giải toán bằng cách lập phương trình lơp 9

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Tiết 40: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ I.. KIẾN THỨC CƠ BẢN * Các bước giải bài toán bằng cách lập phương

Trang 1

PHẦN II GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Tiết 40: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN VỀ SỐ - CHỮ SỐ

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn

+ Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn (ghi rõ đơn vị của ẩn)

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

- Dựa vào các dữ kiện và điều kiện của bài toán để lập phương trình

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời

* Kiến thức liên quan:

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

∆ = b2 - 4ac

+ Nếu ∆> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b

2

∆ +

−

; x2 =

a

b

2

∆

−

+ Nếu ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -

a

b

2 + Nếu ∆< 0 thì phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

b = 2b' ;∆' = b'2 - ac

+ Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 =

a

b '+ ∆ '

−

; x2 =

a

b' − ∆ '

−

+ Nếu ∆'= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -

a

b'

+ Nếu ∆'< 0 thì phương trình vô nghiệm

Trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm:x1 = -1; x2 =

-a c

- Nhắc lại công thức liên hệ giữa số bị chia, số chia, thương và số dư

Số bị chia = (số chia) x (thương) + (số dư)

(Số dư < số chia)

- Nhắc cách viết số có hai chữ số dưới dạng một tổng (cấu tạo số)

Trang 2

nếu a chữ số hàng chục, b là chữ số hàng đơn vị thì ab = 10a + b

Với a, b ∈ N và 1 ≤a ≤9 ; 0 ≤ b ≤ 9

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109 Tìm hai số

đó

Giải

Gọi số tự nhiên nhỏ là x; x∈ N*, thì số tự nhiên liền sau là x + 1

Tích của hai số là: x(x+1), tổng của hai số là: 2x+1

Theo bài ra ta có phương trình:

x(x+1) - (2x+1) = 109 ⇔x2 - x - 110 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 11 (TMĐK)

x2 = -10 (loại)

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12

Bài tập 2: Cho một số có hai chữ số Tổng hai chữ số của chúng bằng 10, tích của hai

chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12 Tìm số đã cho?

Giải

Gọi chữ số hàng chục của số đã cho là x (x *

N

∈ , x ≤ 9) Chữ số hàng đơn vị là 10 - x

Giá trị của số đã cho là 10x +10 - x = 9x +10

Theo bài ra ta có phương trình: x(10 - x) = 9x + 10 -12

⇔ x2 - x - 2 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 2 (TMĐK)

x2 = -1 (loại)

Ta có chữ số hàng chục là 2, chữ số hàng đơn vị là 8

Vậy số phải tìm là 28

Trang 3

III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài tập 1: Phân tích số 270 ra hai thừa số mà tổng của bằng 33

Bài tập 2: Một số có hai chữ số Tổng các chữ số của chúng bằng 10, tích của hai chữ

số ấy nhỏ hơn số đã cho là 82 Tìm số đã cho?

Bài tập 3: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 8 và tổng các bình phương của chúng

bằng 424

Bài tập 4: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 25 và hiệu các bình phương của chúng cũng bằng 25

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

* Bước 1: Lập phương trình

* Bước 2: Giải phương trình

* Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời

* Các kiến thức liên quan:

∆ = b2 - 4ac

x1 =

a

b

2

∆ +

−

; x2 =

a

b

2

∆

−

+Nếu ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -

a

b

2 +Nếu ∆< 0 thì phương trình vô nghiệm

- Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

b = 2b' ; ∆' = b'2 - ac

x1 =

a

b '+ ∆ '

−

; x2 =

a

b' − ∆ '

−

Trang 4

a

b'

*Trường hợp đặc biệt:

a c

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =

-a c

- Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian)

Bài tập 1: Một xe ô tô đi từ A đến B dài 120 km trong một thời gian dự định Sau khi đi

được nửa quãng đường thì ô tô tăng vận tốc thêm 10 (km/h) nên xe đến B sớm 12 phút

so với dự định Tính vận tốc ban đầu của xe

Giải

Gọi vận tốc ban đầu của xe là x(km/h); ( x>0)

Thời gian dự định đi từ A đến B là

x

120 (h)

Thời gian thực tế đi từ A đến B là (

x

60 + 10

60

+

x ) (h)

Xe đến B sớm 12 phút =

5

1

h, so với dự định ta có phương trình

x

120

- (

x

60 + 10

60

+

x ) =

5

1

⇔

x

60

- 10

60 +

5 1

⇒ x2 + 10x - 3000 = 0

Giải PT ta có: x1= 50 (TMĐK); x2= - 60 ( loại)

Vậy vận tốc ban đầu của xe là 50 (km/h)

