ôn thi tố nghiệp 09 tích phân (có chỉnh sửa)

Kiến thức: - Học sinh nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số và các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân.. Kĩ năng: - Biết áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm để tìm nguyê

ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C

Chủ đề IV: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Số tiết:

I Mục đích yêu cầu:

1 Kiến thức:

- Học sinh nắm vững bảng nguyên hàm của các hàm số và các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân

- Nắm vững công thức tìm diện tích hình phẳng, diện tích của vật thể tròn xoay

2 Kĩ năng:

- Biết áp dụng các tính chất và công thức nguyên hàm để tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp

- Biết áp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm tích phân vào giải bài tập

- Biết áp dụng công thức để tính diện tích hp, và thể tích của vật thể ròn xoay

- Nhận biết các dạng bài tập để dùng phương pháp chính xác

3 ý thức:

- Rèn cho học sinh có tư duy logic, tích cực, cẩn thận khi trình bày bài thi

II Phương pháp – phương tiện:

1 Phương pháp:

- Phát huy tích chủ động tích cực của học sinh, giáo viên hướng dẫn rèn kĩ năng tính toán và trình bày cho học sinh

2 Phương tiện:

- Tài liệu ôn thi tốt nghiệp năm 2009

III Nội dung:

A TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ:

1/ Các kiến thức cần nắm vững :

* Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp thường dùng.

Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè s¬ cÊp Nguyªn hµm cña c¸c hµm sè hîp (u=u(x))

2 x dx





   ( -1) 11 u du





  ( -1)

3 dx

x

u

 = ln u +C (u=u(x)0)

4 e dx e x  xC 13 e du e u  uC

ln

x

x a

a

u

u a

a



6 cosxdxsinx C 15 cosudusinu C

7 sin xdxcosx C 16 sinudu cosu C

cos

dx

tgx C

x  

du tgu C



9 s 2

dx

cotgx C

in x 

s

dx

gu C



Nguyờn hàm của cỏc hàm số mở rộng thường gặp.

1) cos(ax b dx) 1sin(ax b) C a( 0)

a

 3) e ax b dx1a e ax b C(a0)

2) sin(ax b dx) 1cos(ax b) C a( 0)

a

ln

dx

ax b C

ax b a  



2 Cỏc phương phỏp tỡm nguyờn hàm.

Cách 1: xác định nguyên hàm bằng định nghĩa:

Cách 2: xác định nguyên hàm bằng phương phỏp đổi biến:

Cách 3: xác định nguyên hàm bằng phương phỏp nguyờn hàm từng phần:

* Một số dạng toỏn thường gặp:

Dạng 1: Tỡm nguyờn hàm của một hàm số bằng định nghĩa và tớnh chất.

Phương phỏp giải:

Thường đưa nguyờn hàm đă cho về nguyờn hàm của tổng và hiệu sau đú vận dụng bảng nguyờn hàm thường dựng  kết quả

Vớ dụ : Tỡm nguyờn hàm cỏc hàm số sau:

a) f(x) = x3 – 3x + 1

x b) f(x) = 2x+ 3x

Giải

f x dx dx dx xdx dx  x  x c

( ) (2 + 3 ) 2 3

ln 2 ln 3

x x

Dạng 2: Tỡm nguyờn hàm bằng pp đổi biến

Vớ dụ: Tỡm nguyờn hàm của cỏc hàm số sau:

c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx

Giải c/ I =f x dx( ) (5x+ 3)5dx Đặt u = 5x + 3 => du = 5dx  dxdu5

d/ K = f x dx( ) sin x cosx4 dx Đặt u = sinx => du = cosxdx

Bài tập đề nghị:

Tỡm cỏc họ nguyờn hàm sau

1 (2x2 3x5)dx

2 x x( 21)3dx

4 sin 2 cos3x xdx

5 sin 2 sin 7x xdx

7 ( 2x 5) 3 2x

e  e dx



8 2

3 2

dx

x  x



ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C

3 2

sin

2

x

dx

2 1

dx

x 



B CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN :

1/ Các kiến thức cần nắm vững :

Bảng nguyên hàm thường dùng

Định nghĩa tích phân, các tính chất của tích phân

Các phương pháp tính tích phân

2/Một số dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.

