Chẳng han, khi tinh khoảng cách từ mát điểm đến mát mặt phẳng, tính góc tạo bởi mót đường thẳng với mót mật phẳng, xác định xú đo góc phẳng của nhỉ điền, tùm thiết điện của mới hinh c
Trang 1HINH KHONG GIAN LIDH 2009
Có nhiều hài toán hình học không gian mà khí giải các
bài toán đó ta cản tùn chân đường vuông góc hạ từ mới
diem xuéng mót mắt phẩng Chẳng han, khi tinh
khoảng cách từ mát điểm đến mát mặt phẳng, tính góc
tạo bởi mót đường thẳng với mót mật phẳng, xác định
xú đo góc phẳng của nhỉ điền, tùm thiết điện của mới
hinh chop bi cdt boi mot mat phẳng di qua môi đường
thang va vudng goc voi mot mat phang nao đó Việc
xác định duoc chan đường vudng góc có vai trò quan
trong đẻ tìm ra lời giải các bài toán Nhiều học xinh
thưùng bói rôi trước các dạng toán nhự vậy Bài viết
nay nham phan loại một số dang toán (thường gấp và
dưa ra phương pháp giai chúng Tác giả hí vong qua
bài báo cung cáp cho các bạn học sinh phương pháp
nhàn biết và giai quyết được các bài (oán tương tự và
hơn nữa là guái được đề thí vào Đai học và Cao đẳng
© Bai toan Cho mat phẳng (P) và điểm M
không thuộc mặt phẳng đó (M hoặc (P) thỏa
mãn điều kiện cho trước) Xác định chân đường
vidng 260 H hạ từ À{ vuống (P)
Trước hết, cần hiểu răng xác định / không đơn
thuần là thể hiện vị trí của #ƒ trên hình vẽ mà ta
phải chỉ ra được các tính chất của /{ Điểm /ƒ có
nhiều tính chất thì càng có lợi cho ta khi giải
toán Dưới đây là một số trường hợp thường gặp
và phương pháp xử lí trong môi trường hợp đó
1 Trong mật phẳng (P) có một điểm A
va mot duong d khong di qua A sao cho
MA ld
Để xác định HH
ta tiến hành các
bước sau: (h l)
M
đường thẳng ở“
di qua A va
d’ 1 d,
e Trong mặt phẳng (Af, đ), dựng MH 1 d’ Ha
diém can tim
Hinh |
ĐỒ THANH SƠN (GV ĐHKHTN - ĐHQG Hè Nội)
Thí dụ lI Cho hình chóp tam giác đéu S ABC
xác định chân đường vuông góc hạ từ A đến mắt
phang (SBC)
Loi giai Hinh chop S ABC co day là tam giác đều ABC và chân đường cao hạ từ Š xuống mật phang (ABC) tring voi truc tam tam giác ABC Tit dé SA 1 BC Trén BC lay diém / sao cho SI 1 BC va trén SI lay diém H sao cho
AH 1 SI Khi dé H 1a diém phai tim
Thi du 2 Cho hinh chép S ABCD, day ABCD la
hình vuông Cạnh SA vuông góc vải mặt phẳng (ABCD) Xúc định chân đhường vuông góc hạ từ
C xudng mat plang (SBD)
Loi gidi (h 2)
Ta có SA 1 BD,
AC | BD nên BD l1 mp(SAC), suy
ra BD 1 SC Goi
O la giao diém của AC và BD, khi đó SO 1 BD
Chân đường vuông góc hạ từ
C xuống mặt phang (SBD) nam trén SO Ha
là điểm cần tìm
Hình 2
điểm A, B sao
cho MA = MB
Dé tim H ta tiến
hanh cac bước sau (h.3):
Hinh 3
PHUONG PHAP XAC BINH CHAN BUCNG VUONE G0C
HẠ TỪ MỘT ĐIỂM XUỐNG MỘT MẶT PHẲNG
Page 1
Trang 2
e Trong mặt phẳng (P) kẻ đường trung trực đ
của đoạn thẳng BC
