PHÒNG GD&ĐT
THÁI THỤY
ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học 2010 – 2011
Môn : Toán 6
(Thời gian làm bài 120 phút)
Bài 1 (4 điểm)
a) Cho A = 3 + 22 + 23 + 24 + … + 22010 và B = 22011
So sánh A và B
b) Cho dãy số : 4 ; 10 ; 18 ; 28 ; …
Hãy tìm quy luật của dãy và viết thêm 2 số liên tiếp của dãy
Bài 2 (3 điểm)
Tính A
B b) Giả sử 22010 có m chữ số và 52010 có n chữ số Tính m + n
Bài 3 (3 điểm)
a) Tìm các số nguyên x, y sao cho : x2 + xy = 7
b) Số A = 20102011 có phải là một số chính phương hay không? Vì sao?
Bài 4 (4 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên n để phân số
2
P
2n 1
không tối giản
b) Chứng minh rằng : 1 12 12 12 12 1
6 5 6 7 100 4.
Bài 5 (2 điểm)
a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc Tính n
b) Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy 3 điểm phân biệt không trùng O là A, B,
C trên tia Oy lấy 4 điểm phân biệt không trùng O là D, E, G, H
Có bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh là 3 điểm trong 8 điểm: O, A, B, C, D, E, G, H?
Họ và tên học sinh:……… Số báo danh:……… Trường THCS:………
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1 (4 điểm)
a) A = 3 + 22 + 23 + 24 + … + 22010
= 1 + 2 + 22 + 23 + 24 + … + 22009 + 22010 2A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + … + 22010 + 22011
A = 2A – A = 22011 – 1 < 22011
Vậy A < B
b) Nhận xét : 4 = 1.4 = 1.(1 + 3)
10 = 2.5 = 2.(2 + 3)
18 = 3.6 = 3.(3 + 3)
24 = 4.6 = 4.(4 + 3)
Quy luật của dãy : số hạng của dãy bằng tích của số thứ tự của nó với tổng của số thứ tự với 3 (un = n.(n + 3), n = 1; 2; 3; …)
Vậy hai số tiếp theo là : 5.(5 + 3) = 5.8 = 40 và 6.(6 + 3) = 6.9 = 54
Bài 2 (3 điểm)
a) Nhận xét về đề bài: Đề thi có chút nhầm lẫn :
B Để đúng với đáp án, ta có thể sửa lại thành B 1 1 1 1 1
2011 2011 2011 2011 2011
2011.B
B2011 Vậy A 2011
B b) Ta có : 10m – 1 < 22010 < 10m
10n – 1 < 52010 < 10n
Trang 310m – 1 10n – 1 < 22010 52010 < 10m 10n
10m + n – 2 < 102010 < 10m + n Vì m + n – 2 < m + n – 1 < m + n nên 10m + n – 1 = 102010
m + n – 1 = 2010 m + n = 2011
Vậy m + n = 2011
Bài 3 (3 điểm)
a) Ta có : x2 + xy = x(x + y) = 7 7 ⋮ x x ∈ Ư(7) = {1 ; 7}
Ta l p bảng : ập bảng :
(thoả mãn)
6 (thoả mãn)
6 (thoả mãn)
-6 (thoả mãn) Vậy có 4 cặp (x ; y) thoả mãn đề bài là : (-1 ; -6), (1 ; 6), (-7 ; 6), (7 ; -6)
b) A 2010 201120102010.2010 (2010 1005 2) 2010
Nhận xét: (20101005 2) là số chính phương
2010 không là số chính phương vì 2010 ⋮ 2 nhưng 2010 4 Vậy A = 20102011 không phải là một số chính phương
Bài 4 (4 điểm)
a) Đặt (3n2 + 2n + 3 ; 2n + 1) = d
2(3n2 + 2n + 3) – 3n(2n + 1) ⋮ d hay n + 6 ⋮ d
2(n + 6) – (2n + 1) ⋮ d hay 11 ⋮ d d = 1 hoặc d = 11
Để P là phân số không tối giản thì d = 11
Mà n + 6 ⋮ 11 n + 6 = 11k n = 11k – 6 (k ∈ Z)
b) Đặt A 12 12 12 1 2
4
5 6 30 101
5 101 6
1
6
Trang 4Vậy 1 12 12 12 12 1
6 5 6 7 100 4.
Bài 5 (2 điểm)
a) Cho n tia chung gốc tạo thành 190 góc Tính n
Lấy một tia trong n tia (n ∈ N, n > 1) Tia này cùng với n – 1 tia còn lại tạo thành
n – 1 góc Có n tia nên có n(n – 1) góc
Nhưng mỗi góc được tính hai lần nên có tất cả n(n 1)
2
góc
Theo đề bài, ta có : n(n 1) 190
2
n(n – 1) = 2.190 = 20.19 n = 20
Vậy n = 20
b) (Hình vẽ)
x
y
O D E G
H
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Loại tam giác này có 3.4 = 12 tam giác
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm D, E, G, H : có 6 cách chọn
Loại tam giác này có 3.6 = 18 tam giác
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm D, E, G, H : có 4 cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A, B, C : có 3 cách chọn
Loại tam giác này có 4.3 = 12 tam giác
Vậy tổng cộng có 12 + 18 + 12 = 42 tam giác
Tổng quát :
Trên Ox lấy m điểm A1, A2, … , Am phân biệt (m ∈ N, m 1); trên tia Oy lấy n điểm B1, B2, … , Bn phân biệt (n ∈ N, n 1) Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo thành từ
m + n + 1 điểm : O, A1, A2, … , Am, B1, B2, … , Bn
Trang 5Trước hết, ta có nhận xét : Qua k điểm phân biệt thẳng hàng có k(k 1)
2
cặp hai điểm
Thật vậy, lấy ra một điểm, điểm này và k – 1 điểm còn lại tạo thành k – 1 cặp hai điểm Với k điểm ta được k(k – 1) cặp hai điểm Nhưng mỗi cặp hai điểm được tính hai lần nên có k(k 1)
2
cặp hai điểm
Trở lại bài toán :
Xét ba trường hợp :
- Các tam giác có đỉnh là O:
+ Đỉnh thứ 2 là một trong các điểm A1, A2, … , Am : có m cách chọn.
+ Đỉnh thứ 3 là một trong các điểm B1, B2, … , Bn : có n cách chọn.
Loại tam giác này có m.n = mn tam giác
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm A1, A2, … , Am : có m cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm B1, B2, … , Bn (ứng với số cặp hai điểm):
có n(n 1)
2
cách chọn
Loại tam giác này có m.n(n 1) mn(n 1)
- Các tam giác có đỉnh là là một trong các điểm B1, B2, … , Bn : có n cách chọn.
Hai đỉnh còn lại là 2 trong các điểm A1, A2, … , Am (ứng với số cặp hai điểm):
có m(m 1)
2
cách chọn
Loại tam giác này có n.m(m 1) mn(m 1)
Vậy tổng cộng có :