Chuyên đề Hàm số 2011

Viết phương trình các tiếp tuyến ấy.

Chuyên đề 1: HÀM SỐ

 Vấn đề 1: Cực trị của hàm số

Phương pháp tìm cực trị

Phương pháp 1

• Tìm f’(x)

• Tìm các điểm xi (I = 1, 2,…) mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm

• Lập bảng xét dấu f’(x) Nếu f’(x) đổi dấu khi x qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi

Phương pháp 2

• Tìm f’(x)

• Giải phương trình f’(x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2,…)

• Tính f’’(xi)

Nếu f’’(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi

Nếu f’’(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi

Ví dụ 1: Tìm cực trị của hàm số: f(x) = sinx + cosx với x (∈ −π π; )

Giải: f’(x) = cosx – sinx; f’’(x) = - sinx – cosx ;

x cos x sin x 0 tan x 1 4

f '(x) 0

x 4

π

 =



= ⇔−π < < π ⇔−π < < π⇔  π

Ta có: f 2; f 3 2;

3

f '' 0; f '' 0

 < − >

    Vậy trên khoảng (−π π; ) hàm số đạt cực đại tại điểm x

4

π

= , fCĐ = 2 ; hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 3

4

π

= − , fCT = − 2

Ví dụ 2: Cho hàm số 1 3 2 1

y x (m 1)x 3(m 2)x

= − − + − + Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = 1

Giải: TXĐ: D = R y ' mx= 2−2(m 1)x 3(m 2)− + − Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

m 0

≠



Theo định lí Viet và theo đề bài, ta có:

1 2

1 2

2(m 1)

m 3(m 2)

m

−

 + =





−









Từ (1) và (3), ta có: 1 2

Thế vào (2), ta được: 3m 4 2 m 3(m 2) (m 0)

2

2 m

m 2

 =



=



(thỏa(*)) Vậy

giá trị cần tìm là: m 2 m 2

3

= ∨ =

Ví dụ 3: Cho hàm số y x= 4−2mx2+2m m+ 4 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều

Giải: TXĐ: D = R. 3

y ' 4x= −4mx y’= 0 x 02

x m(*)

=



 Hàm số có cực đại và cực tiểu thì y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x qua các nghiệm đó ⇔phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

⇔m > 0 Khi đó:

4

4 2

x 0 y m 2m

y ' 0

= ⇔ 

 Đồ thị hàm số có một điểm cực đại là

4

A(0, m +2m) và hai điểm cực tiểu là B(− m, m4−m2+2m);C( m; m4−m2+2m)

Các điểm A, B, C lập thành một tam giác đêu AB AC

AB BC

=





AB BC m m 4m m(m 3) 0

⇔ = ⇔ + = ⇔ − = Vậy m=33 (m 0)>

Ví dụ 4: Cho hàm số y kx= 4+ −(k 1)x2+ −1 2k Xác định các giá trị của tham số k để đồ thị hàm số chỉ có một điểm cực trị

Giải: TXĐ: D = R y ' 4kx= 3+2(k 1)x− y ' 0 x 02

2kx k 1 0(*)

=



 Hàm số chỉ có một cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó ⇔phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0

k 0

k 0

k 0 k 1

k 0

k 0 k 1 ' 2k(k 1) 0

=



=







Vậy giá trị cần tìm là

k 0 k 1≤ ∨ ≥

Ví dụ 5: Cho hàm số y 1x4 mx2 3

= − + Xác định m để đồ thị của hàm số có cực tiểu mà không có cực đại

Giải: TXĐ: D = R y ' 2x= 3−2mx y ' 0 x 02

x m(*)

=



 Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ =y ' 0 có một nghiệm duy nhất và y’ đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua nghiệm đó ⇔phương trình (*) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x = 0 ⇔ m 0≤

Luyện tập:

1 a) Tìm m để hàm số 3 2

y x= −(m 3)x+ +mx m 5+ + đạt cực tiểu tại x = 2 (m 0)= b) Cho hàm số 2 3 2

y= −(m +5m)x +6mx +6x 6− Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 (m 1)=

2 Cho hàm số 3 2

y x= +ax +bx c+ Xác định a, b, c để hàm số có giá trị bằng 1 khi x = 0 và đạt cực trị tại x = 2 và giá trị cực trị là – 3 (a= −3, b 0,c 1)= =