e Trong mật phẳng (M; đ) dựng MH 1 đ H là
điểm cần tìm
Thí dụ 3 Cho hình chóp S ABC, đáy ABC là
tam giác cản tại A và SAB=SAC Xéc dinh
chân đường cao của hình chóp
Lời giải Hai tam giác SAB và SAC bằng nhau
(c.g.c), do dé SB = S$C Dựng đường cao AM của
tam giác ABC, khi đó AAí là đường trung trực
của 8C Chân đường cao H ha tir S cia hình
chép nam trén AM
Thí dụ 4 Cho hình hộp ABCD.A BC có
các cạnh AB = AD và A' Á'AB-= A’ VAD Xic dinh
chân đường vuông góc hạ ut dinh A’ xudng
mặt phẳng (ABCD)
Lời giải Từ giả thiết ta suy ra A8 = AD Vì
ABCD là một hình thoi, nên đường chéo AC của
hinh thoi cũng là đường trung trực của đoạn 8Ð
Chân đường vuông góc kẻ từ A' xuống mặt phẳng
(ABCD) thuộc đường thẳng AC
Thi du 5 Cho hinh chóp tứ giác đều S.ABCD
Mội mặt phẳng ( ứ) đi qua AB cắt các cạnh SC
và SD lần lượt tại các điểm M và N Xác định
chân đường vuông góc hạ từ S vuống mắt
phẳng ( đ)
Lời giải Tà có MN/ICDI/AB Tứ giác ABMN
là một hình thang cân Vì vậy đường thẳng đi
qua trung điểm hai đáy là đường trung trực
của hai canh đáy đó Vì SA = SÖ, nên theo trên
chân đường vuông góc H ké tir § nằm trên
đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy hình
thang ABMN
Thí du 6 Cho ba tia Ox, Oy, Oz khéng ciing nam
(rong mot mat phẳng thỏa mãn điều kiện
xOy = xO: Xác định chân đường vuông góc hạ
từ một điểm M thuộc Qx xuống mặt phẳng (yO?)
Lời giải Ta lấy trên các tia Óy, ÓØz các điểm
A, B sao cho OA = OB, Cac tam giac OMA và
OMB bang nhau, do d6 MA = MB Chan dutng
vuong goc H ha tir M xudéng mat phang (yOz)
nam trên đường thang di qua O và trung điểm
của đoạn thẳng A8
3 Tón tai mót đường thẳng a vuông góc với
mặt phẳng (P)
Để tìm // ta cần tiến hành các bước sau đây
e Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt
phẳng (Q) di quaa va M
e® Kẻ qua M đường thẳng song sone với 4 cất
Thi du 8 Cho hinh chép S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C và cạnh SA vuông góc với
mp (ABC) Xác định chân đường vuông góc hạ từ điểm M thuộc cạnh AB xudng mat phang (SBC) Lời giải Ta có BC 1 mp (SAC) Vi vay néu chon trén SC diém K sao cho AK 1 SC, thì
AK 1 mp (SBC) Noi B voi K va chon trên đường BK điểm Ö sao cho MH//AK H là điểm cần tìm
4 Điểm ÄMí thuộc mặt phẳng (Ø) vuông góc với mật phẳng (P)
Để tìm HH ta cần
e Xác định giao tuyến đ của mặt phẳng (P) và
mat phang (Q)
e Chon trén d diém H sao cho MH 1 d H la điểm cần tìm
Thí dụ 9 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Cạnh bên SA £ mp(ABCD) l) Xác định chân đường vuông góc hạ từ điểm
M nằm trên đường SA xuống mặt phẳng (SBC')
2) Goi O la giao điểm của AC và BD va (a) la mat
ph`ng di qua O song song với BC Xác dinh chan
đường vuông góc hạ từ S xuống mat phdng (a) Lời giải \ ) Từ giả thiết bài toán suy ra mp(SAB)