Phương pháp giải:

Thường đưa tích phân đă cho về tích phân của tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng  kết quả

Ví dụ: Tìm tích phân các hàm số sau:

a/

3

3

1

(x 1)dx





 b/

4

4

2

4 ( 3sin ) cos x x dx









2

2

1

x dx







Giải

a/

3

3

1

(x 1)dx





 =

3

3

x

 

b/

4





=(4tg 4  3 cos ) [4 (4  tg  4) 3 cos(   4)]=8

c/

2

2

1

x dx





1

2

1

x dx





2

1

1

x dx

 =

1

2

(1 x dx)





2

1

(x1)dx

x

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/I=2

0

(3 cos 2 ).x dx





1

0

(e x2)dx

1 2

0

(6x 4 )x dx

Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 1:

Phương pháp giải:

b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b)  dx = u (t) dt

b2: Đổi cận:

x = a  u(t) = a  t = 

x = b  u(t) = b  t =  ( chọn  , thoả đk đặt ở trên)

b3: Viết

b

a

f(x)dx về tích phân mới theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân

Ví dụ: Tính :

1

2

0

1 x dx



Đặt x = sint  dx = cost.dt V́ x [0;1] nn ta chọn t[0; ]

2



Đổi cận: x = 0  t = 0 ; x= 1  t =

2



Vậy :

1

2

0

1 x dx

0

cos t.dt (1 cos 2t).dt= ( )

in t t





Chú y: Khi gặp tích phân mà biểu thức dưới dấu tích phân có dạng :

 a2 x2 thì đặt x= a sint t [ ; ]

2 2

 



 a2x2 thì đặt x= a tgt t ( ; )

2 2

 



 x2 a2 thì đặt x=

sin

a

t t [ ; ]

2 2

 

 \  0

b

a

Phương pháp giải:

b1: Đặt t = (x)  dt = '( ) dxx

b2: Đổi cận:

x = a  t =(a) ; x = b  t = (b)

b3: Viết tích phân đă cho theo biến mới, cận mới rồi tính tích phân t́m được

Ví du : Tính tích phân sau :

a/

1

2

0

2 1

1

x





 

 b/

1 2 0

3

J  x  x dx

Gi i: ải:

a/ Đặt t = x2 + x +1  dt = (2x+1) dx

Đổi cận: x = 0  t =1 ; x = 1  t = 3 Vậy I=

3 3

ln ln 3

dt

t



b/ Đặt t= x 2 3  t2= x2+ 3 tdt = x dx

Đổi cận: x = 0 t = 3 ; x = 1 t = 2 Vậy J =

2

2

1 (8 3 3)

t



Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/ 2 sin

0

.cos

x



1

x x

e dx

e 

 3/

1

1 ln

e

x dx x



1

0

( 3)

x x  dx



Dạng 3: Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần:

b a

Phương pháp giải:

B1: Đặt một biểu thức nào đó dưới dấu tích phân bằng u tính du phần c ̣òn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức từng phần.

ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C

B3: Tích phân

b

a vdu

 suy ra kết quả

*/ Khi gặp tích phân dạng : ( ) ( )

b

a

P x Q x dx



- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là một trong các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) th́ ta đặt u

= P(x) ; dv= Q(x).dx

Nếu bậc của P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân từng phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên

- Nếu P(x) là một đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

a/ I=2

0

.cos



e



Giải a/ Đặt :



  (chú ý: v là một nguyên hàm của cosx )

vậy I=x cosx 2



- 2

0

sin x dx





= -1

1 ln

2

v













 Vậy J= lnx 2

2

x

1

e

1

e

x



Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/

1

3

0

x

x e dx

 2/4 2

0cos

x dx x



 3/ 1ln

e

x dx

 4/

5

2

2 ln(x x1).dx

0

.cos

x

e x dx





a/Dạng bậc của tử lớn hơn hay bằng bậc của mẫu:

Phương pháp giải:

Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng của một phần nguyên và một phần phân số rồi tính

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

a/

2 1

x

2 b/

1

Bài tập đề nghị:

Tính các tích phân sau:

1/I=

2 1

dx x

 2/J=

3

1

dx x

 





b/Dạng bậc1 trên bậc 2:

Phương pháp giải: Tách thành tổng các tích phân rồi tính.