3 a) Cho hàm số 3 2

y 4x= −mx −3x m+ Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu đồng thời chứng minh rằng hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu luôn trái dấu CÐ CT

1

4

= − <

b) Cho hàm số y x= 3+3mx2+3(m2−1)x m+ 3−3m Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu thuộc hai đường thẳng cố định (y= ±2)

2

4 a) Cho hàm số y x= 3+2(m 1)x− 2+(m2−4m 1)x 2(m+ − 2+1) Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại hai điểm x1, x2 thỏa điều kiện: 1 2

1 2

1 1 1

(x x ) (m 1 m 5)

b) Cho hàm số y mx3 (m 1)x2 (m 5)x 1

3

= − + + − − Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu đồng

thời hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị đó thỏa mãn điều kiện: 1 22 2 1 2

1 2

x x 3(x x ) 4 0 1

m 0 7

x x 24

− < <

 c) Cho hàm số 1 3 2

y x mx mx 1 3

= − + − Tìm m để hàm số đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 thỏa mãn x1−x2 ≥8

5 Cho hàm số y 2x= 3+3(m 1)x− 2+6(m 2)x 1− −

a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1, x2 và x1+x2 =2 m( = −1)

b) Tìm m để đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng y = x (m 2 m 4= ∨ = )

6 a) Xác định m để hàm số y= − +x4 2mx2có ba cực trị (m 0> )

b) Cho hàm số y (1 m)x= − 4−mx2+2m 1− Định m để hàm số có đúng một cực trị (m 0 m 1≤ ∨ ≥ )

c) Cho hàm số y x= 4−2m x2 2+1 Định m để đồ thị hàm số có các điểm cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều (m= ±63)

d) Cho hàm số y= − +x4 2(m 2)x+ 2−2m 3− Tìm m để hàm số chỉ có cực đại mà không có cực tiểu (m≤ −2)

7 Cho hàm số y 2x= 3+3(m 3)x− 2+ −11 3m Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M1, M2 là các điểm cực trị, tìm m để M1, M2 và B(0; -1) thẳng hàng (m 4= )



Vấn đề 2: Biện luận số đồ thị đi qua một điểm

1 Tìm điểm cố định của họ đồ thị

Phương pháp

Cho họ đồ thị (Cm): y = f(x,m), m là tham số Để tìm điểm cố định, mà họ (Cm) đi qua, ta thực hiện như sau:

• Gọi M(xo, yo) là điểm cố định mà họ (Cm) đi qua

• M(xo, yo) ∈ (Cm) ⇔yo = f(xo,m), ∀m (*)

• Biến đổi phương trình (*) về dạng: A(xo;yo)m + B(xo;yo) = 0 (1), hoặc

A(xo;yo)m2 + B(xo;yo)m + C(xo;yo) = 0 (2)

• Họ (Cm) đi qua M với mọi m khi và chỉ khi (xo;yo) nghiệm đúng (1) hoặc (2) với mọi m o o

o o

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0

=



 hoặc

o o

o o

o o

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0 C(x ; y ) 0

=







Giải hệ phương trình này ta tìm được M(xo;yo)

Ví dụ 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong (C ) : y mxm = 3−3mx2+2(m 1)x 1 (1)− +

Giải: Gọi M(x ; y ) là điểm cố định mà họ đường cong (C0 0 m) đi qua

Ta có: M(x ; y ) (C ), m0 0 ∈ m ∀

(1)⇔y =mx −3mx +2(m 1)x− + ∀1, m ( 3 2 )

x 3x 2x m 1 2x y 0, m

( 2 )

3 2

x 3x 2x 0

1 2x y 0 y 1 2x

Ví dụ 2: Cho hàm số sau ( ) 3

m (C ) : y= m 1 x+ −(2m 1)x m 1+ − + Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số đã cho đi qua ba điểm cố định thẳng hàng

Giải: Gọi M(x ; y ) là điểm cố định mà họ đường cong (C0 0 m) đi qua

Ta có: M(x ; y ) (C ), m0 0 ∈ m ∀ ( ) 3

y m 1 x (2m 1)x m 1, m

x 2x 1 m x x 1 y 0, m

( ) ( 2 )

