LUYỆN THI HÌNH KHÔNG GIAN 12

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a... ° Mặt phẳng SAC có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2... Viết phương trình mặt phẳng P qua giao tuyến của α

ẢI Câu 1:

Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0

(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0

° Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2

° (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1

A

H

F

D

Cách 2:

° Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông

⇒ ∆ABC, ∆A/B/C/ là các tam giác đều cạnh a

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

1 Tìm điểm M thuộc (∆) để thể tích tứ diện MABC bằng 3

2 Tìm điểm N thuộc (∆) để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất

a z

y

Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau.

° [AB; AC] ( 3; 6; 6)uuur uuur = − − = −3(1; 2; 2)− = −3.nr , với n (1; 2; 2)r= −

° Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ nr: (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0

° SABC 1 [AB; AC] 1 ( 3)2 ( 6)2 62 9.

° Gọi O là tâm của ∆ABC

° Ta có: SA SB SCOA OB OC ( ABC đều)== == ∆

M C

° ∆SOA vuông có: SA2 SO2 OA2 h2 a2 3h2 a2 SA 3h2 a2

° ∆SAB= ∆SAC (c.c.c) ⇒ IB IC= ⇒ ∆IBC cân tại I

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔ ∆IBC vuông cân tại I IM 1BC

° Gọi H là tâm của ∆ABC

và M là trung điểm của BC

° Ta có: SA SB SCHA HB HC ( ABC đều)== == ∆



° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc A(0; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA; SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1.

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA; SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2.

° (SAB) (SAC)⊥ ⇔cos(n ; n ) 0r r1 2 =

S z

A z

H B

M y C

Câu 1:

Mặt cầu (S): (x 2)− 2+ −(y 3)2 +z2 =13 m− có tâm

I(-2; 3; 0), bán kính R IN= = 13 m− , với m < 13

và đi qua điểm A(0; 1; -1)

° AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)uur= − uur r = −

° Khoảng cách h từ I đến đường thẳng (d):

H N M

I

° Ta có: IH = h

⇔ − − = ⇔ − − = ⇔ m = −12 (thỏa điều kiện)

° Vậy, giá trị cần tìm: m = -12

Câu 2:

Cách 1:

° Gọi N là điểm đối xứng của C qua O

° Ta có: OM // BN (tính chất đường trung bình)

OH AK; OH BN⊥ ⊥ ⇒ OH (ABN)⊥ ⇒ d(O; (ABN) OH=

° Từ các tam giác vuông OAK; ONB có:

° Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz

đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

là trung điểm của AC

° MN là đường trung bình của ∆ABC

° Phương trình mp (OMN) qua O với pháp vectơ n : 3x y z 0r + + =

° Ta có: d(B; (OMN)) 3.a 0 0 a 3 a 15

a 3

a 3 y C

N O

M a

x B

BÀI 4

Câu 1:

Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x – y + z – 5 = 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của (α) và mặt phẳng (xOy) và (P) tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 12536

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a (a > 0), hình chiếu của S trên đáy trùng với trọng tâm G của ∆ABC Đặt SG = x (x > 0) Xác định giá trị của x để góc phẳng nhị diện (B, SA, C) bằng 60o

GIẢI

Câu 1:

Phương trình mặt phẳng (xOy): z = 0

° Phương trình mặt phẳng (P) thuộc chùm xác định bởi (α) và (xOy) có dạng: m(2x – y + z – 5) – nz = 0 ⇔ (P) : 2mx my (m n)z 5m 0− + + − =

° Giao điểm A, B, C của (P) và 3 trục Ox, Oy, Oz lần lượt có tọa độ:

(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)

° Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G

trên AB, AC Tứ giác AEGF là hình vuông

a

3

° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),

° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ nr1

° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ nr2

° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o

z x

x

y C

B

A

E

F G M

2 o

Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng

(d) : x1−1=2y = z+22 và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z = 0

Câu 2:

Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông góc với (ABC) và SA = a Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF

° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; ∆)

° Vậy, có một điểm A(3; 0; 0).

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF

° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ∆SEM có:

° Vì AF // ME ⇒ d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.= =

° ∆SAK vuông có: 1 2 12 12 12 22 32 AH a 3

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

E M F y

C

C S

F M B E K

H A

° SE=a 2 a 62 ; 2 ; a ; AF (a; a 6; 0), SM− ÷ = =a 22 ; a 6; a− ÷

° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có:

° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.r + − =

° Khoảng cách từ A đến (SEM): d(A;SEM) 0 0 a a 2

° Vì AF // EM ⇒ AF //(SEM)⇒ d(SE; AF) d(A; SEM)=

° Vậy, d(SE; AF) a 3

L

ỜI GIẢI Câu 1:

(P) : 2x 2y z m+ + − 2 −3m 0=

(S) : (x 1)− + +(y 1) + −(x 1) =9 có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3

(P) tiếp xúc (S) ⇔ d[I, (P)] R=

2 2

° Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình:

° Ta có: SA (ABC)⊥ ⇒ SA AC.⊥

Do đó ∆SAC vuông tại A có AM là

trung tuyến nên MA 1SC

2

=

° Ta lại có: SA (ABC)AB BC ( ABC vuông tại B)⊥⊥ ∆



⇒ SB BC⊥ (định lý 3 đường vuông góc)

