HƯỚNG dẫn học SINH KHÁ, GIỎI lớp 6 CÁCH học một số DẠNG bài tập về số NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNHTRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 6 CÁCH HỌC MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH

TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 6 CÁCH HỌC MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ NGUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH

TRƯỜNG THCS LÊ ĐÌNH KIÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 6

SKKN thuộc môn: Toán

2.1 Cở sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

3

7 2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh

nghiệm

3-4

8 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4-17

9 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 17-18

1 MỞ ĐẦU

Trong việc nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông, việcđổi mới phương pháp dạy học là vô cùng quan trọng Sự phát triển của xã hội đòi hỏi

ở người thầy ngày càng cao hơn, chất lượng của dạy và học phải có nhiều tiến bộhơn Đặc biệt đối với môn toán là môn học cơ bản, rất sáng tạo và hấp dẫn đòi hỏihọc sinh phải rất chủ động và tích cực trong việc tìm tòi các phần kiến thức mới dưới

sự định hướng và tổ chức dạy học của các thầy cô Chính vì vậy trong quá trình dạyhọc mà đặc biệt là cho đối tượng học sinh khá, giỏi tôi đã cố gắng dạy cho học sinhcách định hướng phương pháp giải cho các dạng bài, đồng thới khai thác mở rộng bàitập trên nhiều hướng khác nhau giúp các em phát triển tư duy sáng tạo, có cách nhìn

đa chiều về một bài toán, về vận dụng các nội dung lí thuyết Các em có thể tìm thấyđược mối liên hệ giữa những kiến thức mà mình có với những bài tập có vẻ xa lạ màcác em sẽ gặp Đối với học sinh lớp 6 các bài tập trong chương II số nguyên là mớihoàn toàn so với kiến thức tiểu học nên rất khó, trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6cũng như làm nền tảng cho các chuyên đề nâng cao ở lớp trên thì đây lại là phần kiếnthức cực kì quan trọng, bắt đầu phần mở rộng tập hợp số nhằm phát triển tư duy, hìnhthành phương pháp học cho học sinh giúp các em có cách nhìn phát triển mở rộng đốivới tập hợp số Cũng đã có một số tài liệu đề cập đến một số dạng này nhưng chưasâu, chưa có tính hệ thống, logic và toàn diện, chưa khai thác được nhiều điểm khó

mà học sinh hay nhầm lẫn và rất khó tư duy Vì thế tôi đã nghiên cứu chọn lọc và đưa

ra một số dạng bài tập, ví dụ có tính tiêu biểu, giúp học sinh có định hướng và dễ tiếpcận với dạng toán này

1.2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp kiến thức và phương pháp tự học cho học sinh khi học bộ môn toánnói chung và toán lớp 6 nói riêng Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động của họcsinh, khơi dậy tính sáng tạo và đam mê giải toán của học sinh Phát triển năng lực tựhọc, biết liên kết và mở rộng các bài toán từ đó giúp các em hình thành phương phápgiải Giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng bài tập sử dụng kiến thức lí thuyết chương II số nguyên lớp 6.1.4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT toán 6, tài liệu có liên quan Nghiêncứu qua việc làm bài tập của học sinh trong các tiết giảng dạy trên lớp, các bài kiểm tracủa học sinh

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.Cở sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

Đặc điểm của lứa tuổi THCS là muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong

quá trình nhận thức Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng thamgia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành mộtcách khoa học và nghệ thuật của thầy cô giáo Hình thành tính tích cực, tự giác, chủđộng và đồng thời phát triển năng lực tự học của học là một quá trình lâu dài, kiênnhẩn và phải có phương pháp Tính tích cực, tự giác, chủ động và năng lực tự học củahọc sinh được thể hiện một số mặt như:

Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tưtưởng rập khuôn, máy móc Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau,nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh Tính chủ động của học sinh còn thể hiện ởchổ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề, có khả năng khai thác một vấn đề mới

từ những vấn đề đã biết

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Qua nhiều năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và tham khảo học hỏi cácđồng nghiệp trong và ngoài nhà trường tôi nhận ra rằng:

*) Về phía học sinh:

Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư duy làm mất đitính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân Các em ít được cũng cố, khắc sâu kiếnthức, rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhânkhông được phát huy hết Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phươngpháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả họctập chưa cao Nhiều học sinh hài lòng với lời giải của mình, mà không tìm lời giảikhác, không khai thác phát triển bài toán, sáng tạo bài toán nên không phát huy hếttính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

*) Về phía giáo viên:

Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển,sáng tạo bài toán trong các các giờ luyện tập, tự chọn Chưa cụ thể hóa một cách sâusắc các nội dung lí thuyết, khai thác các khía cạnh của lí thuyết vào trong bài tập Việcchuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bàitoán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức, quan trọng hơn là nâng cao được tưduy cho các em làm cho các em có hứng thú hơn khi học toán

Qua kết quả khảo sát, kiểm tra trước khi áp dụng đề tài trong nhiều nămtại trường THCS Lê Đình Kiên và một số trường trong huyện đều cho thấy điều đó, cụthể trong năm học 2016-2017 với 43 học sinh khá, giỏi lớp 6 trường THCS Lê ĐìnhKiên tôi thấy kết quả như sau:

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến

dưới 7

Điểm từ 7 đếndưới 9

Điểm từ 9 đếndưới 10

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:

Trước tình hình thực tế như trên, tôi đã nghiên cứu tài liệu cùng với kinhnghiệm giảng dạy của mình hệ thống lại một số bài tập ví dụ nhằm giúp học sinh cóđịnh hướng tốt đồng thời tiếp cận dễ dàng với loại bài tập này Do thời gian chính khóa

có hạn nên tôi đã hướng dẫn học sinh học chuyên đề này vào các buổi học phụ đạo, bồidưỡng với cách thức nêu ra các ví dụ cụ thể, yêu cầu học sinh thảo luận tìm lời giải,gợi ý sau đó nêu lời giải và rút ra các bài toán tổng quát, nhận xét cho từng ví dụ

dụng quy tắc dấu ngoặc và thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức.

được số các số hạng nằm trong quy luật đó để chia nhóm và thực hiện trong ví dụ này học sinh cần tách riêng số -2017 với phần còn lại.

2.3.2 Dạng toán tìm số nguyên chưa biết.

Nhận xét: Bài toán này học sinh cần nắm rõ: hai số bằng nhau hoặc đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau, có bình phương bằng nhau Hai số có giá trị tuyệt đối bằng nhau khi chúng bằng nhau hoặc đối nhau, hai lũy thừa bằng nhau và có cùng

số mũ thì cơ số bằng nhau Giá trị tuyệt đối của số nguyên luôn không âm và dấu của tích các số nguyên, cần nắm rõ về “quy tắc dấu ngoặc” và “quy tắc chuyển vế” cũng như các tính chất của phép cộng và phép nhân số nguyên.

Ta luôn có 5x− ≥ ∀2 0, x Theo đề ra | 5x – 2| ≤ 0 suy ra

Ví dụ 3: Tìm x, y ∈ Z biết:

a x− y+ = )b xy− −5y 2x= −41

Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về quan hệ ước số và bội

số của số nguyên, cũng như quan hệ chia hết trong tập số nguyên: A.B = m thì m chia hết cho A và B hay A và B là ước của m.