0

=

Vậy (Cm) cố 3 điểm cố định: 1( ) 2 3

1 2 1 3

M M , M M

⇒uuuuuuruuuuuuurcùng phương với nhau Vậy ba điểm M1, M2, M3 thẳng hàng

2 Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đi qua

Phương pháp

Cho họ đồ thị (Cm): y = f(x,m), m là tham số Để tìm điểm mà họ (Cm) không đi qua, ta thực hiện như sau:

• Gọi M(xo, yo) là điểm mà họ (Cm) không đi qua

• M(xo, yo) ∉ (Cm) ⇔yo = f(xo,m) (*) vô nghiệm đối với m

• Biến đổi phương trình (*) về dạng: A(xo;yo)m + B(xo;yo) = 0 (1), hoặc

A(xo;yo)m2 + B(xo;yo)m + C(xo;yo) = 0 (2)

+Phương trình (1) vô nghiệm o o

o o

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0

=



 +Phương trình (2) vô nghiệm

o o

o o

o o

o o

A(x ; y ) 0

A(x ; y ) 0 B(x ; y ) 0

0 C(x ; y ) 0

=





⇔ = ∨∆ <

≠



Giải hệ phương trình này ta tìm được M(xo;yo)

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2

m

y 2x= −3(m 3)x+ +18mx 7 (C )+ Chứng minh rằng trên parabol 2

y x= +15có hai điểm không thuộc đồ thị (Cm) với mọi giá trị của m

0 0 M(x ; x +15) (P) : y x∈ = +15

M (C )∉ ⇔x + =15 2x −3(m 3)x+ +18mx +7: vô nghiệm đối với ẩn m

3(x 6x )m 2x 10x 8 0

⇔ − − + + = : vô nghiệm đối với ẩn m

2

0

x 6 2x 10x 8 0



Vậy trên parabol (P) có hai điểm không thuộc đồ thị (Cm) là: M1 (0; 15); M2 (6; 51)

Ví dụ 2: Cho hàm số 3 2

m

y x= −3(m 1)x− +3mx 1 (C )+ Tìm những điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua dù m lấy bất kì giá trị nào

4

Giải: GọiM(x ; y ) là điẻm cố định mà họ đường cong (C0 0 m) không đi qua Ta có: M(x ; y ) (C )0 0 ∉ m

y x 3(m 1)x 3mx 1

⇔ = − − + + : vô nghiệm đối với ẩn m

3(x x )m y x 3x 1 0

⇔ − + − − − = : vô nghiệm đối với ẩn m

2

3 2

y x 3x 1 0





Vậy những điểm thỏa yêu cầu bài toán thuộc các đường thẳng: x = 0, x = 1, trừ các điểm (0; 1), (1; 5)



 Vấn đề 3: Sự tương giao giữa hai đồ thị

1 Giao điểm của hai đồ thị

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C1) và hàm số y = g(x) có đồ thị là (C2)

• Hai đồ thị (C1) và (C2) cắt nhau tại điểm M(xo;yo) ⇔(xo;yo) là nghiệm của hệ phương trình y f (x)

y g(x)

=



 =

• Hoành độ giao điểm của hai đồ thị (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (*)

• Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của (C1) và (C2)

2 Sự tiếp xúc của hai đường cong

Cho hai hàm số f(x) và g(x) có đồ thị lần lượt là (C) và (C’) và có đạo hàm tại điểm xo

• Hai đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc với nhau tại một điểm chung M(xo;yo), nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến Khi đó M gọi là tiếp điểm

• Hai đồ thị tiếp xúc với nhau khi và chi khi hệ phương trình sau có nghiệm: f (x) g(x)

f '(x) g '(x)

=



 Nghiệm của phương trình trên là hoành độ tiếp điểm

Ví dụ 1: Cho hàm sốy x 3

x 1

+

= + có đồ thị là (C).

a) Chứng minh rằng đường thẳng (d): y = 2x + m luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

b) Xác định m để độ dài MN nhỏ nhất

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x 3 2x m

x 1+ = +

+ 2

g(x) 2x (m 1)x m 3 0 (x 1) (*)

Ta có:

(m 1) 8(m 3) (m 3) 16 0, m g( 1) 2 0, m



→ phương trình (*) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác – 1

Vậy (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N Gọi x1, x2 lần lượt là hoành độ của M và N thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) Ta có: 1 2 1 2

x x (m 1), x x (m 3)

+ = − + = − Mặt khác:

y =2x +m, y =2x +m Ta có:

