Với điều kiện mẫu thức được xác định.. Chứng minh rằng góc IMJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ nhất... Ta có MI = MD ≥MH MH là đường vuông góc kẻ
Trang 1TRƯỜNG THCS TAM HƯNG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Câu1: (6 điểm)
a) Tính (
4
3
- 81)(
5
32
- 81)(
6
33
- 81) .(
2003
32000
- 81) b) Tính giá trị của biểu thức : 6x2 + 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1
Câu 2 : (5đ)
a) Cho
6
5 4
3 2
1= + = −
a
và 5a - 3b - 4 c = 46 Xác định a, b, c
b) Cho tỉ lệ thức:
d
c b
a
= Chứng minh :
cd d
d cd c
ab b
b ab a
3 2
5 3 2 3
2
5 3 2
2
2 2
2
2 2
+
+
−
= +
+
−
Với điều kiện mẫu thức được xác định
Câu 3 (2đ)Tìm x, y nguyên biết 3x− =4y 15
Câu 4 : (6đ)
Cho ∆ MNP nhọn, MD vuông góc với NP tại D Xác định I ; J sao cho MN là trung trực của DI, MP là trung trực của DJ ; IJ cắt MN ; MP lần lượt ở L và K Chứng minh rằng :
a) ∆MIJ cân
b) DM là tia phân giác của góc LDK
c) NK ⊥ MP ; PL ⊥ MN
d) Trực tâm của ∆MNP chính là giao của 3 đường phân giác của ∆DLK
e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh NP Chứng minh rằng góc IMJ có số đo không đổi
và tìm vị trí điểm D trên cạnh NP để IJ có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: (1đ)Tìm Giá trị nhỏ nhất của
C = x2 + + + x 3 x2 + − x 6
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Hết~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
TRƯỜNG THCS TAM HƯNG
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 7
Trang 2NĂM HỌC 2014 – 2015
Thời gian: 120 phút
Câu1:
a)(3đ) Trong dãy số có
9
36
- 81 = 2
6 3
3
- 81 = 81-81 = 0
Do đó tích bằng 0
b)(3đ)Ta có x−2 = 1
* x - 2 = 1 ⇔ x = 3
* x - 2 = -1 ⇔ x = 1
Thay x=1 vào biểu thức ta được 6 12 + 5.1 - 2 = 9
Thay x=3 vào biểu thức ta được 6 32 + 5.3 - 2 = 67
KL
Câu 2:
a)(2đ) Xác định a, b ,c
6
5 4
3
2
1= + = −
a
24 12 10
20 9 5 4 3 5 24
) 5 ( 4 12
) 3 ( 3 10
) 1 (
−
−
+
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
=
a
=> a = -3 ; b = -11; c = -7
Cách 2 :
6
5 4
3 2
1= + = −
a
= t ; sau đó rút a, b ,c thay vào tìm được t = - 2 tìm a,b,c
b)(3đ) Chứng minh
Đặt
d
c
b
a = = k => a= kb ; c = kd Thay vào các biểu thức :
0 3
2
5 3 3
2
5 3 3
2
5 3 2 3
2
5
3
2
2 2
2
2 2
= +
+
−
− +
+
−
= +
+
−
− +
+
−
k
k k k
k k cd
d
d cd c
ab
b
b ab
a
=> đpcm
Câu 3 (2đ)
5 3 4
15
x
y
− =
⇔ (5x – 3).y = 4.15 = 60 = 1.60 = 2.30 = 3.20 = 4.15 = 5.12 = 6.10
Từ đó suy ra các cặp x,y
Câu 4:
Trang 3a) Do MN là trung trực của DI
=> MI = MD
MD = MJ => MI = MJ => ΔMIJ cân tại M
b) ∆MLI = ∆MLD (c.c.c) => MIL MDL· =·
TT : ∆MKD = ∆MKJ (c.c.c) => MDK· = ·MJK
Mà ∆MIJ cân (câu a) => MIL MJK· = · (1đ)
=> MDL MDK· = ·
=> DM là tia p/g của ·LDK
c) CMTT câu b : PL ; NK là p/g trong của ·LDK ; ·DLK trong ∆DKL
PL ⊥ MN d) Từ câu c => trực tâm của ∆MNP chính là giao của 3 đường phân giác trong ∆DLK
(1 đ) e) * CM được ·IMJ =2·NMP (không đổi) (1 đ)
* ∆MIJ cân tại M có ·IMJ không đổi nên cạnh đáy IJ nhỏ nhất nếu cạnh bên MI nhỏ nhất
Ta có MI = MD ≥MH (MH là đường vuông góc kẻ từ M đến NP) Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi D ≡H (1đ) Vậy khi D là chân đường vuông góc hạ từ M xuống NP thì IJ nhỏ nhất
M
J I
Trang 4Câu 5: Đặt x2 + x = t
3 6
C t t
= + + −
= + + −
Áp dụng BĐT A + B ≥ +A B
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi A B ≥ 0
GTNN của C = 9 khi − ≤ ≤3 x 2
N