Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm... + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồ
Trang 1Chuyên đề : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG
(Tài liệu dùng cho học sinh ơn tập TN THPT) A) Tĩm tắt kiến thức cơ bản:
Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau :
1) Bảng các nguyên hàm:
Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những
hàm số sơ cấp thường
gặp
Nguyên hàm của những hàm số hợp
đơn giản
Nguyên hàm của những
hàm số hợp
C
x
∫
( 1)
1
1
≠ +
+
= +
α
α
x
( 0)
=
x
dx
C e
dx
∫
(0 1)
=
a
a
dx
C x
C x
C x dx
cos
1
2
C x dx
sin
1
2
tan xdx = − ln cos x c +
∫
cot xdx = ln sin x c +
∫
kdx kx C = +
∫
1
≠ +
+
+
=
α
α
a dx b ax
( 0)
ln 1
≠ + +
= +
a b ax dx
C e
a dx
e ax+b = ax+b +
a dx b
a dx b
(ax b)dx=a (ax+b)+C +
cos
1 2
(ax b)dx=−a (ax+b)+C +
sin
1 2
C u
∫
( 1)
1
1
≠ + +
= +
α
α
u
( 0)
=
u du
C e du
∫
(0 1)
=
a
a dx
C u
C u
C u du
cos
1 2
C u du
sin
1 2
2) Các tính chất tích phân:
Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b]
a
a
f x dx =
f x dx = − f x dx
b
a
k f x dx =
b
a
k f x dx ∫ ( k là hằng số)
f x ± g x dx = f x dx ± g x dx
f x dx = f x dx + f x dx
3) Các cơng thức lượng giác:
a) Cơng thức nhân đơi:
* sin2a = 2sina.cosa
* cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
b) Cơng thức hạ bậc:
Trang 2* sin2a = 1 cos 2
2
a
−
* cos2a = 1 cos 2
2
a
+
c) Công thức biến đổi tích thành tổng:
2
* sin cos 1 [ sin( ) sin( ) ]
2
2
4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n:
Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có :
* n a = a1n và n am = am n
* n a b n = n a b ;
n n n
b
b =
* a0 = 1; a1 = a ; a-n = 1n
a
* a aα. β = aα β+ ; a
a a
α
α β β
−
=
* ( ) a b α = a bα. α; a a
α
=
÷
* ( ) aα β = aα β.
5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
* a2 – b2 = (a+b)(a – b)
2
a b ± = a ± ab b +
* a3± = ± b3 ( a b a )( 2m a b b + 2)
a b ± = ± a a b + ab ± b
B) Ví dụ và bài tập:
I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm Hãy nghiên cứu các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính các tích phân
a) I1 =
1
3 0
(3 x − 1) dx
2 2 0
x
e− + dx
0
1
3
2 x 1 dx
−∫ − + KQ: I1 = 5
2
Ví dụ 2: Tính các tích phân
a) J1 = 2( 2 )2
0 1
1
0
2
x dx x
+
−
6 1
2
dx x
+
∫
J1 = 206
101 4
Ví dụ 3: Tính các tích phân
Trang 3a) K1 = 4
0 sin3 cos x xdx
π
0
cos 2xdx
π
1
2 1 0
1
x
e − − dx
∫
KQ: K1 = 1
1 1
8 2
π
+
1
1
2 e 2 e
−
2 Bài tập:
Tính các tích phân:
0
2
5
6
2) I = ∫4 −
6 2
3
sin
sin 1 π
π
dx x
x
KQ: I =
2
2 2
x
x
∫ −+
1
0 4 3
2
KQ: J =
9
4 ln 10
3+
−
x
x x
1 2
2
2
KQ: K = – 2
5) M = 12∫0sin 7 sin 5
π
xdx
4
1 2
x − dx
2
7) P = 3 2
0
sin 3xdx
π
6
π
8) Q = 4 2
0
tan xdx
π
4
π
−
9) R =
/4
/6sin cos
dx
π
1 2
dx
x + x +
ln 2 3
II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( )
b
a
f x dx
∫
1) Loại 1: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt
+ Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới.
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Ví dụ 4: Tính tích phân
a) I1 =
2
2 0
4 x dx −
3 2 0
1
9 + x dx
12 π
2) Loại 2: Tiến hành theo các bước
+ Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx
+ Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b)
+ Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính.