2

MN (x x ) (y y ) (x x ) 4(x x ) 5 (x x ) 4x x

1

5 (m 1) 2(m 3)

4

MN (m 3) 16 20 MN 2 5

=  − + ≥ ⇒ ≥ Vậy MNmin = 2 5 , đạt được khi m = 3

Ví dụ 2: Cho hàm sốy x= 3−6x2+9x 6− (C) Định m để đường thẳng (d): y mx 2m 4= − − cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3−6x2+9x 6 mx 2m 4− = − − ⇔x3−6x2+9x 2 m(x 2)− = −

(x 2)(x 4x 1) m(x 2) 0 (x 2)(x 4x 1 m) (1)

g(x) x 4x 1 m 0 (2)

=



 Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ' m 3 0

g(2) m 3 0

∆ = + >



= − − ≠



Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2

m

y x mx x m (C )

= − − + + Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiệnx12+x22+x23 >15

x mx x m 0 x 3mx 3x 3m 2 0

2

2

(x 1) x 1 3m x 3m 2 0 (1)

x 1

g(x) x (1 3m)x 3m 2 0 (2)

=





(Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔(1) có ba nghiệm phân biệt⇔(2) có hai ngiệm phân biệt khác 1

(1 3m) 4(3m 2) 0 3m 2m 3 0, m

m 0 (a)

Giả sử x3 = 1; x1, x2 là nghiệm của (2) Ta có: x1+x2 =3m 1; x x− 1 2 = −3m 2− Khi đó:

x x x 15 (x x ) 2x x 1 15

(3m 1) 2(3m 2) 14 0 m 1 0 m 1 m 1 (b)

Từ (a) và (b) ta có gía trị cần tìm là: m < -1 hoặc m > 1

Ví dụ 4: Cho hàm sốy x= 3−3x2−9x m (C )+ m Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho cắt trục hoành tại

ba điểm phân biệt với các hoành độ lập thành cấp số cộng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: x3−3x2−9x m 0 (*)+ = Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độx , x , x (x1 2 3 1<x2 <x )3 thì x1, x2, x3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

3 2

x −3x −9x m (x x )(x x )(x x )+ = − − −

x (x x x )x (x x x x x x )x x x x x x x 3 (1)

Ta só: x1, x2, x3 lập thành một cấp số cộng⇔ +x1 x3 =2x2 (2) Thế (2) vào (1) ta cố: x2 = 1 khi x2 =1: (*) ↔

m = 11 Với m = 11: (*)⇔x3−3x2−9x 11 0+ = ⇔(x 1)(x− 2−2x 11) 0− =

1

3

x 1 2 3

x 1 2 3

 = −



 = +



Vậy m = 11 thỏa yêu cầu

Ví dụ 5: Cho hàm sốy x= 3−3mx2+2m(m 4)x 9m− + 2−m (C )m Tìm m để đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cách đều nhau

Giải: Ta có: y ' 3x= 2−6mx 2m(m 4); y '' 6x 6m+ − = −

2

y '' 0= ⇔ = ⇒ =x m y m −m Điểm uốn I(m; m2−m)

6

Điều kiện cần: đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm cắt đều nhau⇒ ∈I Ox m 0

m 1

=



⇔  = Điều kiện đủ:

+Với m = 0, ta có: y = x3: đồ thị của hàm số chỉ cắt trục hoành tạ 1 điểm duy nhất → m = 0 không thỏa

+Với m = 1, ta có: y x= 3−3x2−6x 8+ y 0= ⇔ x3−3x2−6x 8+ ⇔(x 1)(x− 2−2x 8) 0− =

1

3

x 4

= −





 =



Vậy m = 1 thỏa yêu cầu bài toán

Ví dụ 6: Cho hàm sốy 2x= 3−3x2+1 (C) Tìm điều kiện của a và b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D sao cho AB = BD Khi đó chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm2x3−3x2+ =1 ax b+ ⇔2x3−3x2− + − =ax 1 b 0 (*) Giả sử (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D có hoành độ lần lượt là x , x , x (x1 2 3 1<x2 <x )3 là nghiệm của phương trình (*) Khi đó:

3 2

2x 3x ax 1 b (x x )(x x )(x x )