Trường hợp mẫu số có 2 nghiệm phân biệt:

Ví dụ: Tính các tích phân : ( )

2

2 1

6

-ò

Giải

Đặt 52( 1)

6

x

=(x 52)(x-x5 3)=x A2+x B3= A x((x- 3)2)(+B x x( 3)+2)

- A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2  A=3 cho x=3  B=2 vậy ta có:

2

2

1

6

x dx

2

2 1 1

-ò

Trường hợp mẫu số có nghiệm kép:

Ví dụ: Tính các tích phân :

1

2 0

(2 1)

4 4

x dx

+

ò

Gi i ải CI:

2

x

  



1 0

5

ln 4 2

 



V y ậy

x dx

dx

+

1

0

5 (2ln x-2 - )

x-2 

5

ln 4

2

Trường hợp mẫu số vô nghiệm:

Ví dụ: Tính các tích phân :I=

0

2 1

(2 3)

2 4

ò

Gi i:ải:

5

Ta có

2

0

( 2 4)

2 4

1

4 ln/x +2x+4/ ln 4 ln 3 ln

3

Tính J=

0

2 1

5 (x 1) 3dx

ò

ƠN THI T T NGHI P MƠN TỐN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C

t x+1=



Khi x= -1 t t = 0 ; khi x=0 t t=h́ t = 0 ; khi x=0 th́ t= h́ t = 0 ; khi x=0 th́ t= 6 v y J=ậy 6 22 6

1

tg t

tg t







V y I= ln ậy 4 5(

3

3

3 6



 )

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

1/I=

1

2

0

1

5 6dx

x  x

 2/I=

5 2 4

1 2

6 9

x dx



 

4 2 2

3 1

4 8

x

dx



 



Dạng 5: Tính tích phân hàm vơ tỉ:

b n a

R x ax b dx

b n a

ax b

cx d





cx d





Ví dụ: Tính tích phân I =

1 3 0

1 xdx



Giải

Đặt t =31 x  t3= 1-x  x= 1-t3  dx= -3t2dt

Đổi cận:

x=0  t=1; x=1  t=0 Vậy I=

1

3

t

t  t dt t dt  

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

1/

1 3

0

1

x  xdx

1

x dx x

Dạng 6: Tính tích phân của một số hàm lượng giác thường gặp

Dạng: sin cosax bxdx, sin sinax bxdx, cos cosax bxdx

Phương pháp giải:

Dùng cơng thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hoặc hiệu các tích phân rồi giải

Dạng: sinn ; cosn

Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng cơng thức hạ bậc, n lẻ dùng cơng thức đổi biến

Ví dụ :

sin sin sin (1 cos ) sin Đặt t =cosx

1 cos 2 cos (cos )

2

n

x





Dạng: R(sin ).cosx xdx





 Đặc biệt: sin2n x.cos2k 1xdx









Phương pháp giải: Đặt t =sinx

Dạng: R(cos ).sinx xdx





 Đặc biệt: sin2n 1 cos2k









Phương pháp giải: Đặt t =cosx

Các trường hợp c ̣n lại đặt x=tgt

Ví du: Tính các tích phân sau:

a/ 4

0

sin 3 cos x x dx



2 2

0

sin xdx



 c/

2 3

0

cos xdx



 d/

2

0

cos xsin xdx





Giải

a/ 4

0

sin 3 cos x x dx



4

2 0

x in x dx





1 cos 2 1 sin 2



c/ I=2 3

0

cos xdx



cos cos x x dx (1 sin ).cos x x dx

 

đặt u=sinx du = cosx dx

x=0  u=0 ; x=

2



 u=1 vậy: I=

1 2

0 0

2

u



d/J=2 3 2

0

cos xsin xdx



cos xsin cos x x dx (1 sin x)sin cos x x dx

 

đặt u=sinx  du = cosx dx

x=0  u=0 ; x=

2



 u=1 J=

1

0

2

Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau:

1/ 4

0

cos x dx



 2/2 3 3

0

sin cos x x dx



2

0

sin cos x x dx



2

6

1 sinx dx





III/ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN VÀO DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY:

1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3 đường thẳng.

Công thức:

ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C): y=f(x) và các đường thẳng x = a; x = b; y = 0 là : ( )

b

a

S f x dx

2/ D ng toán2: ạng toán2: Di n tích hình ph ng gi i h n b i 2 ện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng ẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng ới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng ạng toán2: ởi 2 đường cong và 2 đường thẳng đường cong và 2 đường thẳng ng cong và 2 đường cong và 2 đường thẳng ng th ng ẳng giới hạn bởi 2 đường cong và 2 đường thẳng.