Ví dụ 5: Tính các tích phân
a)J1 = 2
2
1
x
xe dx
∫ b) J2 =
1
1 ln
e
x dx x
+
1
0
2
2 0
4 − x xdx
/2
4 0
cos (1 sin )
x dx x
π
+
∫ KQ: J1 = 1
2( e
4 – e) J2 = 2
(2 2 1)
24
− J4 = 8
7
24
2 Bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I = ∫6 1 + 4 sin x cos x dx
π
KQ: I =
6
1 3
0
2
Trang 4c) K = e x x dx
∫1 −
0
.
2
KQ: K =
e
e
2
1
−
d) L = ∫e + x x dx
1
) ln 3 (
KQ: L =
8 13
e) M = ∫21 +
0
2
7 x
dx
KQ: M =
7 3
π
g) N = ∫1 +
x
e
dx e
KQ: N = ln
3
2 e +
h) P =
1
2010 0
4046132 i) Q =
1
2 0
1 − x xdx
4 π
2) Tính các tích phân:
a) I1 = 2
0
(2sin x 3) cos xdx
π
+
2 2 1
3
x x + dx
3
−
c) P =
1
2
0
1
x
dx
+
+ +
2 0
5 tan cos
x dx x
π +
e) L1 =
2
1
1 3ln
ln
e
x xdx x
+
2
x x
e dx
e −
h) J4’ =
1
3
0
1
x − xdx
315
III) Phương pháp tích phân từng phần:
• Công thức:
b a
udv uv = − vdu
• Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ) ( )
b
a
I = ∫ P x Q x dx
Dạng
hàm Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức P(x): Đa thức Q(x):e kx Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức
P(x): Đa thức Q(x): 12
sin xhay 2
1
cos x
Cách
đặt
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới dấu
tích phân
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
* u = ln(ax + b)
* dv = P(x)dx
* u = P(x)
* dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân
Ví dụ 6: Tính các tích phân
a) I1 =
/4
0
2 cos 2 x xdx
π
1
2 0
( x + 1) e dxx
3
2
2 ln( x x − 1) dx
∫
KQ: I1 = 1
4 2
2
4
3 = 8ln2 – 7
2
Ví dụ 7: Tính các tích phân
a) J1 = ∫40cos2
π
x
4
2 2 1
ln xdx
x
(1 ln 2)
2 Bài tập tự luyện:
1) Tính các tích phân:
a) I 1=
1
1
( x 3) e dxx
−
+
2
3 e 1
e
2 = ∫e − x xdx
1
ln ) 2 1
2
1 − e2
Trang 5c) I3 = ∫40 cos2
π
x
4
π
1
2ln
e
x dx x
e
2 ) 2) Tính các tích phân:
a) K1=2
0
.cos sin
π
8
π
b) K2 =
2 3 1
ln x
dx x
ln 2
16 8 −
c) K3 = ∫1
0
dx
e x
1 ln
e
3
9
e +
e) K5 = 2
0
sin
x
π
2
eπ +
IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích:
1) Diện tích hình phẳng:
Cơ sở lí thuyết:
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y = 0 (trục hoành)
được tính bởi: S = ( )
b
a
f x dx
• Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = a; x= b được tính
bởi: S = ( ) ( )
b
a
f x − g x dx
Ví dụ 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x2 – 1; y = 0; x = 0; x = 2 ĐS: 2
Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = 2 – x2 và y = x ĐS:9
2
2) Thể tích vật thể tròn xoay:
Cơ sở lí thuyết:
Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay quanh trục Ox được tính bởi: V = 2( )
b
a
f x dx
Ví dụ 10:
a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình
15
π
b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2 và y = x3 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình
5 π
Giải:
• Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = 0 và x = –1
• Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x2, x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox:
Có V1 =
0
2 2 1 ( x ) dx
π
−
−
5 π
• Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, x = 0, x = -1
và trục Ox…:
Có V2 =
0
3 2 1 ( ) x dx
π
−∫ = 1
7 π
Trang 6Vậy thể tích V cần tính là: V = V V1− 2 = 2
35 π (đvtt) Chú ý: Khi tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nĩ quay quanh trục Ox, học sinh
cĩ thể ngộ nhận và dùng cơng thức ( ( ) ( ))2
b
a
V = π ∫ f x − g x dx dẫn đến kết quả sai KQs : V = 1
105 π đvtt
2 Bài tập tự luyện:
1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x2 + 4x và trục hoành KQ: S =
