chuyên đề phương trình hệ phương trình lớp 10

Bổ trợ kiến thức, chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP 1.. Phương trình tích: Một vế của phương trình được tạo thành bởi tích các biểu thức, hàm s

Bổ trợ kiến thức, chủ đề:

PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A PHƯƠNG TRÌNH

I MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP

1 Phương trình tích:

Một vế của phương trình được tạo thành bởi tích các biểu thức, hàm số… vế còn lại bằng 0

Ví dụ: f x g x( ) ( ) 0= ; f x g x h x( ) ( ) ( ) 0= …

Cách giải: ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

f x

f x g x

g x

= é

= Û ê =

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0

( ) 0

f x

h x

= é ê

= Û ê =

ë

Ví dụ: giải phương trình (x+3)(x2-3x+2) 0=

Giải: 2

2

3

3 0

3 2 0

2

x x

x

= -é + =

- + =

tập nghiệm T = -{ 3;1; 2}

2 Phương trình có chứa ẩn ở mẫu

Để giải phương trình loại này, ta tiến hành:

Đặt điều kiện > Quy đồng > Bỏ mẫu > giải phương trình tìm nghiệm > kiểm tra đk > kết luận

Ví dụ: giải phương trình 3 4

Giải: Điều kiện 2 1 0 1 2

Û

í + ¹ í ¹

( )

2

( 3)( 3) (2 1) 4(2 1)( 3)

1

(2 1)( 3) (2 1) 3 (2 1)( 3)

( 3)( 3) (2 1) 4(2 1)( 3)

21 501

5 21 3 0

10

±

3 Phương trình có ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp chung là khử dấu giá trị tuyệt đối bằng cách dựa vào | | , 0

x

³ ì

= í- <

î

Một số dạng mẫu mực thường gặp:

A B A B

= Û íî = Û í -î + =

· | |A = | |B Û A2 =B2 Û (A B A B- )( + ) 0=

Ví dụ 1: giải phương trình |x2-5x+ = +4 | x 4 (*)

Nói chung là ta không cần giải điều kiện

Tuy nhiên, nếu điều kiện

dễ giải, thì nên giải ra cụ thể, để khi có nghiệm so sánh cho nhanh

Giải:

(*)

2

2 2

6

6 0

6

4 8 0

x

x

³

Ûíïê - = Û íî - = Û íï =éê = Û ê =ë

ë

î

Ví dụ 2: Giải phương trình |x- +1| |x+ =2 | 3(*)

Giải: Dựa vào bảng xét dấu ta có:

Nếu x< -2

(*)Þ - - - +(x 1) (x 2) 3=

Û - + - - = Û - = Û = - (loại)

Nếu - £ <2 x 1

(*)Þ - - + +(x 1) (x 2) 3=

Û - + + + = Û = ta thấy luôn luôn đúng Vậy tập nghiệm là T1 = -[ 2;1)

Nếu x³1

(*)Þ - + + =x 1 x 2 3

2x 1 3 2x 2 x 1

Vậy tập nghiệm của phương trình |x- +1| |x+ =2 | 3 là T = -[ 2;1) {1} [ 2;1]È =

-BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

2 Giải các phương trình sau:

4 Phương trình chứa ẩn trong dấu căn (phương trình vô tỷ)

Phương pháp chung là tìm cách khử dấu căn (thường là bình phương, lập phương…), đưa về dạng mẫu mực… Lưu ý: kiểm tra loại bỏ những nghiệm ngoại lai

Một số dạng mẫu mực:

A B

³ ì

= Û í =

î

A B

³ ì

= Û í =

0

B

A B

³ ì

Û í = î

Tổng quát:

Căn bậc chẵn: 2

2

0

n

n

B

A B

A B

³ ì

= Û í

=

î Căn bậc lẻ

2 1

2n+ 1A B= Û =A B n+

Ví dụ 1: Giải phương trình 3x-6 - + =x 2 0 (*)

Giải: (*) 2 2

2

5

5

x

x

x

³ ì

- = - Ûíî - = - Ûíî - + = Ûíï =îéêë = Ûê =ë

Ví dụ 2: Giải phương trình x+ = -1 8 3x+1 (1)

Giải: Điều kiện 1 0 1 1

x

-í + ³ í ³

(1)Û x+ +1 3x+ =1 8

2

2

1 2 ( 1)(3 1) 3 1 64 4 2 2 ( 1)(3 1) 64

31 31

120 ( 1)(3 1) (31 2 ) 128 960 0

8

x

x

x

ì £

ë î 8

x

Û =

DẠNG: Đưa phương trình vô tỷ về hệ bậc nhất hai ẩn

Ví dụ: Giải phương trình 3x2-2x+15+ 3x2-2x+ =8 7 (*)