Công thức:

Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] khi đó diện tích h́nh phẳng giới hạn bởi đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là :

( ) ( )

b

a

S f x  g x dx

Phương pháp giải toán:

B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và (C’)

B2: Tính diện tích h́nh phẳng cần tìm:

TH1:

Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm vô nghiệm trong (a;b) Khi đó diện tích h́nh phẳng cần tìm là: [ ( ) ( )]

b

a

Sf x  g x dx

TH2:

Nếu phương tŕnh hoành độ giao điểm có 1 nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

1

1

x

TH3:

Nếu pt hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2 (a;b).Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:

2

S f x  g x dx  f x  g x dx  f x  g x dx

Chú ý: * Nếu pt hoành độ giao điểm có nhiều hơn 2 nghiệm làm tương tự trường hợp 3.

* Dạng toán 1 là trường hợp đặc biệt của dạng toán 2 khi đường cong g(x)=0

Ví dụ 1:

Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th c a hàm s y = sinx trên đo n [0;2ẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ủa hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ố y = sinx trên đoạn [0;2 ạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2  ] và tr cục hoành

Gi i :ải:

Ta có: sinx = 0 có 1 nghi m x =0;2 v y di n tích hình ph ng c n tìm là:ậy ẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ần tìm là:

S =

sinx dx sinxdx sinxdx



   = cosx0  cosx2



 = 4

Ví d 2: ụ 2:

Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i (Pẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + 1 và các đ ng th ng ường thẳng ẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2

x = -1 ; x =2

Giải

phhđgđ : x2 –2 x = x2 + 1 Û 2x +1= 0 Û x = -1/2 Do đó :

S =

(x 2 ) (x x 1)dx [(x 2 ) (x x 1)]dx [(x 2 ) (x x 1)]dx

2x 1 dx 2x 1 dx

ò ò = ( 2 ) 1 ( 2 )2

1

2

x +x -- + x +x - =1 25 13

4+ 4 = 2

Ví d 3: ụ 2:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y2 = 4 x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = 0

Giải: Ta có (P): y2 = 4 x  x = 2

4

y

và (d): 2x+y-4 = 0  x=4

2

y



Phương trình tung độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d) là: 2

4

y

=4

2

y



4

y y





 



Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S=

2 4

4



Bài t p ập đề nghị: đề nghị: ngh : ị:

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành

2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H): y x 1

x



 và các đường thẳng có phương tŕnh x=1, x=2 và y=0

3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5

4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x

2/ Dạng toán 3: Thể tích của một vật thể tṛòn xoay

Thể tích của vật thể tṛòn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) có phương trình y= f(x) và các đường thẳng x= a, x=b , y= 0 quay một ṿòng xung quanh trục ox là:

2( )

b

a

V f x dx

Ví d 1: ụ 1: Tính th tích kh i c u sinh ra do quay hình t òn có tâm O bán kính R quay xung quanhố y = sinx trên đoạn [0;2 ần tìm là: ṛòn có tâm O bán kính R quay xung quanh

tr c ox t o ra ục ạn bởi đồ thị của hàm số y = sinx trên đoạn [0;2

Gi i:ải: Đường thẳng ng t n tâm O bán kính R có ph ng trình :xṛòn có tâm O bán kính R quay xung quanh ương trình :x 2 + y2 = R2  y2= R2-x2

Th tích kh i c u là : V= ố y = sinx trên đoạn [0;2 ần tìm là:  2 2

R

R







3

R R

x

R x







2

3

R R

3R (đvtt)

Ví dụ 2: Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau khi nó quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = 2 ; y = 0 ; y = x2–2x

Giải: Thể tích của vật thể tṛòn xoay cần tìm là :

1

4

x

    =18

5



(đvtt)

Bài tập đề nghị:

Tính thể tích của vật thể tṛòn xoay, sinh ra bởi mỗi hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi

nó quay xung quanh trục Ox:

ÔN THI T T NGHI P MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC C a/ y = cosx ; y = 0 ; x = 0 ; x =

4



b/ y = sin2x ; y = 0 ; x = 0 ; x =  c/ y = xe ; y = 0 ; x =2x

0 ; x = 2