2x 2(x x x )x 2(x x x x x x )x 2x x x

1 2 3

3

2

⇒ + + = Ta có: AB = BD⇔ +x1 x3 =2x (2)2 Thế (2) vào (1) ta có: 2

1 x 2

= Khi 2

x : (*) a 2b 1 b

−

2

−

=

(*) 2x 3x ax (a 1) 0 4x 6x 2ax 1 1

2

2

2

1 x (2x 1)(2x 2x a 1) 0 2

g(x) 2x 2x a 1 (**)

 =





(d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A, B, D⇔phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt khác1

2 ' 2a 3 0

3 a

∆ = + >





⇔   = − − ≠   ÷ ⇔ > −



Vậy: b 1 a,a 3

−

= > − thỏa yêu cầu

Khi đó: (d) : y ax 1 a

2

−

= + ⇔(2x 1)a 1 2y 0− + − = Phương trình này nghiệm đúng với mọia 3

2

> −

x y

− =

 − =

 Điểm cố định

1 1

I ;

2 2

Ví dụ 7: Cho hàm sốy= − +x4 2(m 2)x+ 2−2m 3− (C )m Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2

x 2(m 2)x 2m 3 0 (1)

t x , t 0= ≥ 2

(1)⇔g(t)= − +t 2(m 2)t 2m 3 (2)+ − − (Cm) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt⇔(1) có bốn nghiệm

phân biệtx , x , x , x1 2 3 4 (x1<x2 <x3<x )4 ⇔(2) có hai nghiệm dương phân biệtt , t (t1 2 1<t )2

m

m 2





 Theo định lí Viet, ta có: 1 2

1 2

t t 2(m 2) (a)

t t 2m 3 (b)



 Khi đó phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt:

x = − t <x = − t <x = t <x = t Ta có: x , x , x , x lập thành một cấp số cộng1 2 3 4 ⇔

x − =x x −x =x −x ⇔ − t + t = t + t = t − t ⇔ =t2 9t (c)1

Từ (a) và (c), ta có: 1 2

t (m 2), t (m 2)

= + = + Thế vào (b), ta được:

2

(m 2) (m 2) 2m 3 9m 14m 39 0

m 3 13 m 9

=





⇔

 = −



(thỏa(*))

Ví dụ 8: Cho hàm số 3 2

m

y= − +x mx −m (C ) Định m để đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt

Giải: Đồ thị (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt⇔(Cm) có hai cực trị đồng thời hai giá trị cực trị trái dấu

Ta có: y '= −3x2+2mx 3

= ⇒ = −





= ⇔



* Hàm số có hai cực trị⇔ m 0≠

* Hai giá trị cực trị trái dấu 2m ( ) 4 3 2 2

y(0).y 0 m m m 0 m (4m 27) 0

4m 27 0 (m 0) m

2

Luyện tập:

1 Cho hàm sốy 2x= 3−x (C)2 Giả sử đường thẳng y = a cắt đồ thị (C) tại ba điểm có hoành độ x1, x2, x3 Tính tổngS x= 12+x22+x32 S 1

4

2 Cho hàm sốy x= 3−3ax2 +4a3 Xác định a để đường thẳng y = x cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A, B, C với

AB = BC a 0 a 2

2

= ∨ = ±

3 Cho hàm sốy 1x3 x m

3

= − + Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 2 m 2

− < < 



 Vấn đề 4: Tiếp tuyến của đồ thị

1 Tiếp tuyến tại điểm M (xo;yo) ∈ (C) : y = f(x)

Phương pháp:

• Tính hệ số góc k = f’(xo)

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M có dạng: y = f’(xo)(x – xo) + yo

8

Ví dụ 1: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 1 3 m 2 1

= − + Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng – 1 Tìm

m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0

Giải: ĐặtM(x ; y ) (C )0 0 ∈ m , ta có: x0 1 y0 m

2

= − ⇒ = − y ' x= 2−mx⇒y '(x ) m 10 = + ; Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M có dạng: y y− 0 =y '(x )(x x )0 − 0 y m (m 1)(x 1)

2

1

y (m 1)x (m 2)

2

⇔ = + + + ∆ song song với đường thẳng 5x – y = 0 hay y = 5x m 1 5

m 2 0

+ =





→ m = 4

2 Tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước

Dạng 1: Đề cho hệ số góc Chỉ cần thế vào công thức.

