Vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại M và tiếp xúc với đoạn AB tại N.. Chứng minh: CD song song với AB.. Chứng minh: MN là phân giác góc AMB và MN luôn đi qua một điể
Trang 1Ubnd huyện đông h ng đề khảo sát chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 9 Phòng giáo dục
(Thời gian làm bài: 90 phút)Thời gian làm bài: 90 phút))
đề bài
Câu 1( 4điểm) : Tính giá trị của biểu thức:
a 1
a 1 a
-1
a 1 : a 1
a 1 a
-1
a 1
với a =
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
1
Câu 2 (4điểm) Cho x , y , z là 3 số dơng thoả mãn: x + y + z = 1
Chứng minh: 3 2 22 2 14
yz zx x y z xy
Câu 3 (4điểm) Cho phơng trình:
x2 – 2(m-2)x + m2 + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
a Giải phơng trình khi m =
6
2 .
b Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm, từ đó suy ra điều kiện có nghiệm của phơng trình:
0 4
11 2 2
2 2
4
2
2 2
m m y y
m y
Câu 4( 4điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB = 2R và một điểm M
di động trên nửa đờng tròn đó Vẽ một đờng tròn tâm E tiếp xúc với đờng tròn tâm O tại M và tiếp xúc với đoạn AB tại N Đờng tròn (E) cắt MA, MB lần lợt tại các điểm thứ hai là C , D
a Chứng minh: CD song song với AB.
b Chứng minh: MN là phân giác góc AMB và MN luôn đi qua một
điểm cố định khi M chạy trên nửa đờng tròn (O).
Câu 5 (4điểm) : Cho tam giác ABC đều, một đờng tròn tâm O cắt cạnh BC
ở E và D (D nằm giữa B và E), cắt cạnh AB ở H và J (H nằm giữa A và J), cắt cạnh AC ở G và F (G nằm giữa A và F).
a) So sánh AH.AJ và AG.AF.
b) Cho AG = 2 cm , GF = 13 cm , FC = 1 cm , HJ = 7 cm Tính DE?
đáp án,biểu điểm.
Câu 1: (4 điểm)
a 1
a 1 a
-1
a 1 : a 1
a 1 a
-1
a
1
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
1
- Điều kiện xác định giá trị biểu thức A là:
0 1
a a
(0,5
điểm)
1 2 1 2 1 :
x
x x
x
x
1 x A có x a 1 a
1 (1điểm)
a
1 1 a 1
a 1
1 a -1
a 1 A có a -1
a 1 x
(0,5 điểm)
Trang 2- Với a= .
6
1 12
5 3
1 2 3
1 3
1
12
6 2 5 3
1 2 3
1 3
(0,5
điểm)
iểm) (0,5
3 2 A có A vào a thay iểm) Đ (0,5
K Đ mãn thỏa 2 3 2 3 6 2 3 2 3 2 6 2 3 2 3 1 3 1 ) 5 , 0 ( 3 2 2 3 3 1 2 3 1 3 1 12 2 3 3 1 2 3 1 3 1 2 iem Câu2.(4điểm) CM phả diều VP
14 2.3 8 12 2 8 ) 2 z 2 y 2 x zx yz xy )(4 zx yz xy 2 z 2 y 2 x (3 2 8 VT : có 2 z 2 y 2 x zx yz xy 4 và zx yz xy 2 z 2 y 2 x 3 ng d số cho Côsi T BĐ dụng áp nê d ong z y, x, do ) 2 z 2 y 2 x zx yz xy 4 zx yz xy 2 z 2 y 2 x (3 8 2 z 2 y 2 x zx yz xy 4 2 6 zx yz xy 2 z 2 y 2 x 3 2 z 2 y 2 x zx) yz 2(xy 2 z 2 y 2 x 2 zx yz xy zx) yz 2(xy 2 z 2 y 2 x 3 2 z 2 y 2 x 2 z) y (x 2 zx yz xy 2 z) y (x 3 2 z 2 y 2 x 2 zx yz xy 3 VT o z y x vi 1 ) ( Câu 3: (4điểm) a) (2điểm ) Thay m = 6 2 vào phơng trình (1) có: x2 – 2( 6 2 -2)x + 3 2 + 6 4 – 3 = 0