1 mp(S8C) M thuộc mặt phẳng (SAB), nên
chân đường vuông góc hạ từ ă xuống mặt
phẳng (S#C) nằm trên đường thẳng S
2) Vi BC L mp(SAB) và 8D//mp(ø) nên mp(ø)
1 (SAB) S thudc mp(SAB), do d6 chan đường vuông góc hạ từ S xuéng mp(@) nam trén giao tuyén cia (@) va (SAB)
Dé ket thiic bài viết, đế nghị các bạn hãy giải các bài tập sau đây
Bai 1 Cho mot lang tru dimg ABC ABC’ cé day
ABC la tam gic can tai A Goi (@) 1a mat phang
di qua A va trung diém hai canh bén BB’, CC’
Xác định chân đường vuông góc hạ từ mội trong
các điểm sau dây xuống mật phẳng (ø):
1) Từ các dinh A‘, 8, C của hình lang tru;
2) Từ trung điểm / của ØC;
3) Từ trọng tàm Ở của tam giác A*'#'C
Bai 2 Cho hinh vudng ABCD Trên dường
thang d di qua A vuông góc với mật phẳng hình vuông, ta lây điểm $ (khác A4) Xác định chân
đường vuông góc hạ từ điểm € và trung điểm của cạnh #€ xuống mat phang (SBD)
Trang 3
| emu PHAP
GIAT TOAR
Trước hết xin nhắc lại nội dung đề toán
Bai 1 Trong mat phang cho đường tròn tam
O bán kính a và một điểm P nằm trong đường
tròn (OP *= d < a) Trong các tử giác lôi
ABCD nội tiếp đường tròn nói trên sao cho
các đường chéo AC và BD vuông góc với
nhau tại P, hãy xác định tứ giác có chu vi lớn
nhất và tứ giác có chu vỉ nhỏ nhất Tính các
chu vì đó theo a và d
I Giới thiệu hai lời giải (từ hai cách tiếp
cận khác nhau) của bài toán
A Lời giải I (Lời giải hình học)
a) (h 1) Ki hiéu p la
chu vi của tứ giác
ABCD, ta có
p° = [(4B + CD)
+ (BC + DA)!’
= (AB` + CD)
+ (BC) + D4”)
+ 2(AB.CD + BC.DA)
+ 2(AB.AD + CB.CD
+ BA BC + DA DC)
HINH KHONG GIAN LTDH 2009
bang A, nam hoc 1996 - 1997 có một bài toán |
hình học phăng (Bài l) mà đề bài và đáp án đã
được giới thiệu trên tạp chí THTT số 248 thang |
2 năm 1998 Bài viết này giới thiệu với bạn đọc
những bài toán mới khác đông thời trao đổi với
bạn đọc những suy nghĩ và kinh nghiệm xung quanh việc giải một bài toán, đặc biệt là những Ì bài toán có ý tưởng hay và đẹp |
Tiếp cận và khai thác
MOT BAI TOAN CUC TRI HINA HOC
oT aa
NGUYEN DANG PHAT
(Hè Nội)
Vì tứ giác 4B8CD nội tiếp
đường tròn (Ó: a) nên :
AP.PC = BP.PD
= #P/(O) =đ- #=P (1) AB.CD + BC DA = AC BD
Lại vì AC | BD nên:
AB +CD = BC? + DA) =4a` (3) AB.AD _ CBCD _ BA.BC _ DA.DC
AC? + BC? = 4(2a* — a’) = 4(a’* + b*) (5)
Tir (1), (2), (3), (4), (5) và 2AC.BD = (AC + BDY - (AC? +BD") ta duge
p= (AC + BD)` + 4a(AC + BD) + A(a’ - B°) (*)
b) Tir (*) ta thay p đạt giá trị lớn nhất Pw
hay giá trị nhỏ nhất p„ khi và chỉ khi tổng
AC + BD đạt giá trị max hay min Tir (5) và
hệ thức:
(AC + BD) + (AC — BDY = 2(AC’ + BD’) (6)
suy ra AC + BD dat gia trj max(min)
< |AC — BD) dat min(max)
1) Từ (6) ta được:
max(4C + BD} = 8(a’ + b°)
<> AC = BD= \j2(a! +b) (7)
Do đó py = 2(aJ2+Va? +b? )
6 AC = BD= Ja +b*), (P =a - #
Page 3