3
32
đvdt
2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x2 và y = – x – 2 KQ: S =
2
9
đvdt 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 5x4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQ: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây khi quay quanh trục Ox:
a) (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16π đvtt b) y = x2 và y = 3x KQ:
5
162 π đvtt
c) y = sin
2
x
; y = 0; x = 0; x =
4
π
8
V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước cĩ liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 )
Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y =
1 x 2 x
1 x x x 2
2 3
+ +
− +
3 1
2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=
2 x
12 x 10 x
2 2
+
−
− và trục hoành Ox (TNTHPT năm 2002 – 2003 )
Bài 3: Cho hàm số y =
3
1
x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường y = 0, x =0,
Bài 4: Tính tích phân: I = ∫/2 +
0
2 ) cos sin
(
π
dx x x
Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số :
y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1
b Tính tích phân: I = ∫/2 −
0
2
cos 4
2 sin
π
dx x
x
(TNTHPT năm 2005– 2006)
x
x
1
2
ln
Bài 7: Tính tích phân I
1
1
−
Bài 8: Tính tích phân I =
0 (1 cos )
π +
Bài 9: Tính tích phân I
1
0
Trang 7VI) Một số bài tập nậng cao :
Chúng tôi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi Các em học sinh chỉ muốn ôn tập để thi TNTHPT không nhất thiết phải làm các bài tập dưới đây
Bài 1: Tính các tích phân
1) I1 =
3
dx
x + + x −
3
3
0( 1)
xdx
x +
8
3) I3 =
0
4sin
1 cos
xdx x
π
+
/2
0 sin cos x xdx
π
12
5) I5=
2 /4
0
1 tan
1 tan
x dx x
4
π
π π
−
−
Bài 2: Tính các tích phân
1) J1 =
1
dx
e
+
1 ln
2
e
+
2
x dx
x + x +
15
−
3) J3 =
/3
2 0
cos
3 2sin
xdx x
π
−
4 2
π
4) J4 =
1 2
dx
x + + x
9 π
5) J5 =
/2
0 2 sin
dx
x
π
+
9
4
0 cos
dx x
π
3
7) J7 =
/2
0
sin cos
π
+
a b + 8) J8 =
1 5
2 2
2
1 5
1 1
x
dx
+
+
+
− +
2 π
9) J9 =
/2
/4
ln(1 cot ) x dx
π
π
+
8
π
10) J10 =
7 2 1
1
1 dx
x +
Chú ý: Khi dùng máy tính cầm tay 570ES để kiểm tra kết quả, vì trong phím hàm không có cotx,nếu học sinh nhập tích phân
/2
/4
1
tan x dx
π
π
+
∫ thay cho J 9 thì máy báo lỗi do tanx không xác định tại
2
π
Hãy thử dùng cung phụ để chuyển từ cot sang tan.
f x dx = f a b x dx + −
b) Áp dụng tính I =
3
6 ln(tan ) x dx
π
π
Bài 4: a) Cho hàm số f(x) liên tục trên [0, 1] Chứng minh 2
0 (sin )
π
0 (cos )
π
∫
b) Áp dụng tính I =
/2
0
cos
x dx
π
+
4 π
Bài 5: Tính các tích phân
1) K1 =
/2
2 0
sin
π
16
2
e
e
dx
2 2
e e
−
3) K3 =
5/4
ln( x + + 1 x − 1) dx
ln 2
/2
1 cos
x dx x
π +
2ln
π +
Trang 85) K5 =
2
1
1 x
dx x
+
7
1
1
7
VII) Một số đề thi cao đẳng và đại học các năm trước có liên quan đến tích phân:
Bài 1: Tính tích phân: I =
/2
0
π
−
HD: Viết I =
/2 5 0
cos xdx
π
/2 2 0
cos xdx
π
I 1 =
/2
2 0
π
−
15 4
π
−
Bài 2: Tính tích phân: I
3
2 1
3 ln
x dx x
+
= +
HD: Dùng từng phần với u = 3 + lnx, dv = 1 2
Bài 3: Tính tích phân: I =
3 1
1 1
e
=
−
HD: Đặt u = e x suy ra x = lnu suy ra dx =1
du
2 + e + 1) – 2
Bài 4: Tính tích phaân: I
1 2 0
( e− x x e dx ) x
HD: Viết I
1
0
x
e dx−
0
x
xe dx
2
e
−
Bài 5: Tính tích phaân: I
0
2
1 2
x
dx e
+ +
=
+
HD: Viết I
1
01 2
x x
e dx e
=
+
1 2 0
x dx
∫ = I 1 + I 2
ln
e
1
ln (2 ln )
e
x dx
ln
2 3 −
Bài 7 : Tính tích phân
1
3
e
x
HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến KQ:
2 1 2
e −
Bài 8: Tính tích phân I
1 0
1
x dx x
−
= +
∫ (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009) KQ: 2 – 3ln2