Hướng dẫn

a) Vì x, y là số nguyên, (x−3 2) ( y+ =1 10) nên x-3 và 2y+1∈Ư(10)=

{± ± ± ±1; 2; 5; 10} Mặt khác 2y+1 không chia hết cho 2 nên ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 2y+1=1 và x-3=10 suy ra y=0 và x=13

Trường hợp 2: 2y+1=-1 và x-3=-10 suy ra y=-1 và x=-7

Trường hợp 3: 2y+1=5 và x-3=2 suy ra y=2 và x=5

Trường hợp 4: 2y+1=-5 và x-3=-2 suy ra y=-3 và x=1

Vậy y=0 và x=13; y=-1 và x=-7; y=2 và x=5; y=-3 và x=1

b) Ta có xy− −5y 2x= − ⇒ −41 (x 5) y=2x−41 ( )1

Với x, y là số nguyên, (x−5) y=2x−41

Suy ra 2x−41Mx− ⇒5 (2x−10)−31Mx− ⇒5 31Mx−5

⇒x-5∈Ư(31) = {± ±1; 31} .

-Với x-5=1 ⇒x=6 thay vào (1) ta được y=-29.

-Với x-5=-1 ⇒x=4 thay vào (1) ta được y=33.

-Với x-5=31 ⇒x=36 thay vào (1) ta được y=1.

-Với x-5=-31 ⇒x=-26 thay vào (1) ta được y=3.

Vậy x=6 và y=-29; x=4 và y=33; x=36 và y=1; x=-26 và y=3

2.3.3 Dạng toán về quan hệ chia hết

Nhận xét: Để làm tốt loại bài tập này học sinh cần nắm rõ về tính chất chia hết:

- Nếu A B m+ M và B m M thì A m M Ngược lại A m M và B m M thì A B m+ M

- Nếu A BM ⇒mA B M Điều ngược lại chưa chắc đã đúng nên khi sử dụng tính chất này cần lưu ý thử lại các giá trị tìm được xem có thỏa mãn hay không rồi mới kết luận.

- Học sinh cần chú ý cách tách các số hạng cũng như nhân thêm với một số khác 0, dùng các tính chất đưa bài toán về điều kiện một biểu thức có giá trị nguyên là ước của một hằng số.

Ví dụ 1: Tìm số nguyên n sao cho:

) 9 2 2 3

a − n nM − b) 2n2+11 3Mn+1

Hướng dẫn

a) Ta có9 2 2− n nM − ⇒ − −3 (9 3) (2n−3 2)Mn− ⇒3 6 2Mn−3 (vì 2n−3 2Mn−3)Suy ra 2n-3 ∈Ư(6) = {± ± ± ±1; 2; 3; 6} Mặt khác 2n-3 không chia hết cho 2 nên ta cócác trường hợp sau:

+) 2n− = ⇒ =3 1 n 2 +) 2n− = − ⇒ =3 1 n 1

+) 2n− = ⇒ =3 3 n 3 +) 2n− = − ⇒ =3 3 n 0

Vậy n∈{0;1;2;3}

b) 2n2+11 3Mn+ ⇒1 6n2+33 3Mn+ ⇒1 (6n2+2n)+(33 2− n)M3n+ ⇒ −1 33 2 3n nM +1 (vì 6n2+2 3n nM +1)

33 2 3− n nM + ⇒ −1 99 6 3n nM + ⇒1 (99 2+ −) (6n+2 3)Mn+ ⇒1 101 3Mn+1

(vì 6n+2 3Mn+1) Suy ra 3n+1∈Ư(101) = {± ±1; 101}

+) 3n+ = ⇒ =1 1 n 0 +) 3n+ = − ⇒ = −1 1 n 2:3(loại vì n Z∉ ) +) 3n+ = −1 101⇒ = −n 34 +) 3n+ =1 101⇒ =n 100:3(loại vì n Z∉ )Thử lại với n=0, n= −34 đều thỏa mãn 2n2+11 3Mn+1 Vậy n∈ −{0; 34} .

Ví dụ 2: Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n – 2 là bội của 11

Vì n+2 là ước của 111 suy ra n+ ∈2 {± ± ± 1; 3; 37; 111 ± }

Mà n là số nguyên dương nên n+ ∈2 {3;37;111} .