Bài tập 2: Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe cùng loại để vận chuyển 100 tấn hàng,

lúc sắp khởi hành đoàn xe được giao thêm 44 tấn nữa Do đó phải điều thêm hai xe cùng

loại, và mỗi xe phải chở thêm 2 tấn nữa Tính số xe phải điều theo dự định

Bài giải

Trang 5

Gọi số xe phải điều thêm dự định là x; (2< x ∈ N*)

Theo dự định mỗi xe phải chở số hàng là 100

x (tấn)

Vì đoàn xe phải nhận thêm 44 tấn hàng nên số hàng lúc sau là: 100+44= 144 (tấn)

Vì đoàn xe phải điều thêm 2 xe, nên số xe lúc sau là x + 2 và mỗi xe phải chở số hàng lúc sau là 144

2

x+ (tấn)

Vì mỗi xe phải chở thêm nửa tấn ta có PT: 100

x + 2= 144

2

x+

⇒ x2 - 20x + 100 = 0 (1)

Giải PT (1): ∆'= (-10)2 - 100 = 0

Phương trình có nghiệm kép: x1= x2 = 10; (TMĐK)

Vậy số xe dự định phải điều là 10

Bài tập 1: Để đi đoạn đường Từ A đến B, một xe máy đã đi hết 6h40 phút, còn một ô tô

chỉ đi hết 5h Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy 40 km/h

Bài tập 2: Một người đi xe đạp đi từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 30km Khi từ

B trở về A, người đó chọn con đường khác dễ đi hơn nhưng dài hơn con đường cũ 6 km

Vì thế, khi đi về với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3 (km/h) nên thời gian về ít hơn thời gian đi 20 phút Tính vận tốc lúc đi

=======================================

DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG

+ Bước 1: Lập phương trình

Trang 6

+ Bước 2: Giải phương trình

+ Bước 3: Kiểm tra, nhận định kết quả và trả lời

∆ = b2 - 4ac

x1 =

a

b

2

∆ +

−

; x2 =

a

b

2

∆

−

+Nếu ∆= 0 thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = -

a

b

2 +Nếu ∆< 0 thì phương trình vô nghiệm

b = 2b' ;∆' = b’2 - ac

x1 =

a

b '+ ∆ '

−

; x2 =

a

b' − ∆ '

−

a

b'

* Trường hợp đặc biệt:

a c

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

-a c

- Công thức chuyển động đều: S = v.t (s là quãng đường, v là vận tốc, t là thời gian)

Công thức : Vt xuôi = Vt + Vn

Vt ngược = Vt - Vn

Bài tập 1: Một ca nô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18km Biết rằng thời gian xuôi

lâu hơn thời gian ngược là 1 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn tốc ngược là 6km/h Tính vận tốc ca nô lúc ngược dòng

Giải

Gọi vận tốc ca nô lúc ngược dòng là x(km/h) ( ĐK: x>3)

Khi đó:

Vận tốc xuôi dòng là: x + 6 (km/h)

Thời gian xuôi dòng 45 km là: 45

6

x+ (giờ)

Trang 7

Thời gian ngược dòng 18 km là: 18

x (giờ) Theo bài ra ta có phương trình: 45

6

x+

-18

x = 1 ⇒x2 - 21x + 108 = 0

Giải phương trình ta được: x1 = 12(TMĐK); x2 = 9(TMĐK)

Vậy vận tốc ca nô lúc ngược dòng là 12km/h hoặc 9 km/h

Bài tập 2: Một ô tô chuyển động đều với vận tốc đã dự định để đi hết quãng đường

120km trong một thời gian đã định Đi được một nửa quãng đường xe nghỉ 3 phút nên

để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2 km/h trên quãng còn lại Tính thời gian

xe lăn bánh trên đường

Giải

Gọi vận tốc đã định của ô tô là x (km/h);(ĐK: x>2)

Khi đó:

Thời gian dự định đi là: 120

x (giờ)

Đi được nửa quãng đường tức là đi được 60 km xe nghỉ 3 phút hay 1

20(giờ), như vậy thời gian xe đi trên nửa quãng đường đầu là 60

x Sau khi nghỉ, để đến nơi đúng giờ

xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h tức là đi với vận tốc: (x+2) km/h, do đó trên nửa quãng

đường sau xe phải đi trong 60

2

x+ (giờ)

Theo bài ra ta có PT: 60

x + 60

2

x+ +

1

20 = 120

x

⇒ x2 + 2x - 2400 = 0

Giải phương trình ta được: x1 = 48(TMĐK) ; x2 = -50 (loại )

Vậy thời gian xe lăn bánh trên đường là: (60 60

48 + 50) giờ = 49 2 9

20 = 20(giờ)

Bài tập 1: Để đi đoạn đường từ A đến B, một xe máy đi hết 3h20 phút, cũng đoạn

đường đó ô tô chỉ đi hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết rằng vận tốc của

