Cho hình hộp thoi có tất cả các cạnh bằng a và Chứng minh là hình vuông... điểm thuộc các đường GT KL uuurPQ ⊥ uuurAB , , PA k PB QC kQD= = Chứng minh PQ PA AC CQ uuur uuur uuur uuur u
Trang 22 Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa 2:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o
Nhận xét:
1) a ⊥ ⇔ b u v r r = 0
Với lần lượt là vecto chỉ phương của a, bu v r r ,
2) a b / /
c b
⇒ ⊥
Trang 3Cho hình hộp thoi có tất cả các cạnh bằng a và Chứng minh là hình vuông.
' ' ' '
ABCD A B C D
·ABC B BA B BC= · ' = · ' = 60 0 ' '
A B CD
Ví dụ 1:
Chứng minh
Vậy là hình bình hành.A B CD' '
Ta có:
CD / / = A B' '
Trang 42 2 2 0
2 2 2
2 '
B C a a a a cos
a a a
B C a
= + −
= − =
⇒ =
Mặt khác ta có:
Do đó là hình thoi.A B CD' '
2 2
a a
CB CDuuur uuur = CB BB CD CB BA BB BAuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur+ = + = + =
Ta lại có:
'
Suy ra
Trang 5Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có
Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD
Cho biết Tính
4 3
5 6
JK = AB ( CD IJ, )
.
Giải:
;
(1)
Ta có:
Trang 6
Vì IK là đường trung bình của tam giác
BCD nên: IK CD / / ( ) **
2 25 2
(2) 36
JK = AB
Mà
IJ + IK = JK
Từ (1) và (2) ta được:
(*)
IJ ⊥ IK
Vậy
CD ⊥ IJ
Từ (*) và (**) ta suy ra
( CD IJ, ) = 900
Do đó:
Trang 7Ví dụ 3: SGK trang 94
trong đó
điểm thuộc các đường
GT
KL uuurPQ ⊥ uuurAB
,
,
PA k PB QC kQD= =
Chứng minh
( )
PQ PA AC CQ
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có:
Trang 8Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được:
( ) ( )
1
1 1
k PQ PA AC CQ k PB BD DQ
k PQ PA k PB AC k BD CQ k DQ
k PQ AC k BD
Lấy tích vô hướng của 2 vectơ và
AB
uuur
(1 − k PQ AB) uuur uuur = ( uuurAC k BD AB AC AB k BD AB− uuur uuur uuur uuur) = − uuur uuur = 0
uuur uuur