- Nếu n+ = ⇒ =2 3 n 1 suy ra n− = − = −2 1 2 1 11M (loại)/

ước số - bội số trong tập số nguyên đó là nếu a là ước của b thì –a cũng là ước của b,

a là bội của b thì –a cũng là bội của b.

2 Tìm n ∈ Z sao cho n – 1 là bội của n – 5 và n + 5 là bội của n + 1

3.Tìm tất cả các số nguyên a, b sao cho tổng 2 số bằng tích 2 số đó

2.3.4 Dạng toán chứng minh

Ví dụ 1: Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399

a) Chứng minh rằng S là bội của – 20

b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1

Nhận xét: Đối với dạng bài tập này ta phải hướng dẫn cho học sinh kiểm tra số số hạng của tổng đó, sau đó chia đều các số hạng vào vừa đủ các nhóm sao cho trong mỗi nhóm đều chia hết cho số đã cho từ đó tổng sẽ chia hết cho số đó Còn với cách tính tổng dạng này cần nhân thêm 2 vế với cùng 1 lũy thừa có cùng cơ số với cơ số các lũy thừa trong tổng, số mũ bằng với khoảng cách giữu các số mũ trong tổng rồi cộng

hoặc trừ tổng mới với tổng ban đầu để làm triệt tiêu các lũy thừa bằng nhau từ đó tính

Vì tổng S là số nguyên nên 1 3− 100M4⇒3100: 4 dư 1 Vậy 1003 : 4 dư 1

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với 2 số nguyên a, b khác 0 và a là bội của b; b là bội của athì a = b hoặc a = -b

Nhận xét: Học sinh cần biết biểu diễn về quan hệ ước số và bội số của số nguyên: Nếu

a là bội của b thì a = m.b với m là số nguyên.

Hướng dẫn

Vì a là bội của b suy ra a m b= ( )1 với m là số nguyên khác 0.

Vì b là bội của a suy ra b n a= ( )2 với n là số nguyên khác 0.

Từ (1) và (2) suy ra .a b m= .n.a.b⇒m n. = ⇒ = =1 m n 1 hoặc m n= = −1

a) Chứng minh rằng S là bội của 300

b) Tính S, từ đó suy ra 7100 chia cho 8 dư 1

Nhận xét: Học sinh cần nắm rõ về tính chất của giá trị tuyệt đối, bình phương của một

số nguyên: A ≥0; − ≤A 0; A2≥0; −A2≤0 với mọi giá trị của A, tổng các số không

âm là một số không âm.

c) D = 3(3x – 12)2 – 37 d) D = -21 – 3 ( 2 )2

2x+10 − x −25

2.3.6 Dạng toán xét dấu của tích các số nguyên:

Ví dụ 1: ChoA=(5m2 − 8m2 − 9m2) (− +n3 4n3) Với giá trị nào của m và n thì A ≥ 0

Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về dấu của các lũy thừa cũng như tích các số nguyên: x2n≥0, x2 1n+ ≤ ⇔ ≤0 x 0, ∀ ∈x Z .

Học sinh cần nắm rõ khi có số chẵn các thừa số cùng dấu trong tích thì tích của chúng

Vậy a là số âm, b là số dương

Ví dụ 3: Trong 3 số nguyên x, y, z có một số dương, một số âm và một số bằng 0 Em

hãy chỉ ra mỗi số đó biết: x =y2.(y z− )

Nhận xét: Để làm được bài tâp này học sinh cần nắm rõ về tính chất của giá trị tuyệt đối cũng như bình phương của một số nguyên: x ≥0, ∀ ∈x Z x2n≥0, ∀ ∈x Z

Hướng dẫn

Từ đề ra cho thấy ta có thể giải bằng phương án loại trừ Ta có x =y2.(y z− ) ( )1

- Nếu x=0 từ (1) suy ra y=0 hoặc y z= trái giả thiết.