Do đó ∆SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB 1SC

2

=

° Suy ra: MA = MB ⇒ ∆MAB cân tại M

° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈

° ∆MHK vuông tại H có: MK2 =MH2+HK2 =a2+a2 =2a2 ⇒ MK a 2=

° Diện tích ∆MAB: SMAB 1.MK.AB 1.a 2.a a 22

B K A

z S 2a

M

C y

a 5 H

B

A K

x a 5

2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0

ty

t2x

=

−

+

012z3y4x4

03yx

Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2)

GIẢI

Câu 1 :

Cách 1:

° Gọi H là trung điểm của BC

° Do S.ABC đều và ∆ABC đều nên

chân đường cao đỉnh S trùng với

giao điểm ba đường cao là trực tâm O

của ∆ABC và có ∆SBC cân tại S

suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên ·SHA= ϕ

ϕ

° Vì S.ABC là hình chóp đều

nên chân đường cao đỉnh S trùng

với tâm O đường tròn (ABC)

° Gọi M là trung điểm của BC Ta có:

A

z

S

(d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 1; 0)

(d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương ur2 =(3; 3; 0)−

° AB (3; 0; 4)uuur= −

° AB.[u ; u ] 36 0uuur r r1 2 = ≠ ⇒AB, u , uuuur r r1 2 không đồng phẳng

° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau

° (d2) có phương trình tham số:

/ /

° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính R= 12MN 2.=

° Vậy, phương trình mặt cầu (S): (x 2)− 2 + −(y 1)2+ −(z 2)2 =4

BÀI 8

Câu 1:

Trong không gian Oxyz có 2 mặt phẳng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,

(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 và 2 đường thẳng:

3

1

z4

3

y2

=

−

−

=+

Viết phương trình đường thẳng (∆) song song với hai mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2)

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của AB

Câu 1:

(P) có pháp vectơ nrP =(3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n ,− = − = r/P với nr/P =(1; 4; 1)−

° (Q) có pháp vectơ nrQ =(3; 4; 9)−

° (d1) có vectơ chỉ phương ur1 =(2; 4; 3)−

° (d2) có vectơ chỉ phương ur2 = −( 2; 3; 4)

Q /

P /

∆

u r1

đường cao vẽ từ đỉnh B/ và SA MCN / =2.SA NC /

° Chọn hệ trục Dxyz, với Dx, Dy, Dz

đôi một vuông góc,

B M

tx

6't3y

'tx

Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1)

(d1) có vectơ chỉ phương ur1 =(1; 1; 2)

(d2) có vectơ chỉ phương ur2 =(1; 3; 1)

117

° Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB)⊥ ∩ = ⊂ ⇒ SH (ABC)⊥

° Vì (SAC) và (SBC) cùng tạo với (ABC) một góc α và ∆ABC đều, nên suy ra

H là trung điểm AB

° Dựng hệ trục tọa độ Hxyz, với Hx, Hy, Hz

đôi một vuông góc, H(0; 0; 0),

x

H

a 2

a 3 2

y

1 Lập phương trình chính tắc của đường thẳng (∆3) đối xứng với (∆2) qua (∆1).

2 Xét mặt phẳng (α) : x + y + z + 3 = 0 Viết phương trình hình chiếu của (∆2) theo phương (∆1) lên mặt phẳng (α)

3 Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) để MM MMuuuur1 +uuuur2 đạt giá trị nhỏ nhất biết M1(3; 1; 1) và M2(7; 3; 9)

° Gọi H là hình chiếu của A trên (∆1)

° Gọi A/ là điểm đối xứng của A qua H ⇒ A/(-1; -1; -7)

° Gọi K là hình chiếu của B trên (∆1) và B / là điểm đối xứng của B qua K

Tương tự như trên ta tìm được:

2 Mặt phẳng (β) chứa (∆2) và (β) // (∆1)

⇒ (β) có cặp vectơ chỉ phương ur = −( 7; 2; 3), ur =(1, 2, 1)−

⇒ [u ; u ] ( 8; 4; 16)r r1 2 = − − − = −4(2; 1; 4)= −4n ,rβ với nrβ =(2; 1; 4)

° Phương trình mp (β) qua A(7; 3; 9) ∈ ∆( )2 với pháp tuyến nrβ:

( ) : 2x y 4z 53 0β + + − =

° Ta có: ( ) ( ) ( )α ∩ β = ∆/2 là hình chiếu của (∆2) lên (α) theo phương (∆1).

° Vậy, phương trình hình chiếu /2

x y z 3 0( ) :

2x y 4z 53 0

+ + + =



∆  + + − =

3 Gọi I là trung điểm M M1 2 ⇒ I(5; 2; 5)

° Ta có: MM MMuuuur1+uuuur2 = 2MIuuur

MM MM

⇒ uuuur +uuuur nhỏ nhất ⇔ 2MIuuur nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu của I trên (α)

° Phương trình đường thẳng (∆) qua I

và vuông góc với (α) là:

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC.⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a ⇒ AH=2a và

(AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a)

° Vậy, ∆AB/I vuông tại A

° Ta có: /

2 /

° Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chiếu, ta có:

° Gọi H là trung điểm BC ⇒ AH BC⊥

° ∆ABH là nửa tam giác đều cạnh AB = a

aAH

2

2

° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az

đôi một vuông góc, A(0; 0; 0),

⇒ uuur ⊥uur Vậy, ∆AB/I vuông tại A

* Phương trình mp(ABC): z = 0 có pháp vectơ nr1 =(0; 0; 1)

* mp (AB/I) có cặp vectơ chỉ phương AB , AIuuur uur/ , nên có pháp vectơ:

B

C A

H

I

y z