Bài thuyết trình-Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng

Ánh xạ co Nguyên lý ánh xạ co Banach Ứng dụng... Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co BanachTrong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu

Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng

KHỔNG VĂN HẢI

Cấu trúc của bài thuyết trình

Điểm bất động .

Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Ứng dụng

Cấu trúc của bài thuyết trình

Điểm bất động .

Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Ứng dụng

Cấu trúc của bài thuyết trình

Điểm bất động .

Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Ứng dụng

Cấu trúc của bài thuyết trình

Điểm bất động .

Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Ứng dụng

Cấu trúc của bài thuyết trình

Điểm bất động .

Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Ứng dụng

Định nghĩa 1 :

Điểm x ∈ X được gọi là một điểm bất động của ánh

xạ f từ không gian metric X vào chính nó nếu

f ( x ) = x

Định nghĩa 2 :

Ánh xạ f từ không gian metric (X, ρ ) vào chính nó gọi là một ánh xạ co nếu có số k , 0 6 k < 1 sao cho

ρ( f ( x ), f ( y )) 6 k ρ( x , y ) với mọi x , y ∈ X

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Một ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào

nó bao giờ cũng có một điểm bất động duy nhất.

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung

cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau

như :

Phương trình đại số

Phương trình vi phân Đạo hàm riêng, tích phân Tích phân

.

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung

cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung

cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung

cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như :

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại

và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau như :

Phương trình đại số

Phương trình vi phân

Đạo hàm riêng, tích phân

Tích phân

Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân thường.

Bài toán : Cho f là hàm số xác định và liên tục trong một tập mở

G ⊂ R2nào đó chứa điểm (x0, y0) và thoả mãn điều kiện Lipschitz theo

y, tức là tồn tại số thực dương M sao cho :

| f (x , y1) − f (x , y2)| 6 M|y1− y2|,(x , y1), (x , y2) ∈ G

Xét phương trình vi phân

dy

dx = f (x , y ) (I)với điều kiện y (x0) = y0 (II)

Chứng minh trên doạn kx − x0k 6 d nào đó , tồn tại một và chỉ một

Chứng minh

Hệ phương trình gồm phương trình (I)và (II) tương đương với phươngtrình tích phân sau : ϕ(x ) = y0+

xR

x 0

f (t, ϕ(t))dt (III)

Do tính liên tục của hàm số f ,tồn tại số dương K và tập mở G0 chứađiểm(x0, y0) sao cho G0⊂ G và |f (x, y ) ≤ K | với mọi (x, y ) ∈ G0 Chọnd>0 sao cho thoả mãn đồng thời :

Xét ánh xạ A : C → C [x0− d , x0+ d ] xác định bởi công thức

A(ϕ)(x ) = y0+

xR

Vì Md < 1 nên A là ánh xạ co Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh

xạ A có điểm bất động duy nhất hay phương trình (III) có một và chỉ

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm.

Xét phương trình tích phân Fredholm:

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm.

Chứng minh Xét ánh xạ : T : C[a,b]−→ C[a,b]cho bởi công thức :

Ứng dụng trong toán phổ thông

Trong các bài toán về dãy, các bạn phổ thông thường gặp dạng cho dãy

xn+1= f (xn), chứng minh xnhội tụ Cách giải ở phổ thông thương là xétdãy tăng hay giảm và bị chận, hay xét riêng dãy chẵn và lẻ Nếu áp dụngđịnh lý Banach ta có một cách rất hệ thống và hiệu quả để giải nhữngbài như vậy

Ví dụ 1: Cho xn+1= cos(xn) với n = 1, 2, 3, Chứng minh xn hội tụ.Giải: Nhận xét −1 <= xn<= 1 với n = 2, 3, Do đó 0 <= xn<= 1 với

n = 3,

Dãy trên có dạng xn+1= f (xn), f : [0, 1]− > [0, 1], f (x ) = cosx

Trên [0,1] ta có f0(x ) = − sin x , do đó |f0(x )| = | sin x | ≤ 1 (nếu

Ứng dụng trong toán phổ thông

x = 2

Bài toán Cho f là ánh xạ từ không gian metric compact X vào chính nóthoả mãn điều kiện :

ρ(f (x ), f (y )) < ρ(x , y ) ∀ x , y ∈ X thì f có điểm bất động là duy nhất Khi đó, giả thiết Compact là không

thể bỏ được

Cảm ơn cô và các bạn đã

lắng nghe !