Hãy tìm điểm D trên cạnh AB sao cho từ điểm D đó ta vẽ được một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai hình có diện tích bằng nhau.. Vẽ đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H.. Chứng minh
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐỀ HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
HUYỆN NAM ĐÀN NĂM HỌC 2013-2014
Đề chính thức
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (5,0 điểm)
1 Tính 6 4 2 (1 2)2
2 cho biểu thức A =
a, Rút gọn B = 1 - A x 1
b, Với x 1; Tìm x để P = x 1
B
nhận giá trị nguyên
Câu 2: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 và n - 4 đều là :
a, Số chính phương
b, Số nguyên tố
Câu 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau :
a, 2x 2013 2 3
b, 1 x x 4 1 2 x
Câu 4: (3,0 điểm)
a, Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 Chứng minh rằng: 4(1 - a)(1 - b)(1 - c) a + 2b + c
b, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2yz = 26 - 2xz
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 2
3 2 1
x x
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC Hãy tìm điểm D trên cạnh AB sao cho từ điểm D đó ta vẽ được một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai hình có diện tích bằng nhau Có bao nhiêu vị trí của điểm D như thế ?
Câu 6:(4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cả 3 góc đều nhọn Vẽ đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H
a, Chứng minh AF.BD.CE = AE.CD.BF
b, Gọi K là giao điểm của AD với EF và G là giao điểm của BE và DF Chứng minh DEF là tam giác vuông khi DK.EG = 2DH.EH