Giải:

Nhân 2 vế của phương trình (*) với lượng liên hợp 3x2-2x+15- 3x2-2x+8 ta có:

3 2 15 3 2 8 1 (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ

ï í

Đặt u= 3x2-2x+15 , v= 3x2 -2x+8 điều kiện u³0,v³0

2 2

1

3

x

= é

ê

DẠNG: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình (x+1)(x+ -4) 3 x2+5x+ =2 6 (1)

Giải:

Ta có (1) Û x2+5x+ -4 3 x2+5x+ =2 6 Û (x2+5x+ + -2) 2 3 x2 +5x+ =2 6 (*)

Đặt t= x2+5x+2 điều kiện t³0 Þ t2 =x2+5x+2

4

t

t

= -é

Þ + - = Û - - = Ûê =ë Þ = (vì điều kiện t³0)

2

x

x

= -é

Ví dụ 2: Giải phương trình 3 x+ =1 x-3 (*)

Giải:

Đặt u= 3 x+1 , v= x-3 điều kiện v³0

Phương trình (*) Û =u v (1)

Mặt khác do cách đặt u, v nên

3 2

1 3

ì = + ï

Þ í

=

3 2 4

2

2 0

2 0

u v

u

= ì

ë î

2

u v

u

=

ì

Û í =

î

3 x 1 2 x 7

BÀI TẬP

1 Giải các phương trình sau:

e) x2+ - +x 5 x2+8x- = 4 5 Đáp số: 2

2 Giải các phương trình sau:

d) 3+ +x 6- = +x 3 (3+x)(6-x) Đáp số: 6 ; -3

e) x- +2 2x- +5 x+ +2 3 2x- =5 7 2 Đáp số: 15

II MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO QUY VỀ BẬC HAI

1 Phương trình trùng phương

4 2 0

ax +bx + =c (1)

Cách giải: Đặt t=x2 điều kiện t³0 Khi đó từ phương trình (1)Þat2+ + =bt c 0

Dạng tổng quát: ax2n+bx n + =c 0

Đặt t=x n , nếu n là số chẵn thì điều kiện t³0, còn n là số lẻ thì không cần điều kiện

2 Phương trình bậc 3:

Nếu phương trình bậc 3: ax3+bx2+cx d+ =0 có một nghiệm là x=a thì

3 2 0 ( )( ' 2 ' ') 0

ax +bx +cx d+ = Û x-a a x +b y c+ =

Trong đó a x' 2+b y c' + ' là kết quả của phép chia đa thức ax3 bx2 cx d

x a

-Ví dụ: Giải phương trình x3-2x2 +4x- =3 0

3 1

x

-= - +

2

1 0

3 0

x

- = é

- + - = Û - - + = Ûê - + =ë Û =

3 Phương trình dạng:

(x a x b x c x d+ )( + )( + )( + )=e trong đó a b c d+ = +

Cách giải: Phương trình đã cho tương đương với (x2+(a b x ab x+ ) + )( 2+ +(c d x cd) + )=e

2

ab cd

Ví dụ: Giải phương trình (x+1)(x-2)(x+3)(x+6)= -56

Giải:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình (x2+4x+3)(x2+4x-12)= -56 (*)

Đặt t=x2+4x-12

2 4 3 15

Þ + + = +

(*) ( 15) 56 15 56 0

8

t

t

= -é

Û + = - Û + + = Û ê = -ë

5

x

x

= é

= - Û + - = - Û + - = Û ê = -ë

2 2 2

x

x

é = - +

= - Û + - = - Û + - = Û ê

= -êë

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x= -1,x= -5,x= - ±2 2 2

4 Phương trình hồi quy

4 3 2 0 ( 0)

Cách giải: chia 2 vế của phương trình (*) cho x2 ta được: 2

2

0

æ + ö+ æ ± ö+ =

x

= ± điều kiện | | 2t ³

Þ = + ± Þ + = m thay vào phương trình (**) ta được a t( 2m2)+ + =bt c 0

Ví dụ: Giải phương trình x4-2x3-6x2-2x+ = (*) 1 0

Giải: ta thấy x=0 không là nghiệm của (*) Chia hai vế của (*) cho x 2 ta được:

2 2

+ - ç + ÷- =

è ø (**) Đặt t x 1

x

= +

2

t

t

= é

Û - - - = Û - - = Û ê = -ë

2 3

x

é = +

= Û + = Û - + = Û ê

= -êë

· Với 1 2

x

= - Û + = - Û + + = Û =

Cách giải: đặt

2

a b

t= +x +

, rồi biến đổi đưa phương trình đã cho về phương trình trùng phương theo t

Ví dụ: Giải phương trình (x-2)4 + -(x 3)4 =1 (*)