- Nếu y=0 từ (1) suy ra x=0 trái giả thiết

Suy ra z=0 thay vào (1) ta được x =y3

Vì y3= ≥ ∀ ⇒x 0, x ylà số nguyên dương, suy ra x là số nguyên âm

Vậy x là số nguyên âm, y là số nguyên dương, z=0

Ví dụ 4: Cho 2017 số nguyên trong đó 7 số bất kì luôn có tích âm Hỏi tích của 2017

số đó là âm hay dương? Mỗi số nguyên đó là âm hay dương?

Nhận xét: Để làm được bài tập này học sinh cần nắm rõ về dấu của tích các số nguyên đó là tích các số nguyên là một số nguyên âm thì trong tích phải có số lẻ các

số nguyên âm.

Hướng dẫn

Ta thấy 2017 chia 7 thương là 288 dư 1 Vì 7 sè bất kì luôn có tích âm nên tachọn ra 1 số âm trong 2017 số đã cho gọi là x0, còn lại 2016 số chia thành 288 nhóm,mỗi nhóm có 7 số

Do mỗi nhóm có tích 7 số là 1 số âm nên 288 nhóm cho ta tích là 1 số dươngnhân với x0 là số âm ta được kết quả là số âm Suy ra tích của 2017 số đã cho là số âm

Ta chứng minh 2017 số đã cho đều là số âm:

Thật vậy, xét 1 nhóm 7 số bất kì có tích là số âm nên ta có các trường hợp sau:

- Nhóm có 1 số âm và 6 số dương, ta chọn 1 số âm và 5 số dương trong nhómnày cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giảthiết)

- Nhóm có 3 số âm và 4 số dương, ta chọn 3 số âm và 3 số dương trong nhómnày cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giảthiết)

- Nhóm có 5 số âm và 2 số dương, ta chọn 5 số âm và 1 số dương trong nhómnày cùng với số âm x0 ta được nhóm mới gồm 7 số có tích lại là số dương(trái giảthiết).

Từ đó ta thấy chỉ còn khả năng cả 7 số trong nhóm bất kì đều là số âm là phùhợp

Vậy 2017 số nguyên đó đều là số nguyên âm

Bài tập tương tự

1 Cho 2017 số nguyên trong đó 7 số bất kì luôn có tổng âm Hỏi tổng của 2017 số

đó là âm hay dương?

2 Biết rằng a, b, c ∈Z Hỏi 3 số 3a2.b.c3; -2a3b5c; -3a5b2c2 có thể cùng âm không?

3 Cho hai tích -2a5b2 và 3a2b6 cùng dấu Tìm dấu của a?

4 Trong 3 số nguyên x, y, z có một số dương, một số âm và một số bằng 0 Em hãy

chỉ ra mỗi số đó biết:

a) y2 = |x| (z – x) b) x8 + y6z = y72.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:

Sau khi áp dụng đề tài tôi thấy rằng chất lượng qua kiểm tra đối với 43 họcsinh lần trước đã được nâng lên đáng kể, đặc biệt là đối tượng học sinh đạt điểm khágiỏi đã tăng lên khá nhiều

Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến

dưới 7

Điểm từ 7 đếndưới 9

Điểm từ 9 đếndưới 10

Tôi đã trao đổi với đồng nghiệp cùng bộ môn ở trường THCS Lê Đình Kiên

để đưa sáng kiến này vào dạy cho học sinh qua các năm thì thấy các em đều nắm rấttốt các nội dung , phát triển tốt tư duy và hình thành được phương pháp giáp giải giúphọc sinh có nền tảng vững chắc cho những năm tiếp theo Trong thời gian giảng dạy

đã qua, với cách làm như vậy tôi đã gặt hái được rất nhiều thành công trong công tácbồi dưỡng học sinh giỏi các cấp, từ cấp cụm đến cấp huyện và cấp tỉnh