảng X=(−∞ +∞, ) và giá trị của nó lấp đầy đoạn

Y =[−1,1] Đường thẳng song song với trục Ox cắt đường sin, tức đồ thị của hàm số y = sinx tại một tập vô hạn các điểm, nói một cách khác mỗi giá trị y∈[−1,1] sẽ ứng với một tập vô hạn các giá trị của x∈X Vì vậy, hàm ngược mà ta kí hiệu là x = Arcsiny, sẽ là hàm đa trị

2 π

⎣ ⎦, nó được kí hiệu bằng x = arcsiny

và gọi là nhánh chính của hàm Arcsiny

Bằng cách lấy đối xứng đường sin qua đường phân giác thứ nhất ta được đồ thị của hàm

đa trị y = Arcsinx Bằng cách thu hẹp đồ thị trên với ,

Ta có công thức cho tất cả các giá trị của hàm ngược

Ta thấy y = cosx, 0 ≤ ≤x π ar ccos ⇔ x= y

Hàm số ngược của hàm số y = cosx là hàm số y = arccosx Hàm số y = arccosx có miền

xác định là tập [−1,1] và miền giá trị là [0,π ] và là hàm số giảm (xem hình vẽ Hình 2.3.5)

Do đó hàm số y=arctgx có tập xác định là tập và tập giá trị là khoảng mở ,

π

Hình 2.3.6 Hình 2.3.7

e) Khái niệm các hàm sơ cấp

Trong toán học các hàm số sau đây được gọi là các hàm số sơ cấp cơ bản: hàm số luỹ thừa:x→xα,α∈ ; hàm số mũ: x→a a x, >0,a≠ ; hàm số logarit: 1 x→loga x; các hàm

số lượng giác: x →sinx, x→cosx, x→tgx, x→cotgx và các hàm số lượng giác ngược Người

ta gọi hàm sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), các phép lấy hàm số hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản Trong phần này, ngoài các hàm số sơ cấp nêu trên, ta còn nghiên cứu lớp các hàm số hypebol

−

+

=

1 2

x

a

1 2

Hình 2.3.8 Hình 2.3.9

Đó là đường cong đi qua điểm (0,1) và đối xứng qua trục Oy Hàm y là hàm số chẵn

Trong góc toạ độ thứ nhất khi x→ +∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị của đường 1

2

x

a và trong góc toạ độ thứ hai, khi x→ −∞ đồ thị của hàm số (2.3.1) dần đến đồ thị hàm số

12

x

a− Hàm số

ta có thể thiết lập những hệ thức đơn giản như sau:

Nói chung h x1( ) có những tính chất tương tự với cosx, h x2( ) có những tính chất tương

tự với sinx Khi a = e ta gọi hàm thứ nhất là cosinhypebol, ký hiệu là chx, hàm thứ hai là sinhypebol, kí hiệu là shx, như vậy

a) Hàm y= Argshx

Hàm số shx ánh xạ tập lên nên nó có hàm ngược, ta ký hiệu là y=Argshx Vậy

y =Argshx ⇔ x=shy với ∈ x ,y∈

Hàm y=chx ánh xạ khoảng [0,+∞ lên khoảng [1,) +∞ , vậy ta có thể xác định một hàm )

ngược, ký hiệu là Argchx

Vậy y=Argchx, x∈[1,+∞),y∈[0,+∞)⇔ =x ch ,y y∈[0,+∞), x∈ +∞[1, ) Đồ thị của

hàm số y = Argchx suy từ đồ thị của y=chx, x≥0bằng phép lấy đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

Vậy với x≥1 cho trước thì t là nghiệm của phương trình bậc hai t 2−2tx+1=0

Với x≥1 phương trình trên có hai nghiệm dương mà tích của chứng bằng 1 Vậy trong hai nghiệm thì nghiệm lớn hơn có lôga dương và ta có

Một cách tương tự, do hàm thx ánh xạ khoảng (−∞ +∞, ) lên khoảng (−1,1) ta có thể xét

hàm ngược của nó y=Argthx Trong khoảng (−1,1) hàm y=Argthx tương đương với hàm

2.4.1 Lân cận của một điểm

a) Lân cận của một điểm

Cho một điểm x0∈ Một tập hợp con U ∈ đựơc gọi là lân cận của điểm x0 nếu có một số ε >0 sao cho (x0−ε,x0+ε)⊂U

Từ định nghĩa, ta suy ra:

i) Nếu U là lân cận của x0 thì mọi tập V ⊃U cũng là lân cận của điểm x0

ii) Nếu U1, U2 là lân cận của điểm x0 thì U1∩U2 là lân cận của điểm x0

iii) Khoảng là lân cận của mọi điểm của nó Ta thường gọi khoảng (x0−ε,x0+ε là ε )

lân cận của x0 và kí hiệu là 0 (ε x0)

b) Điểm tụ

Ta xét tập hợp A⊂ Điểm a được gọi là điểm tụ (điểm giới hạn) của tập A nếu lân cận

bất kỳ (a−δ,a+δ của điểm a đều chứa ít nhất một điểm của A mà điểm đó khác a )

Điểm tụ của tập A có thể thuộc A hoặc có thể không thuộc A, ví dụ nếu A=[a,b] hoặc A=(a,b], điểm a, trong cả hai trường hợp, là điểm tụ của A, nhưng trong trường hợp đầu nó thuộc A, còn trong trường hợp thứ hai thì không

Nếu A = (0,1), thì mọi điểm a∈(0,1)đều là điểm tụ của A, ngoài ra các điểm

a = a = tuy không thuộc A nhưng vẫn là điểm tụ của A

Một dãy điểm {xn} được gọi là dãy phân biệt nếu như mọi cặp phần tử bất kỳ của dãy đều khác nhau, tức là x m ≠x n nếu m≠ n

Ta thấy rằng nếu a là điểm tụ của A thì có thể trích ra từ A, theo vô số cách, một dãy điểm

phân biệt x x x x1, 2, 3, 4, các phần tử của A khác a hội tụ đến a Thật vậy, bằng cách chọn

một dãy các số dương δn → , rồi trong mỗi lân cận 0 (a−δn,a+δ của điểm a (với n = n)

1,2,3,…) ta chọn một điểm x = xn thuộc A khác a Khi đó vì δn →0 và |xn− a|<δn nên

→ = , nếu với mọi dãy

{xn}⊂ A mà x n → thì dãy các giá trị tương ứng của hàm số {y a n}={f(xn)} đều dần đến giới

hạn L