Đề thi khảo sát HSG toán 7 lần 1 năm 2012-2013

Tìm ba phân số đó.. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD=AB.. Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC

TRƯỜNG THCS KIM LONG.

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1

MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học 2012-2013.

Thời gian 120 phút.

Câu 1(2 điểm): Tính giá trị của các biểu thức:

a/ A =

12 5 6 2 10 3 5 2

2 3 4 9 5 7 25 49 (2 3) (125.7) 5 14



 b/ S = 1 +3 + 32 + 33 + … + 32013

Câu 2(2,5 điểm):

a/ Cho các số a, b, c, d thoả mãn a b c d

b c d c d a d a b a b c            Tính giá trị của biểu thức:

P a b b c c d d a

c d d a b a b c

b/ Tìm x biết: 1 1 1 1 100

Câu 3(1,5 điểm):

Ba phân số tối giản có tổng bằng 213

70 , các tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5, các mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2 Tìm ba phân số đó.

Câu 4(1,5 điểm):

Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2 số 2n +1 và 3n + 1 đồng thời là số chính phương

Câu 5(2,5 điểm):

Cho ABC nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD=AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B ta dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC và AE=AC.Vẽ AH vuông góc với BC Đường thẳng HA cát DE ở K Chứng minh rằng: K là trung điểm của DE

Hết

ĐÁP ÁN THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LẦN 1

MÔN TOÁN LỚP 7

1

a)

12 5 12 4 10 3 10 4

12 6 12 5 9 3 9 3 3

12 4 10 3

2 3 2 3 5 7 5 7

2 3 2 3 5 7 5 7 2

2 3 (3 1) 5 7 (1 7)

2 3 (3 1) 5 7 (1 2 )

2 5.( 6)

3.4 9

1 10 1

3



0,25

0,25 0,25

0,25

Ta có: S = 1 3 3  233 3 2013 (1)

 3S = 3 3 233 3 2014 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:

3S – S = 320141

Hay S = 32014 1

2



0,25 0,5 0,25

2 a)

b c d  c d a  d a b  a b c  suy ra

b c d   c d a   d a b   a b c  

Hay a b c d a b c d a b c d a b c d

b c d c d a d a b a b c

* Nếu a+b+c+d = 0 thì

a+b = -(c+d) a b 1;c d 1

c d a b

b+c = -(d+a) b c 1;d a 1

d a b c

nên P=-1

* Nếu a+b+c+d 0 thì

b+c+d = c+d+a = d+a+b = a+b+c  a = b = c = d P=1

Vậy P= -1 nếu a+b+c+d = 0

P = 1 nếu a+b+c+d 0

0,5

0,5

0,5 b)

Vì Vế trái  0 nên để đẳng thức xảy ra thì vế phải  0 Hay 100x  0 x 0

Khi đó ta có: 1 1 1 100

x  x   x  x

99 1 1 100

100

x   x

0,25 0,25 0,25

99

100

3

Gọi các phân số cần tìm là a c e; ;

b d f

Vì tử của chúng tỉ lệ với 3;4;5 nên

3 4 5

a c e

k

  

3 ; 4 ; 5

a k c k e k

Vì mẫu của chúng tỉ lệ với 5;1;2 nên

5 1 2

b d f

p

b p d p e p

Mặt khác: b d a c  e f 21370  3 4 5 213

k k k

p p  p 

Hay: 6k4010k p25k 1071k p 21370  k p 37

 3 3 9

5 7 35

a

b   ; 4 3 12

1 7 7

c

d   ; 5 3 15

2 7 14

e

f  

Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng 213

70 Vậy 3 phân số cần tìm là: 9 12 15; ;

35 7 14

0,25

0,25 0,25 0,25 0,25

0,25

4 Vì n là số tự nhiên có 2 chữ số  10 n  100 Do đó 212n +1201 (1)

Mặt khác 2n + 1 là số chính phương lẻ (2)

Từ (1) và (2)  2n + 1  {25; 49; 81; 121; 169}

 n {12; 24 ; 40 ; 60 ; 84}

Do đó 3n +1 {37; 73; 121; 181; 253}

Trong các số trên chỉ có 121 = 112 là số chính phương Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là 40

0, 5 0,25

0,25 0,25 0,25

5 Hình vẽ:

0, 5

Từ D và E kẻ các đường vuông góc đến AH cát đường thẳng AH lần lượt tại

P và Q

Ta có: AHBDPA (Cạnh huyền – góc nhọn)

(1)

DP AH

AHC EQA

  (Cạnh huyền – góc nhọn)

(2)

AH EQ

Từ (1) và (2) suy ra DP = EQ  DKPEKQ ( Cạnh góc vuông và góc

nhọn kề)  KD KE  K là trung điểm của DE

0,5 0,5 0,5