Trang 4
khi đó tứ giác 48CD là một hình thang cân
nhận ØP làm trục đối xứng và cũng là trung
trực chung của hai đáy ĐC, 4D
2) Cũng từ (6) suy ra
min (AC + BDY = 8(@’ + 8) — 4(a - bY =
4(a + by’, hay min(AC + BD) = 2(a + b)
<> max|AC — BD) = 2(a -b)
c> Hoặc 4C = 2a, BD = 2h hoặc BD = 2a, AC = 2b
Vậy p đạt giá trị nhỏ nhât P„ =4\ja(a+b) khi và chỉ khi
tứ giác ABCD nhận đường chéo AC' = 2a làm trục đổi xứng, trùng với đường kính đi qua P của đường tròn (O; a) (h 2)
B Lời giải 2 (Lời giải đại số)
L) Đặt b = Va - đ ; PA = xv; PC = vị; PB = y;
PD= Vy Ta có
p=ÿp(\v, Y, 9, V)
= dx+V +jy?+x?+x?ty?+jyV?+e (**)
Các biến số x, x’, y, ⁄' ràng buộc với nhau bởi
các điều kiện:
a-Va?-b? <x,x.y,y'satva-b?* (1)
Hình 2
Bài toán quy về tìm giá trị lén nhat py va gid
trị nhỏ nhất ø„ của biểu thức đại số p(x, x’, y,
#) của các biến x, v, y, ⁄ thỏa mãn các điêu
kién (1), (2) va (3)
Từ điều kiện (2) ta đưa duge p(x, x', y, y) vẻ
dang sau
p(+X, Y, y, V) =
j/(x+y t(x+y) + \(œx+y)}? +(xty} (4)
Bình phương hai về của (4) rồi sử dụng (2) và
(3) ta được
p =(x +x +y +yy + 4a(x +z" ty + y') +
Đặt x + x' = X; y + y' = Y thì p có dạng mội
tam thức bậc hai đối với Y + Y:
p`=(X+ W + 4a(X+ Y) +4(aÌ—b) — (6)
đồng thời từ (2) vả (3) dé đảng suy ra hệ thức
sau giữa X và Y
a) Ta cé max (X + YP = 8a’ + Bb?) OX=Y
Từ đó giá trị lon nhat ca ¥ + ¥ la
2/2(a?7 +b?) >XY= V= Ja? +),
Sau đỏ thay giá trị lớn nhất của Ý + Ÿ vừa tìm
được vào (6) ta thu được giá trị lớn nhất Du b) Từ ý nghĩa hình học của các kí hiệu x, x y,
và Ý = x + x; Y=y +y' ta thay ngay ring min(X, f) = 2b < X, Y< 2a = max(X, PW)
Suy ra giá trị lớn nhất của (V - Y} lả
Imax(Y, Y) - min(Y, V)Ỷ = (2a - 3h)” = 4(a - by’
Do đó
min(X + W = 8(đ + b`) - 4(a — b}” = 4(a + b}
©X=2a,Y=2b hoặc X= 2b, y = 2a
Tir dé min (X + Y) = 2(a + A)
Cuối cùng ta cũng thu được biểu thức p„ Y
nghĩa hình học của đẳng thức điều kiện X =
= Ja? +b?) khi p đạt giá trị lớn nhất p„ va X=2a Y = 2b (hoặc X = 2b, Y = 2a) khi p đạt giả trị nhỏ nhất p„ được chỉ ra ở lời giải I
C Nhận xét và lời bìnk (về hai lời giải hình học và đại số của bài toán)
e Lời giải Ì mang sắc thái hình học rõ rệt Đê
tính được chu vị ø của tứ giác nội tiếp 48CD
ta can phai lay tong độ dài các cạnh của nó
Nhưng độ dài các cạnh lại liên quan đến độ dài hai đường chéo AC va BD, ban kinh a cua
đường tròn ngoại tiếp (Ø: a) cũng như đến
khoảng cách ØP = đ (0 < đ < a) Mỗi liên hệ này tất cả đều được thẻ hiện dưới dạng bình
phương của độ dài đoạn thăng và tính độ dải
của hai đoạn thẳng Chính vì vậy, để tính
được p ta cân thiết lập được biểu thire p’ Cudi
củng thu được hệ thức (*) biểu thị p` dưới
dạng một tam thức bậc hai đối với biến
z = AC + BD là tổng độ dải hai đường chéo
của tứ giác (lồi) thay đổi 48CD được xét Và