Giải: đặt 2 ( 3) 5

t x - + - t x

-1

2

2

Þ - = + ; 3 1

2

x- = -t , thay vào (*) ta được:

4 4

1

æ + ö + -æ ö =

(Ta có có hằng đẳng thức (a b+ )4 =a4+4a b3 +6a b2 2+4ab3+b4)

4 3 2

æ + ö = + + æ ö + æ ö +æ ö

4 3 2

æ - ö = - + æ ö - æ ö +æ ö

Þ +ç ÷ + -ç ÷ = + ç ÷ + ç ÷ = + +

8

t + t + =

2

t= ±

Cuối cùng ta được x=2,x=3

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

PHỤ LỤC TAM GIÁC PASCAL

Khi khai triển hằng đăng thức (a b+ )n ta có thể sử dụng quy tắc sau đây để ghi các hệ số

2 2 2

(a b+ ) =a +2ab b+

3 3 2 2 3

(a b+ ) =a +3a b+3ab +b

4 4 3 2 2 3 4

(a b+ ) =a +4a b+6a b +4ab +b

…

Để khai triển (a b- )n ta chỉ cần điền từng dấu +,-, +,-… vào trước hệ số

LƯỢC ĐỒ HORNER

1 1 0

Hệ số a n a n-1 a n-2 … a1 a0

a b n b n-1 b n-2 … b1 b0

Trong đó:

b = a

1 1

b- =b a+a

-2 1 2

b- =b- a +a

-Khi thực hiện phép chia, nếu b0=0 thì chia hết và a là nghiệm của đa thức

1 1 0 ( )( 1 1)

Định lí Vi-ét đối với phương trình bậc ba

Cho phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx d+ =0 (a¹0) (1)

Phần thuận: nếu x x x1; ;2 3 là nghiệm của phương trình (1) thì:

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

b

a c

x x x x x x

a d

x x x

a

ì + + = -ï

ï

í ï

-ïî

(*)

Phần đảo: Nếu ba số x x x1, ,2 3 thỏa mãn hệ (*) thì chúng là nghiệm của phương trình (1)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

………

a n a n-1

a a kết quả n

nhân Cộng

B HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I

Hệ đối xứng hai ẩn x, y là hệ phương trình mà ta hoán đổi vị trí của x và y cho nhau thì hệ không

thay đổi (còn gọi là hệ đối xứng loại 1)

Cách giải: Đặt S = +x y , P xy=

Ví dụ: giải hệ phương trình 2 2 3

2

x xy y

x y xy

+ + = ì

í

Giải: Ta có (*) 3

x y xy

x y xy

+ + = ì

3 (1)

2 (2)

S P SP

+ = ì

í = î

2

S

S

= é

- = Û - + = Û ê =ë

2

x y P

xy

+ = ì

Þ = Þ í =

1

x y

xy

+ = ì

= Þ = Þ í =

1 1

x y

= ì

í = î

BÀI TẬP

1 Giải các hệ phương trình:

7

x y

+ = ì

í

- + =

15

42

xy

= ì í + + + =

30 35

x y y x

x x y y

ï í

3 3 3 3 17

5

x xy y

í + + = î

Đáp số: a) (3;2); (2;3) b) (6;-1); (-1;6) c) (4;9); (9;4) d) (2;1); (1;2)

2 Giải các hệ phương trình:

a)

1 1 1 7

2 7 2 1

x y z

xyz

ì + + =

ï

ï

ï + + =

í

ï

= ï

ï

î

b)

1 1 1

3

3 1

1

xy yz zx xyz

ì + + = ï

ï ï

í ï ï

= ï î

(Hướng dẫn: đặt S = + +x y z P xy yz zx T; = + + ; =xyz)

Đáp số: a) 2;1;1 ; 1;1; 2 ; 1; 2;1

2 HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II

Hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ đối xứng loại hai nếu ta thay x bởi y thì phương trình

này trở thành phương trình kia và ngược lại

Cách giải: Trừ hai vế của phương trình cho nhau Đưa phương trình kết quả về phương trình tích,

trong đó có thừa số (x-y) tức là hệ có nghiệm x=y Từ đó tìm các nghiệm còn lại

Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 2

( )

I

ï í

= - + ïî

Giải: Trừ vế theo vế của (1) và (2) ta được: 2(x y- )= y2-x2-4y+4x

2 0

x y

x y

- = é

Trường hợp 1: x=y khi đó hệ (I) tương đương với 2 1

6 5 0

5

x

x

= é

- + = Û ê =ë

Với x= Þ =1 y 1 Hệ có nghiệm (1;1)

