BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN I... Tính giá trị các biểu thức sa với giả thiết chúng có nghĩa 2 ... DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta
Trang 1BÀI TẬP VỀ LŨY THỪA DẠNG : RÚT GỌN
I LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN Bài 1: Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1
1
3
: 2
y x y
x x y xy y
( đáp số : D=1 )
b
2
B
Giải
a/
1 1
2
1
2
2
x x y xy y
3 13 1
x y x y
b/
2
9
Bài 2 Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
1 -1
1
ax 4
a x a x
B xa
a x a x
Giải
4
A
1 -1
2
ax
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỶ Bài 1 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau
2
1 1
2 2
1 2 a b :
b a
a a b b
Trang 2Giải
2 2
2
2 2
2
b a
2
a a b b
Bài 2 Cho a,b là các số dương Rút gọn biểu thức sau :
3 a 3b a3 b3 3 ab
1 1
3 3 : 2 3 a 3 b
Giải
a b a b ab a b a a b b a b a b
b/
: 2
2
a b a b a b a b
a b
b a
Bài 3.Đơn giản các biểu thức sau ( với giả thiết chúng có nghĩa )
a
3
2
1 1
3 2
4 4
b
2 2 2
4 4 4 2
a B
a a
a
Giải
a/
2
3
b a a b
2
2
4
a a
B
a a
Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sa ( với giả thiết chúng có nghĩa )
2
Trang 3b
5 3
3
5 2
10 5
2 27
3 32 2 3
2 3
y
y
Với y = 1,2
Giải
1
3,92 x 3,92 4 x 0, 08 2 4 x 0,16
5 3
1
3 3
1 1 5
2
1 1 5
5 2
2 3
y y
y
y
2 2 3y 3 y 3.2 y 2 3 y y
2
1, 44
y
Bài 5 Rút gọn biểu thức sau :
a
2
3 3
3
8
1 2
a
ĐS: A=0
b
6
B
a b a a b b
Giải
3
3
8 8
a a b
a
0 8
b/
2
a b a b
B
a b a a b b b a b a b a
2
2 2
3 3
2
b a
Trang 4Bài 6 Rút gọn biểu thức sau
a
1
A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
( đáp số : A= 15/2 )
1 2
4
B
Giải
a/
1
2
3 5 2 5 2 3 3 5 15 A= 3 5 : 2 : 16 : 5 2 3
b/
4
3
B
Bài 7 Rút gọn biểu thức sau :
a
1 1
1
1 1
2 2
4 4
:
b
1 1
2 2
a b a b
a b
Giải
a/
1
a
b/
Bài 8 a Rút gọn các biểu thức sau :
1
2
C
x a
(đáp số C=1)
Trang 5b Chứng minh : 3
Giải
2
1 1 1
2 2 2
ax
x a x x a a
x a
2
1 1
2 2
2
1 1
2 2
1
x a
x a
2 3 4 2 2 3 2 4 2 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 3 4 2 3 2 4 2
a a b b a b a b a a b b a b a a b a b b
2a b a a b b a b a b a b 2a b a b a b a b 2 a b a b
Bài 9
a Không dùng bảng số và máy tính hãy tính : 3 847 3 847
( đáp số : =3 )
b Chứng minh rằng : 8 8 4 4
8 8
1
Giải
3
3 125
27
3 2 3 2 3 2 1 VT
Bài 10 Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
5 3
a A b B a a a a :a1611 a0
c 4 2 3
0
C x x x d D 5 b 3 a ab 0
a b
Giải
Trang 61 1
3 1 3
a A
b/
1
1 1
11 16
a
LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỶ Bài 1 Đơn giản các biểu thức :
a
2 1
2 1
a
a
2 4 4
:
a a a c 3
3
a d 2 1,3 3 3 2
:
a a a
Giải
a 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
a
1 1 2
2 4
a
c/ 3
2 1,3 3
2
a
Bài 2 Đơn giản các biểu thức :
a
2 2 2 3
2
1
a b
a b
2 3 2 3 3 3 3
4 3 3
1
3
1
a )
c
2 5 3 7 2 7
(đáp số :
a b ) d 1
2
4
(đáp số : a b
Giải
a/
2
3
1
a
c/
Trang 7DẠNG : SO SÁNH CÁC CẶP SỐ