Dạng 2:

• Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b có hệ số góc là a Thì tiếp tuyến và (d) có cùng hệ số góc hay f’(xo) = a

• Tiếp tuyến vuông góc với (d) thì tích hai hệ số góc là bằng -1

• Tiếp tuyến tạo với chiều dương của trục hoành một góc α thì hệ số góc là tanα

Phương pháp 1:

• Gọi M (xo;yo) là tiếp điểm, ta có: M∈ (C) → yo = f(xo)

• Giải phương trình f’(xo) = k, tìm được xo → yo Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = k(x – xo) + yo

Phương pháp 2:

• Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: ∆: y = kx+b

• ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f (x) kx b

f '(x) k



 Giải hệ phương trình này ta tìm được b, từ đó suy ra tiép tuyến ∆

Ví dụ 1: Cho hàm số 3 2

y x= +3x −9x 5+ (C) Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Giải: gọiM(x ; y ) (C)0 0 ∈ 3 2

y x 3x 9x 5

⇔ = + − + Ta có: y ' 3x= 2+6x 9− Tiếp tuyến tại điểm M có hệ số

k y '(x ) 3x= = +6x − =9 3(x +1) − ≥12 12→ Mink = -12, đạt được khi: x0 = -1 → y0 = 16 Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M (-1; 16) (điểm uốn) có hệ số góc nhỏ nhất Phương trình tiếp tuyến: y = -12x = 4

Ví dụ 2: Cho hàm sốy 1x3 x 2

= − + (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳngy 1x 2

3 3

M(x ; y ) (C) y x x

∈ ⇔ = − + Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: k1=y '(x ) x0 = 02−1 vớiy ' x= 2−1 Đường thẳng d: y 1x 2

3 3

= − + có hệ số góc k2 1

3

= −

1

3

4

x 2 y

3

 = ⇒ =





Ví dụ 3: Cho hàm sốy x 1

x 1

+

=

− (C) Xác định m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau

Giải: phương trình hoành độ giao điểm: x 1 2x m

x 1+ = +

−

2 g(x) 2x (m 3)x m 1 0 (1)

x 1



Ta có:

(m 3) 8(m 1) (m 1) 16 0, m g(1) 2 0

 → phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1 vậy d luôn luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B

Gọi x1, x2 (x1 ≠ x2) lần lượt là hoành độ của A và B thì x1, x2 là nghiệm của phương trình (1) Ta có:

1 2

1

x x (3 m)

2

+ = − Tiếp tuyến ∆1, ∆2 tại A, B có hệ số góc lần lượt là: 1 1 2

1

2

k y '(x )

(x 1)

−

2

2

k y '(x )

(x 1)

/ / k k

(x 1) (x 1)

(x 1) (x 1)

1 (3 m) 2 m 1 2

3 Tiếp tuyến với đồ thị (C) : y = f(x) đi qua một điểm A(xA;yA) cho trước

Phương pháp 1

• Lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A với hệ số góc k: y = k(x – xA) + yA (1)

• ∆ tiếp xúc với đồ thị (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: f (x) k x x( A) yA

f '(x) k





=

phương trình này ta tìm được k, thế k vào (1) ta được tiếp tuyến ∆

Phương pháp 2

• Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm, ta có: M∈ (C) → yo = f(xo)

• Phương trình tiếp tuyến ∆ phải tìm có dạng: y = f’(xo)(x – xo) + f(xo) (2)

• Tiếp tuyến đi qua điểm A nên ta có: yA = f’(xo)(xA – xo) + f(xo) Giải phương trình này ta được xo, thế vào (2) ta được tiếp tuyến ∆

Ví dụ 1: Cho hàm số y 2x= 3−3x2+5 (C) Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A 19; 4

12

  và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số

M(x ; y ) (C)∈ ⇔y =2x −3x +5 Ta có: 2 2

y ' 6x= −6x⇒y '(x ) 6x= −6x Phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại M có dạng: y y− 0 =y '(x )(x x )0 − 0

y (2x 3x 5) (6x 6x )(x x ) y (6x 6x )x 4x 3x 5

A 4 (6x 6x ) 4x 3x 5 8x 25x 19x 2 0 x 1 x 2 x

x 1 : y 4; x 2 : y 12x 15 x : y x

Ví dụ 2: Cho hàm số y 1x3 2x2 3x

3

= − + (C) Qua điểm A 4 4;

9 3

  có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C) Viết phương trình các tiếp tuyến ấy

Giải: phương trình đường thẳng ∆ đi qua A với hệ số góc k có dạng: y k x 4 4

9 3

10