1,0 điểm Viết phương trình tiếp tuyến… Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ±... Diện tích tam giác IAB: 1.
Trang 1⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối A
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)
ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM
1 (1,0 điểm) Khảo sát…
• Tập xác định: \ 3
2
⎨ ⎬
⎩ ⎭
\
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
1
2 3
x
−
Hàm số nghịch biến trên: ; 3
2
⎛−∞ − ⎞
⎝ ⎠ và
3
; 2
⎛− +∞⎞
⎜ ⎟
- Cực trị: không có
0,25
- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1
2
→−∞ = →+∞ = ; tiệm cận ngang: 1
2
y=
→ −⎜ ⎟ → −⎜ ⎟
= −∞ = +∞ ; tiệm cận đứng: 3
2
- Bảng biến thiên:
0,25
• Đồ thị:
0,25
2 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến…
Tam giác OAB vuông cân tại O, suy ra hệ số góc tiếp tuyến bằng ± 1 0,25
Gọi toạ độ tiếp điểm là ( ; )x y , ta có: 0 0 2
0
1
1 (2x 3)
−
= ± + ⇔ x0= − hoặc 2 x0 = −1 0,25
• x0= −1, y0=1; phương trình tiếp tuyến y= − (loại) x 0,25
I
(2,0 điểm)
• x0= −2, y0=0; phương trình tiếp tuyến y= − − (thoả mãn) x 2
Vậy, tiếp tuyến cần tìm: y= − −x 2
x −∞ 3
2
− +∞
y' − −
y
1 2
−∞
+∞
1 2
y
x O
1 2
y=
3 2
x= −
0,25
Trang 21 (1,0 điểm) Giải phương trình…
Điều kiện: sinx≠ và 1 sin 1
2
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương: (1 2sin )cos− x x= 3(1 2sin )(1 sin )+ x − x
⇔ cosx− 3 sinx=sin 2x+ 3 cos 2x ⇔ cos cos 2
⎛ + ⎞= ⎛ −
⎞
⎟
⎠
0,25
2
x= +π k π
x= −π +k π
0,25
Kết hợp (*), ta được nghiệm: 2 ( )
x= −π +k π k∈]
0,25
2 (1,0 điểm) Giải phương trình…
Đặt u=33x− và 2 v= 6 5 ,− x v≥ (*) Ta có hệ: 0 2 3 3 28
+ =
⎧
⎨
8
⇔
8 2 3
u v
−
⎧ =
⎪
⎨
⎩
⇔
2
8 2 3 ( 2)(15 26 20) 0
u v
−
⎧ =
⎪
⎨
⎩
0,25
II
(2,0 điểm)
Tính tích phân…
III
Đặt t sin ,x cos ;
(1,0 điểm)
2
1
0,50
2 2
π
15 4
I = −I I = −π 0,25
Tính thể tích khối chóp
(SIB) (⊥ ABCD) và (SIC) (⊥ ABCD ;) suy ra SI⊥(ABCD)
Kẻ IK ⊥BC (K BC∈ ) ⇒ BC⊥(SIK) ⇒ nSKI = 60 D
0,50
Diện tích hình thang ABCD : S ABCD =3 a2
Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng
2 3
; 2
a
suy ra
2 3 2
IBC
a
IV
(1,0 điểm)
5
5
IBC
IK BC
Δ
S
5
a
Thể tích khối chóp S ABCD :
3
a SI
0,25
I
C
Trang 3Chứng minh bất đẳng thức…
Đặt a x y b x z= + , = + và c y z= +
Điều kiện (x x y z+ + =) 3yz trở thành: c2=a2+b2−ab
a +b + abc≤ c a b c, ,
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
3 3 3 5 ; 3 dương thoả mãn điều kiện trên
0,25
4
4 a b+ ⇒ a b+ ≤2c(1) 0,25
a +b + abc≤ c a b a+ ( +b −ab) 3+ abc≤5c3
⇔ ( ) 2 2
⇔ (a b c+ ) 2+3abc≤5c3
⇔ (a b c+ ) +3ab≤5c2
0,25
V
(1,0 điểm)
(1) cho ta: (a b c+ ) ≤2c2 và 3 2 2
) 3 ; 4
3 ( từ đây suy ra điều phải chứng minh
1 (1,0 điểm) Viết phương trình AB
Gọi N đối xứng với M qua suy ra I, N(11; 1− và N thuộc đường thẳng ) CD 0,25
VI.a
(2,0 điểm)
E∈ Δ ⇒ E x( ;5−x); IEJJG=(x−6;3−x) và JJJGNE=(x−11;6−x)
E là trung điểm CD ⇒ IE⊥EN
IE EN=
JJG JJJG
⇔ (x−6)(x−11) (3+ −x)(6−x) 0= ⇔ x= hoặc 6 7
x=
0,25
• x=6 ⇒ IEJJG=(0; 3 ;− ) phương trình AB y: − = 5 0 0,25
• x=7 ⇒ IEJJG=(1; 4 ;− ) phương trình AB x: −4y+19 0.= 0,25
2 (1,0 điểm) Chứng minh ( )P cắt ( ),S xác định toạ độ tâm và tính bán kính…
( )S có tâm I(1;2;3), bán kính R= 5
Khoảng cách từ đến I ( ) :P d I P( ,( ))= 2 4 3 4 3
− − −
= < suy ra đpcm 0,25
Gọi H và lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến, r
H là hình chiếu vuông góc của trên I ( ) :P IH d I P= ( ,( ))=3, r= R2−IH2 = 4 0,25
Toạ độ H=( ; ; )x y z thoả mãn:
1 2
2 2 3
= +
⎧
⎪ = −
⎪
⎨ = −
⎪
⎪ − − − = .
⎩
0,25
Tính giá trị của biểu thức…
2
36 36 ,i
VII.a
(1,0 điểm)
1
| |z = −( 1) +3 = 10 và 2 2
2
A
I
C
Trang 42 2
| | | | 20
1 (1,0 điểm) Tìm m
Diện tích tam giác IAB: 1 sinn
2
1;
2R = lớn nhất khi và chỉ khi S IA IB⊥ 0,25
Khi đó, khoảng cách từ đến I Δ: ( , ) 1
2
R
2
1 1
m
=
⇔ (1 4− m)2 = +1 m2 ⇔ m=0 hoặc 8
15
2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M
2
Δ qua A(1;3; 1)− và có vectơ chỉ phương uG=(2;1; 2).−
1
M∈Δ ⇒ ( 1 ; ; 9 6 ).M − +t t − + t
(2 ;3 ;8 6 ),
MA= −t −t − t ⎡MA u, ⎤ (8t 14;20 14 ;t t 4)
JJJG
JJJG G
⇒ ⎡⎣MA uJJJG G, ⎤⎦ =3 29t2−88t+68
0,25
2
,
u
JJJG G
Khoảng cách từ M đến ( ) :P ( )
( )2
1 2 12 18 1 11 20
3
+ − +
0,25
29 88 68
3
t
− + = ⇔ 35t2−88t+53 0= ⇔ t= hoặc 1 53
35
VI.b
(2,0 điểm)
1
t= ⇒ M(0;1; 3);− 53
35
t= ⇒ 18 53 3; ;
35 35 35
Giải hệ phương trình…
VII.b
Với điều kiện xy>0 (*), hệ đã cho tương đương: 2 2
2 4
⎪
⎨
(1,0 điểm)
2 4
x y y
=
⎧
⎨
=
y
=
⎧
⎨ = ±
⎩
( ; ) (2;2)x y = ( ; ) ( 2; 2).x y = − −
-Hết -