Nếu hai số là hai căn không cùng chỉ số , thì ta phải đưa chúng về dạng có cùng chỉ số , sau dó so sánh hai biểu thức dưới dấu căn với nha
Nếu hai số là hai lũy thừa , thì ta phải chú ý đến cơ số , sau đó sử dụng tính chất của lũy thừa dạng bất đẳng thức
Bài 1 Hãy so sánh các cặp số sau :
d 4 5
4 4
Giải
30 20 Ta có
3
15 3 15 3 5
5 7 Ta có :
3 12
4 12
17 28 Ta có :
6 3 6
3
6 2
d/ 4 5
13 23 Ta có :
20 5 20 4
5 4
20 4
e/
Vì
4 4 ; 7 54 4
Bài 2 Hãy so sánh các cặp số sau :
a 1,7 0,8
1,7 0,8
d
5
2
5
1
7
2,5
12 1 2
2
0, 7 0, 7
Giải
2 2 ; vi:1, 7 0,8 2 2 b/
2
do
c/
Trang 8d/
0
5 0
7
do
;
2,5 6,25
f/
5 5 4 1
6 36 36 3
0 0, 7 1
do
Bài 3 Chứng minh : 20 30
2 3 2
Giải
Ta có :
20 20
20 30 30
30
Bài 4 Tìm GTLN của các hàm số sau
a y3 x x b sin 2
0,5 x
y
Giải
a/ 3 x x
y
Do vậy : y3 x x 314 43GTLNy43
b/ sin 2
0,5 x
Bài 5 Tìm GTNN của các hàm số sau “
a y 2x 2x b 1 3
2x 2 x
5 x 5c x
x x
ye
Giải
2 2
GTNNy
b/
1 3
1 3
c/
sin os sin os
sin os
x c x
1
ye e e e x
VẼ ĐỒ THỊ
Trang 9Bài 1 Hãy vẽ đồ thị của mỗi cặp hàm số sau trên cùng một hệ trục
a
1
yx y x b 5 5
yx y x c
1
yx y x
( Học sinh tự vẽ đồ thị )
Bài 2 Chứng minh hàm số sau đây là đơn điệu :
2 2
2
y
Sau đó khảo sát và vẽ đồ thị của nó ?
Giải
Giả sử :
1 2
1 2
1 2
Vậy hàm số luôn đồng biến trên R
Bài 3 Trong các hàm số sau đây , hàm số nào là đồng biến , hàm số nào là nghịch biến ?
a
3
x
y
b 2
x
y e
x
1 3
x x
y
Giải
a/
3
x
y
Do 1
x
y
Là một hàm số đồng biến b/ 2
x
y
e
Do 0 2 1 2
x
y
Là một hàm số nghịch biến
x
x
d/
3
3
x
x x
x
y
là một hàm số đồng biến ( 3 2 3 )
BÀI TẬP VỀ LÔ-GA-RÍT
I SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VỀ LOGARIT Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau :
2
1 log
5
x y
x
2
5
1 log log
3
x y
x
3 log
1
x y
x
2 0,3 3
2 log log
5
x y
x
2
1
1
x
x
2
1
6
1 log
x y
x
Giải
Trang 10a/ 1
2
1 log
5
x y
x
Điều kiện :
1 2
1
0 0
1 1
x
x
x
x x
Vậy D=1;
b/
2
5
1 log log
3
x y
x
Điều kiện :
2 3
2
1
3
3
x
x
3; 2 2;7
x
Phần còn lại học sinh tự giải
Bài 2 Tính giá trị của các biểu thức sau :
a
9
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
1
log 9 log 6 log 4
2
36 10 3
Giải
log 4 log 8 log 2 4 log 4 2log 2 2log 2
1
2 3log 2
1 log 4 3 log 4 3
4
4
1 log 3 3log 5 2 1 log 5
log 3 6log 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 4
36 16
d/36log 56 101 lg2 3log 369 6log 256 10log5 25 5 30
II SỬ DỤNG CÁC CÔNG THỨC VỀ LO-GA-RÍT Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
2 log 6 log 400 3log 45
2
6
1 log 2 log 3
2
4
log log 4.log 3
D
Trang 11a/ 3 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
2 log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
6
4
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
Bài 2 Hãy tính
a log2 2sin log2 os
c log tan 4 log cot 410 10 d D log4 1log 216 2 log 10 4 log 34 4 4
3
x
Giải
a/ log2 2sin log2 os log2 2sin os log2 sin log2 1 1
c/ C=log tan 4 log cot 410 10 log tan 4.cot 4 log1 0
d/
log log 216 2 log 10 4 log 3 log 6 log 10 log 3 log
Bài 3 Hãy tính :
2011!