Với x= Þ =5 y 5 Hệ có nghiệm (5;5)

Trường hợp 2: x y+ - = Þ = -2 0 y 2 x

Thay vào (2) ta có: x2-2x+ = Û =1 0 x 1 Þ = - =y 2 1 1 Hệ có nghiệm (1;1)

Kết luận: Hệ (I) có hai nghiệm là (1;1) và (5;5)

BÀI TẬP

1 Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 2

13 4

4 13

ï

í

= +

2 2

2 2

x y

y x

ì = -ï

í

=

-ïî c)

3 3

5 5

ì = + ï

í

= + ïî

2 Tìm điều kiện của m để hệ

2 2

ì - + = ï

í

- + =

Đáp số: a) (0;0), (12;-3), (17;17), (-3;12) b)(2;2), (-1;-1) c)(0;0), (2;-2); (-2;2)

3 HỆ ĐẲNG CẤP DẠNG

1 1 1 1

2 2 2 2

a x b xy c y d

a x b xy c y d

ï í

Cách giải:

Có thể giải hệ (I) theo hai cách sau:

Cách 1: - Giải hệ (I) với x=0

Xét x¹0 Đặt y kx= và đưa hệ (I) về hệ ẩn x, k Khử x trong hệ này ta được phương trình theo

ẩn k

Cách 2: Khử x 2 (hoặc y 2 ) ta tính được y theo x (hoặc x theo y) Thay vào một trong hai phương trình của hệ được phương trình trùng phương theo x (hoặc y)

Ví dụ: Giải hệ phương trình

2 2 2

ï í

Giải:

Cách 1: Thay x=0 vào hệ (I) ta được

2 2

1 4

y y

ì = ï í

=

Với x¹0, ta đặt y kx= , hệ (I) trở thành

4 ( ) 1 (1 4 ) 1 (1)

3

k

k

= é

= êë

Thay k=4 vào (2) ta được x2(42-3.4) 4= Ûx2 = Û = ±1 x 1

Với x=1 thì y=kx=4.1=4 Hệ có nghiệm (1;4)

Với x=-1 thì y=kx=4.(-1)=-4 Hệ có nghiệm (-1;-4)

Thay k=1/3 vào (2) ta được 2 9

2

Cách 2:

3

y

y

= Þ = (vì y=0 không là nghiệm)

Rồi thay vào phương trình còn lại, tiếp tục giải ta cũng được nghiệm như cách 1

BÀI TẬP

Giải các hệ phương trình sau:

a)

2 2

2 2

ï

í

- + =

2 2

ï í

ï í

2

ï í

ïî

Đáp số:a)! b)(1;2); (-1;-2) c) (-3;-1); (3;1) d) ( 8; 2);(8; 2); 5; 17 ; 5;17

4 MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Khi gặp hệ phương trình không thuộc các dạng trên, ta phải tự tìm cách giải nào cho hợp lí nhất,

có thể kết hợp các phương pháp đã biết để giải

Ví dụ: Giải hệ

2 2 2

2 (1)

2 (2)

2 (3)

xy z

yz x

zx y

ì + = ï

+ = í

ï + = î

Giải:

Lấy (1) trừ (2) ta được: xy z+ 2-yz x- 2 = Û0 (z x z x y- )( + - ) 0=

Lấy (2) trừ (3) ta được yz x+ 2-zx y- 2 = Û0 (x y x y z- )( + - =) 0

Vậy hệ đã cho tương đương với các hệ

ì - = ì - = ì + - = ì + - =

ï - = Úï + - = Úï - = Úï + - =

Lần lượt giải các hệ trên ta sẽ có các nghiệm:

(1;1;1),( 2;0; 2),(- 2;0;- 2),( 2; 2;0),(- 2;- 2;0),(0; 2; 2),(0;- 2;- 2)

BÀI TẬP

Giải các hệ sau:

a)

15 16 7

xy yz

yz zx

zx xy

+ = ì

ï + =

í

ï + =

î

b)

x y xyz

y z xyz

z x xyz

+ = ì

ï + = í

ï + = î

c)

2

( 2) ( 1) 9

x y z

ì + + =

ï + + =

í

ï + + + - =

î

d)

12 15 20

xy xz yz

= ì

ï = í

ï = î

Đáp số: a) (1;3;4); (-1;-3;-4)

b) (0;0;0) c)(3;-2;1), (-1;0;3)

d) (3;4;5), (-3;-4;-5)