<=>3 2 x 2 2(2 3 6 2 )x 2 2 4 3 9 2 0 Có: / 7-2 6 ( 6 1 ) 2>0 phơng trình có 2 nghiệm phân biệt: 0
4 11 2 2 2 2 4 2 2 2 y m m y y m y 6 6 3 8 x 6 6 4 x 2 1 b) (2điểm) Phơng trình: x2 – 2(m-2)x + m2 + 2m – 3 = 0 (m là tham số) (1)
là phơng trình bậc 2 có: / (m-2)2- (m2+2m-3) = - 6m+7 Phơng trình có nghiệm <=> / 0 <=> -6m+7 0 <=> m 6 7 Phơng trình : 0 4 11 2 2 2 2 4 2 2 2 y m m y y m y (2)
(điều kiện xác định: y 2 và y 2) Phơng trình (2) <=> y2-2(m-2)y+m2+2m-3= 0 (*)
Phơng trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (*) có nghiệm thoả mãn điều kiện y 2 và y 2
Phơng trình (*) là phơng trình bậc 2 có cùng hệ số a,b,c với phơng trình (1) nên
ph-ơng trình (*)có nghiệm khi m
6 7
(3) Nghiệm y của (*) thoả mãn ĐK
Trang 32 y
và
2
y <=>
m 2 <=>
7
m
1
m
(4)
Kết hợp (3) và (4) ta có : phơng trình (2) có nghiệm <=>
6 m
7 m
1 m
Câu 4: (4điểm)
a)(2điểm )Chứng minh: CD song song với AB
Do (O) và (E) tiếp xúc nên E,O,M thẳng hàng
Mà các tam giác MED và MOB cân ở E và O
góc MDE= góc MBO
(cùng bằng góc OMD)
Ta thấy góc MDE và góc MBO là 2 góc đồng vị
của 2 đờng thẳng CD và AB với MB là cát tuyến
nên CD song song với AB K
b) (2điểm)
Chứng minh MN là phân giác của góc AMB (1đ)
Do AB tiếp xúc với (E) tại N nên EN vuông góc với AB
=>C EˆN N EˆD=900 => cung CN bằng cung ND => C MˆN N MˆB=> MN là phân giác góc AMB
*) Chứng minh khi M di động trên nửa đờng tròn (O) thì MN luôn đi qua 1 điểm cố
định (1đ)
Gọi MN cắt đờng tròn (O) tại điểm thứ 2 là K (khác M)
Có 2 góc AMN và BMN bằng nhau (chứng minh trên) mà chúng là góc nội tiếp của
đờng tròn (O) nên các cung AK và BK bằng nhau => K là điểm chính giữa của cung AKB cố định của đờng tròn (O) cố định nên K là điểm cố định
Vậy khi M di động trên nửa đờng tròn (O) thì MN luôn đi qua điểm cố định là điểm chính giữa cung AB còn lại của (O)
Câu 5 (4 điểm)
ABC : AB = BC = CA ; (0) nh hình vẽ
a(2 điểm )
So sánh: AH.AJ và AG.AF
Xét AGH và AJF có tứ giác GHJF nội tiếp
=> H GˆF H JˆF 180 0 màH GˆF H GˆA 180 0 (kề bù)
nên H GˆAA JˆF (1đ)
Lại có góc A chung
nên AGH và AJF đồng dạng (g,g)(0,5 đ)
=>
AF
AH AJ
AG
=> AG.AF = AH.AJ (0,5 đ)
b) Tính DE = ? (2điểm)
Gọi DE = x cm, BD = a cm, CE = b cm ta có: x+a+b = 16 (1) (0,5đ) Theo câu a có:
AG.AF = AH.AJ => AH(AH+HJ) = 30 AH2+7AH-30 = 0
<=> AH = 3(cm) => BJ = 6 cm
Tơng tự câu a có : CE.CD = CF.CG => b(b+x) =14 <=> b2+bx = 14 (2) (0,5đ) và: a2 + ax = 78 (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ PT:
) 3 ( 78
) 2 ( 14
) 1 ( 16
2
ax a
bx b
b a
x
(0,5đ) trừ vế PT (2) và (3) đợc PT (b-a)(a+b+x) = -64 (4)
Thay (1) vào (4) đợc b-a=-4 =>b=a-4,
thay b = a - 4 vào (1) có a = 10 - 0,5x,
A
M
D
A
B C
D E
H
J G
F
Trang 4thay a = 10 - 0,5x vµo (3) cã: (10 - 0,5x)2 + (10 - 0,5x)x = 78
<=> x2 = 88 <=> x = 2 22cm (0,5®)