b Chứng minh :
log
1 log
a
bx
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
Giải
a/
log 2 log 3 log 2011 log 1.2.3 2011
A
log 2011!x
Nếu x=2011! Thì A=log2011!2011!1
b/ Chứng minh : ax
log log log
1 log
a
bx
x
log
log ax 1 log
x
2
1
loga loga loga k 2 loga
k k
Trang 12VT= 2 1
log log log 1 2 3 log
2 log
k
a
k k
x
Bài 4 Tính :
loga
A a a a b 3 2 5
loga
B a a a a c
5 3 3 2
log
a
a a a
a a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89
e A log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16
Giải
a/
1 1 3
2 5 10
A a a a a
b/
1
1 1
2
3
c/
3 2 1
2 4
a a
a a
a
log tan1 log tan 2 log tan 3 log tan 89 log tan1 tan 89 tan 2 tan 87 tan 45 0
tan 89 cot1 tan1 tan 89 tan1 cot1 1; Tương tự suy ra kết quả
e/ log 2.log 3.log 4 log 14.log 153 4 5 15 16 log 15.log 14 log 4.log 3.log 216 15 5 4 3 log 216 1
4
Bài 5 Chứng minh rằng :
a.Nếu : 2 2 2
a b c a b c c b , thì :
logc b a logc b a 2logc b a.logc b a
b Nếu 0<N1thì điều kiện ắt có và đủ để ba số dương a,b,c tạo thành một cấp số nhân ( theo thứ tự đó ) là :
, , 1
a b c
c Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng ( theo thứ tự đó )thì :
2 log log
log log
b
x z
d Giả sử a,b là hai số dương thỏa mãn : 2 2
7
a b ab Chứng minh : ln ln ln
a b a b
Giải
2 loga loga
a c b c b c b c b c b
logc b a logc b a c b a c b a c b a c b a
b/ Nếu 3 số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân thì ta có : 2
b ac
Lấy lo ga rít cơ số N 2 vế :
Trang 131 1 1 1
( đpcm )
c/ Nếu : logx a, logy b, logz ctạo thành cấp số cộng thì logx a logz c 2logy b
2 log log
log
b
x z y
3
a b
a b ab a b ab ab
Lấy lê be 2 vế ta có :
ln ln
III SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ Bài 1 Tính
a.A log 166 Biết : log 2712 x
b B log12530 Biết : log 3 a;log 2 b c C log 1353 Biết: log 52 a;log 32 b
d D log 356 Biết : log 527 a;log 78 b;log 32 c e Tính : log 3249 Biết : log 142 a
Giải
a/ A log 166 Từ : 3
(*)
Do đó :
4
6
log 2 4 log 2 log 16
log 6 1 log 2
Thay từ (*) vào ta có : A=
2 3 2 12 4
2
log 3
C
d/ Ta có : log 527 1log 53 log 53 3 ; log 78 1log 72 log 72 3
6
log 3.log 5 log 7
log 35
b a
b a b D
e/ Ta có : log 142 a 1 log 72 a log 72 a 1
Vậy :
5 2
log 32
log 7 2 log 7 2 a 1
Bài 2 Rút gọn các biểu thức
a Aloga blogb a2 log a blogab blogb a1
b 2 log log 2 1 2 4
1
2