ôtô lớn hơn vận tốc xe máy 20km/h

Bài tập 2: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 5h20 phút một chiếc ca nô

chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 km Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 km

Bài tập 3: Hai bến sông A và B cách nhau 40 km Cùng một lúc với ca nô đi xuôi từ A

có một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h Sau khi đến B ca nô trở về bến A ngay và gặp bè khi đã trôi được 8km Tính vận tốc riêng của ca nô Biết vận tốc của ca nô không thay đổi

Trang 8

TIẾT 9: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT

*Quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình thu được ở bước 1

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả mãn điều kiện của ẩn Kết luận bài toán

+ Công thức nghiệm của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

∆ = b2 - 4ac

x1 =

a

b

2

∆ +

−

; x2 =

a

b

2

∆

−

a

b

+ Công thức nghiệm thu gon của phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a≠0)

b = 2b' ;∆' = b’2 - ac

x1 =

a

b '+ ∆ '

−

; x2 =

a

b' − ∆ '

−

a

b'

+ Trường hợp đặc biệt:

+ Nếu a + b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1= 1; x2 =

a c

+ Nếu a - b + c = 0 phương trình có nghiệm: x1= - 1; x2 =

-a

c

* Chú ý :

Để giải bài toán bằng cách lập phương trình, cần phải "Phiên dịch ngôn ngữ thông

thường sang ngôn ngữ đại số”, tức là cần biểu thị các đại lượng trong bài toán theo ẩn và

Trang 9

các số đã biết rồi thiết lập phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng trong bài toán

Bài tập 1: Theo kế hoạch một đội xe cần chuyên chở 120 tấn hàng Đến ngày làm việc

có 2 xe bị hỏng nên mỗi xe phải chở thêm 16 tấn mới hết số hàng Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe?

Giải:

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (xe), (ĐK: x > 2; x nguyên)

Theo dự định mỗi xe phải chở: 120

x (tấn) Thực tế mỗi xe đã chở: 120

2

x− (tấn)

Theo bài ra ta có phương trình: 120

2

x− -

120

x = 16 ⇒ x2 - 2x - 15 = 0

⇔x1 = 5 (TMĐK); x2 = -3 (loại) Vậy số xe lúc đầu của đội là 5 xe

Bài tập 2: Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy

nước Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất có thể chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai

là 2 giờ Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu?

Giải

Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(giờ)

(ĐK: x > 0)

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong x + 2 (giờ)

2 giờ 55 phút = 175

60 h=35

12hgiờ

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được: 1

x(bể) Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được:

2

1 +

x (bể) Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được: 12

35(bể);

Theo bài ra ta có PT: 1

x+

2

1 +

x = 12

35

⇒ 6x2 - 23x - 35 = 0

x1 = 5 (TMĐK); x 2 =

6

7

− (loại) Vậy, vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể trong 5 giờ

Vòi thứ hai chảy riêng đầy bể trong 7 giờ

Trang 10

Bài tập 1:

Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày song việc Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ 2 tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc

Bài tập 2:

Một xí nghiệp dự định đánh bắt 145 tấn cá trong một thời gian nhất định Nhưng thực tế mỗi ngày họ đã đánh bắt được vượt kế hoạch 1 tấn nên đã hoàn thành sớm so với dự

định 4 ngày và vượt mức kế hoạch 5 tấn Hỏi thời gian dự định hoàn thành kế hoạch

Bài tập 3:

Để chảy đầy một bể nước, người ta có thể cho vòi I chảy trong 1,5 giờ hoặc cho vòi II

chảy trong 2 giờ Người ta đã cho vòi I chảy trong một thời gian, rồi khóa lại và cho vòi

II chảy tiếp, tổng cộng trong 1,8 giờ thì bể đầy Tính xem mỗi vòi đã chảy trong bao lâu

TIẾT 44: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

DẠNG TOÁN NĂNG SUẤT (TIẾP)

II KIẾN THỨC CƠ BẢN

* Quá trình giải bài toán bằng cách lập phương trình gồm các bước sau:

Bước 1: Lập phương trình

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn số và các đại lượng đã biết

- Lập phương trình biểu thị sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2: Giải phương trình thu được ở bước 1

Bước 3: Kiểm tra các nghiệm của phương trình vừa giải để loại các nghiệm không thoả mãn điều kiện của ẩn; Kết luận bài toán

∆ = b2 - 4ac

x1 =

a

b

2

∆ +

−

; x2 =

a

b

2

∆

−

a

b

b = 2b' ;∆' = b’2 - ac

x1 =

a

b '+ ∆ '

−

; x2 =

a

b' − ∆ '

−

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	714,91 KB