bài toán ban đâu tìm giá trị lớn nhất p„ và giá
trị nhỏ nhất ø„ của p được quy vé bai todn cuc
trị cơ bán, đơn giàn hơn nhiều, đó là tìm giá
trị lớn nhất z„ và giá trị nhỏ nhất z„ của đại
lượng biến thiên z = AC + BD
® Lời giải 2 (lời giải đại số) nhanh chóng thiết
lập được biểu thức (**) của p trên cơ sở biểu thị trực tiếp độ dài các cạnh của tứ giác theo
các độ dai thay déi x, x', y, y' của các đoạn
thẳng có chung một đầu mút ở Ð Tuy nhiên,
chúng ta cũng vẫn phải thiết lập các hệ thức (1), (2), (3) biểu thị mối liên hệ giữa các biến
x, x, y, y' từ hai tính chất hình học (1) và (3)
Trang 5HÌNH
CÁC th
TRONG
TU MOT BAT
(Tiếp theo kì trước)
THÁI VIẾT THẢO (Sở GD-ĐT Nghệ An)
H Các bất đẳng thức liên quan đến đường
tròn ngoại tiệp
Khi cho M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giac ABC, BDT (*) tré thanh
R(at+ 8+ y)`>za°Ðy+ b`ay+c`a8 (4*)
Đến đây bảng một số phép biến đổi, ta có một
số trường hợp đặc biệt của nó
~ Chọn œø = B= ythay vao (4*) được
1e b2 3
; đở?Ở+b?+c
#?“>— ;
9
~ Chọn œ = a, Ø= b, y= c thay vào (4*) được
R >?r,
~ Chọn œø = 8= -y thay vào (4*) được
R`+a'+b`>c°;
- Chon a= be, Ø8 = ca, y*= ab thay vào (4*)
ta được
(ab + be + ca) = ae
— Chon a= btc, B = cta, y= atb, thay vào
(4*) và biến đôi ta được
8R(R-2r) > (a—b)* + (b— e} + (e—a) (18)
Để ý rằng a = 2.sin4, b = 2R.sinB, c = 2R.sinC
thì BĐT (4*) có dạng
tợt/8+?)* > 4(Øy.sinÈ4+ ay.sin°B+a/Ø.sin°C)(5*)
BĐT này gợi cho ta nhiều liên tưởng tới tính
lượng giác của nó
| — Chon a=c, B= a, y= b thay vao (5*) có
- Chọn ø = cos4, Ø = cosÖ, y = cosC thay
r
Từ BĐT này ta chọn các bộ số (œ, đ ?) thích hợp sẽ đi tới các BĐT mới
~ Chọn z= 8= y thay vào (6*) được BĐT
TA’ + TB’ + TCÌ> ————— (21)
3
- Chon a= — TA’’ fat y= — tha vao Te” To
(6*) và biến đổi ta được
ảnh re tràn >p (22)
- Chọn œ=p =a, 8= p-b, y= p ~c thay vào (6*) ta được
a +??2 7 ›8(R~r)
I1 1, 88-%
©—+—>+—
(23)
c2 _B we
vào (6*) Sau khi biến đổi ta có tiếp
[sin A +sin 5 +sin$ | > > UD + : + VN
> P [aes _ +b.cos ; +€ 5 (24) Như vậy mới chỉ qua năm trường hợp đặc biệt
của điểm Aƒ mà ta đã đẻ xuất được 24 BDT
Dưới đây chúng tôi đưa ra một số BĐT khác có
được băng cách làm như trên, bạn đọc tự giải xem như bải tập
Bai 1 Cho tam giác 4C Chứng minh rằng
hệ +rẻ +r2 >6r? +24Rr— pÌ trong đó r„., r„ r, là các bán kính đường tròn bằng tiếp trong các góc 4, B, C của tam giác ABC
Bài 2 Cho tam giác 4BC và một điểm ? tùy ý
trong tam giác Gọi 4, Ø¿, €; là hình chiếu vuông góc của ? trên các cạnh ØC, CÁ và AB theo thứ tự Đặt P4 = dị, PB = ä;, PC = d,, PA\ =r, PB, =P, PC)= ry Chứng minh rang:
a) 3(ry) + ry try)
> d)sin’A + dy’.sin’B +dy.sin’C ;
b) (a + b* + c*(S.' +S," + S.’)
2 S(Ry + Ry + Ry);
24 ht472
6): Sia ar te
a+b+e
HINH KHONG GIAN LTDH 2009