c C loga p logp a 2 log a p logap p loga p
Giải
2
b
Trang 142 2 2
a
b
b
a
2 2 2
1 3log x log x 8 log x 9 log x 3log x 1
log 1 log
log 1 log
Bài 3 Trong mỗi trường hợp sau , hãy tính loga x , biết loga b 3;loga c 2:
a 3 2
4 3 3
x c
2 4 2 4 3
a bc x
ab c
Giải
2
c
c/ Ta có :
2 4 2 4 3
a bc
ab c
Bài 4 Chứng minh
2
a b a b ab
b Cho a,b,c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
loga b loga c
c b ; loga b.logb c.logc a 1
loga ;logb ;logc
b c a luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
Giải
a b a b aba ab b ab a b ab
2
b/ Chứng minh : 2 2
loga b loga c
c b
* Thật vậy :
log b log c log c log b log c log c
Trang 15* loga b.logb c.logc a 1 loga b.logb a loga a 1
* Từ 2 kết quả trên ta có :
2
loga logb logc loga logb logc 1
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn
hơn 1
IV BÀI TẬP VỀ SO SÁNH
Nếu so sánh hai loga rít có cùng cơ số thì ta chú ý đến cơ số trong hai trường hợp (0;1)
và lớn hơn một để so sánh hai biểu thức bị lo ga rít hóa với nhau
Trong trường hợp hai lo ga rít khác cơ sô , khác biểu thức bị lo ga rít hóa thì ta chọn một số b nào đó Sau đó ta so sánh hai lo ga rít với số b Từ đó suy ra kết quả
Ví dụ 1: so sánh hai số : log 43 log41
3
Ta có :
log 4 log 3 1;log log 4 1 log 4 log
Ví dụ 2 So sánh : log 1,1 6 log 0,99 6
3 7 Ta có :
log 1,1 log 1 log 0,99 log 1 log 1,1 log 0,99
Bài 1 Không dùng bảng số và máy tính Hãy so sánh :
a log0,4 2log0,20,34 b 5 3
log log
1 log log 3 2
2 3 d log 23 log 32
e log 32 log 113 f
2 1 2
2log 5 log 9
5 log 3 log 11
h
9
8
log 2 log
9
1 log 2 log 5 2
3
1
18 6
Giải
a/ log0,4 2log0,20,34 Ta có : 0,4 0,4 0,2 0,4
2 1 log 2 log 1 0
log 0,3 log 2 0,3 1 log 0,3 log 1 0
4 5 Ta có :
log log
1 log
log 3 2
2 3 Ta có :
5
5
log 3 log 1 0
1
2
1 log 3 log
2
d/ log 23 log 32 Ta có : 3 3 3 3 2 3
log 1 log 2 log 3 0 log 2 1
log 3 log 2 log 2 log 3 log 4 1 log 3 2
e/ log 32 log 113 Ta có : 2 3 2
1 log 3 2
log 11 log 3 log 11 log 9 2
Trang 16f/
2 1
2
2log 5 log 9
Ta có :
2 1
2 2
25 2log 5 log 9 log
9
2
2 log 5 log 9 log 25 log 9 log 2 2
2
g/ 2 4
5
log 3 log
11
9 11 5
log 3 log 2log 3 log
5 11
5 5
5 log 3 log 11
81.11 891 90
h/
9
8
log 2 log
9
Ta có :
3 3
9
2log 2 log
8
k/
1
log 2 log 5
2
3
1
18 6
Ta có :
6
1
2 log 2 log 5 log 10 log
3
Bài 2 Hãy so sánh :
