Biết khi m thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn đi qua một điểm cố định.. Hãy tìm tọa độ của điểm cố định đó... GV: Lê Công Thuận Lời giải này chỉ dùng để tham khảo thêm Bài 4.12đ: Cho t
Trang 1GV: Lê Công Thuận Lời giải này chỉ dùng để tham khảo thêm
GỢI Ý GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
PHÒNG GD - ĐT HƯƠNG TRÀ NĂM HỌC : 2010 - 2011
BÀI 1.1 (2đ): Giải phương trình: x2 7x 8 x2 x2 x2 x8 (1)
Giải: (1)
Vậy pt (1) có một nghiệm x = 2 (thỏa đk)
Bài 1.2(1,5đ): Tính giá trị biểu thức: P = 3 1 3 1
Giải: Đặt 25 1
27
= x (1) P = 3 x 5 3 x P5 3 = 10 - 33 x5 x 5 3 x5 3 x 5
P3 = 10 - 33 x2 25.P P3 = 10 - 3 1
27
P3 + P - 10 = 0 P3 -23 + P - 2 = 0 (P - 2)(P2 + 2P + 5) = 0
P - 2 = 0 Vì P2 + 2P + 5 = (P +1)2 + 4 > 0
P = 2
Bài 1.3(1,5đ): Biết rằng x2 5x31 x2 5x74 (1)
Tính giá trị của biểu thức: P = x2 5x31 x2 5x7
Giải: (1) x2 - 5x + 31 = x2 - 5x + 7 + 2.4 x25x7 + 16
8 x2 5x7 = 8
x2 5x7 = 1 Thay x2 5x7 = 1 vào (1) được: x2 5x31 4 1 5 Vậy P = x2 5x31 x25x7 = 5 + 1 = 6
Bài 2.1(1,5đ): Cho a, b thuộc R thỏa: a3 + 3ab2 = 14 (1) và b3 + 3a2b = 13 (2) Tính giá trị của biểu thức a5 - b5
Giải: Cộng (1) và (2) được: a3 + b3 +3ab(b + a) = 27 (a + b)(a2 - ab + b2 + 3ab) = 27
(a + b)3 = 27 a + b = 3 (3) Trừ (1) và (2) được: a3 - b3 +3ab(b - a) = 1 (a - b)(a2 + ab + b2 - 3ab) = 1
(a - b)3 = 1 a - b = 1 (4)
Từ (3), (4) suy ra a = 2, b = 1
Trang 2GV: Lê Công Thuận Lời giải này chỉ dùng để tham khảo thêm
Suy ra a5 - b5 = 25 - 15 = 31
Bài 2.2(2,5đ): Tìm nghiệm nguyên dương của pt: x2 + 2x = y2 + 4y + 15 (1)
Giải:
(1) x2 + 2x + 1 = y2 + 4y + 4 + 12 (x + 1)2 - (y + 2)2 = 12
(x + 1 + y + 2)(x + 1 - y - 2) = 12 ( x + y + 3)(x - y -1) = 12 (2)
Vì x, y Z+ nên x - y -1 Z, x + y + 3 Z+ và x + y + 3 5
(I) hoặc 3 12
1 1
(II) Giải hệ (I) vô nghiệm, hệ (II) vô nghiệm trong tập Z+ Vậy pt (1) vô nghiệm trong tập Z+
Bài 3.1(2,5đ): Cho đường thẳng (d): y = mx - 3x + m + 1
a Xác định m sao cho đường thẳng (d) và các đường thẳng y = x - 4; 2x + y + 1 = 0 đồng quy
b Biết khi m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định Hãy tìm tọa độ của điểm cố định đó
Giải:
a Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng y = x - 4; 2x + y + 1 = 0 là nghiệm của hệ pt:
Thay x = 1, y = -3 vào (d) được: -3 = m -3 + m + 1 m = 1
2
Với m = 1
2 thì (d) đồng quy với đường thẳng y = x - 4; 2x + y + 1 = 0
b Giả sử (d): y = mx - 3x + m + 1 đi qua điểm cố định A(x0;y0) Ta có:
y0 = mx0 - 3x + m + 1 (x0 + 1)x0 - y0 - 3x0 + 1 = 0
Vậy đồ thị luôn đi qua điểm A(-1;4)
Bài 3.2(2,5đ): Cho hệ pt: 3 2 2
(I) Với giá trị nào của m thì hệ pt đã cho có nghiệm (x;y) duy nhất và thỏa mãn điều kiện x - 2y2 < 0 ?
Giải:
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi: 3 2 2
m
m
2
2 3
m m
y
3mx = m + 5m = 6m x = 2
x - 2y2 < 0 2 - 2
2
25 4
m
< 0 4 - 25m2 < 0 m2 > 4
25 m > 2
5 hoặc m < -2
5
Trang 3GV: Lê Công Thuận Lời giải này chỉ dùng để tham khảo thêm
Bài 4.1(2đ): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi P là tiếp điểm của BC với đường tròn (O) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC vuông tại A thì PB.PC = SABC (SABC là diện tích của tam giác ABC)
Giải:
Theo bài toán sgk ta có: PB =
2
a c b
PC = 2
a b c
PB.PC =
2
a c b
2
a b c
4PB.PC = a2 + ab - ac + ac + bc - c2 - ab - b2 + bc
= a2 - c2 - b2 + 2bc = b2 + c2 - c2 - b2 + 2bc = 2bc (vì ABCvuông tại A)
PB.PC = 2
= SABC
Bài 4.2(4đ): Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O Gọi D là giao điểm của AO với
BC và E là giao điểm của BO với AC Tính các góc của tam giác ABC biết:
3 1 3;
2
Giải:
Vì O là giao điểm của ba đường phân giác của ABC
AD là phân giác ABCnên:
1
a
DC AC a b a a b c b c (1)
BO là phân giác ABDnên:
1 1
3
3
a
OD BDa (2)
3
(chia 2 vế cho b) (I)
BE là phân giác ABD nên:
1
b
EB BC b ab b ca ac (3)
AO là phân giác của ABE nên:
1 1
b
3 1
(I) trừ (II) được: 1 3 3 1 3 1 1 3 1 3 3
2
a
b và thay vào (I) được: 1 + 3 3 3
c
Suy ra 1
2
c
a
b c
P O
C B
A
b2
b1
a2
E
a1 D
O
C B
A
Trang 4GV: Lê Công Thuận Lời giải này chỉ dùng để tham khảo thêm
ABC có:
2 2
2
3
x
hay AB2 + BC2 = AC2 Suy ra ABC có B = 900
30
C ( vì AB = 1
2AC), 0
60
A