a log 102 log 305 b log 53 log 47 c 3 1
2 lne 8 ln
e
Giải
a/ log 102 log 305 Ta có : 2 2 2 5
log 10 log 8 3
log 10 log 30 log 30 log 36 3
b/ log 53 log 47 Ta có : 3 3 3 7
log 5 log 3 1
log 5 log 4 log 4 log 7 1
2 lne 8 ln
e
Ta có :
3
3
2 ln 2.3 6
1
8 ln 2 ln 1
8 ln 8 1 9
e
e e
e
Bài 3 Hãy chứng minh :
2
1
2
b log 7 5 log 4 5
4 7 c log 7 log 33 7 2
d log 5 2 log 3 2
3 5 e 1 log 3 log19 log 2
2 f log5 7 log 5 log 7
Giải
2
1
2
2
Trang 17Nhưng : 3 3 3
b/ log 7 5 log 4 5
4 7 Ta có : 5
log 7 log 4 log 7.log 4 log 4
4 7 7 7 Vậy 2 số này bằng nhau c/ log 7 log 33 7 2 Ta có : 3 3 7 3
3
1 log 7 0 log 7 log 3 log 7 2
log 7
d/ log 5 2 log 3 2
3 5 Ta có : 2
log 5 log 3 log 5.log 3
e/ 1 log 3 log19 log 2
1 log 3 log 10 log 3 log 3 10 log 900 2
log19 log 2 log log
361 1 log 900 log log 3 log19 log 2
f/ log5 7 log 5 log 7
Ta có : 5 7 5 7 log5 7 log 5 7 log 5 log 7
Bài 4 Hãy so sánh :
a log36 log35
log elog d
Giải
a/Ta có :
log log
6 5
log log
5 6
3 1
log 9log 17 Ta có : 1 1
1
log 9 log 17 3
9 17
log elog Ta có : 1 1
1
e
HÀM SỐ LO-GA-RÍT
I ĐẠO HÀM : Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau :
s inx-cosx x
y e c
e e y
e e
x
Giải
Trang 18a/ 2 2 2
y x x e y x e x x e x e
s inx-cosx x ' cosx+sinx x 2 s inx-cosx x 3sin osx x
4 '
e e e e e e e e
e e
2
2
1
x
x
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
ln
y x
d log2 4
4
x
y
x
2 3
9 log
5
x y
x
1 log 2
x y
x
Giải
2 1
1 ln 2
x
x x
3
x x x
d/
2
x x x
ln10
II GIỚI HẠN Bài 1 Tìm các giới hạn sau :
0
ln 3 1 ln 2 1
lim
x
x
0
ln 3 1 lim
sin 2
x
x x
0
ln 4 1 lim
x
x x
d
5 3 3
0
lim
2
x
x
x
e
0
1 lim
1 1
x x
e x
3
0
ln 1 lim
2
x
x x
Giải
Trang 19b/
ln 3 1 3
sin 2
2 2
x x
x x
x x
4
5
3
x x
e
e
1 1
x x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau
0
ln 2 1
lim
tan
x
x
x
b
0
lim 5
x
e e x
c
3 0
1 lim
x x
e x
d
1
lim x
sin 3 lim
x
x x
0
1 os5 lim
x
x
Giải
ln 2 1 2
tan tan
x x
x
x
5
2
c/
3
d/
1
1
1
x
e
xe x x e
x
e/
sin 3 sin 3
3
2
2 2
5 2sin
2
4 5
25 2
x
c x
Bài 3 Tìm các giới hạn sau :
0
osx os3
lim
sin
x
x
b
2
1 lim t anx os
x c x
lim 2 sin
x
d
4
2 2 cos lim
sin
4
x
x x
Giải
2sin 2 sin
b/
2
1
lim t anx
os
x c x
cos 2
c
t
Trang 20
2sin
2 tan
2sin os
t
t t
c
0 2
tan
2
t x
t
t
lim 2 sin
x
Đặt :
d/
4
2 2 cos
lim
sin
4
x
x x
2 2 cos
2 1 ost+sint
4
sin
4
c x
t x
t
Vậy :
4
2 2 cos
2 sin
4
t o x
x