Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng (LV00166)

Lý do chọn đề tài Chúng ta đ+ biết kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn..

Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu

đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, người thầy đ+ hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Sau

đại học của Trường ĐHSP Hà Nội 2, đ+ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình học cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin chân thành cảm ơn Phòng GD huyện Sóc Sơn, Trường THCS Mai Đình đ+ tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả công tác, học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, năm 2009

Tác giả

LờI cam ĐOAN Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi Các kết quả trong luận văn

được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề tài khác

Hà Nội, năm 2009

Tác giả

MụC LụC

Mở đầu……… 4

Chương 1 Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác……….…7

1.1 Hàm chỉnh hình….……….7

1.1.1 Định nghĩa đạo hàm……… … ……… ……… 7

1.1.2 Điều kiện Cauchy- Riemann……… ……… ……… 8

1.1.3 Định nghĩa hàm chỉnh hình… ………… ……… 8

1.1.4 ý nghĩa hình học của acgumen và môđun của đạo hàm……… 9

1.2 ánh xạ bảo giác… ……….……… 11

1.3 Hàm phân tuyến tính … ……….……….12

1.4 Các nguyên lý biến phân cơ bản………….……….……… 13

1.4.1 Nguyên lý biến phân cơ bản … ……….……… 14

1.4.2 Tính phổ biến của nguyên lý… ……….……… 23

1.4.2.1 Miền ngoài của hình tròn…… … ……… … …23

1.4.2.2 Trường hợp nửa mặt phẳng……… ……… 24

1.4.2.3 Trường hợp các dải ……… ….… 28

1.5 ánh xạ các miền xấp xỉ……… ……… ….31

Chương 2 ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác……… 43

2.1 ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết……… …….43

2.1.1 Các đạo hàm biên… … ….………43

2.1.2 Các miền xấp xỉ với dữ kiện… ……… 50

2.2 ứng dụng giải quyết một số vấn đề kỹ thuật và thực tiễn……… 53

2.2.1 Tính quy đổi lực nâng ……….……53

2.2.2 Các sóng trong chất lỏng nặng……….62

Kết luận……… 72

Tài liệu tham khảo……… ……73

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đ+ biết kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của Toán học cũng như trong thực tiễn Ngay từ những năm đầu thế kỷ XX nhiều nhà toán học đ+

có những thành công trong việc nghiên cứu lý thuyết hàm biến phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động lực học và khí động lực học Nhờ những ứng dụng bước đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đ+ thu hút nhiều sự quan tâm, nghiên cứu của các nhà toán học Đặc biệt trong lý thuyết này có nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác với các tính chất đặc trưng của nó đ+ được ứng dụng nhiều trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết giải toán trong vật lý trong

kỹ thuật, và trong thực tiễn

Việc nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về lý thuyết hàm biến phức, đồng thời sử dụng kết quả đó

để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác

Hơn nữa, là một giáo viên giảng dạy ở trường phổ thông, việc tìm hiểu về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác có thể giúp em nhìn nhận kiến thức toán giải tích được áp dụng rất rộng r+i trong các môn khoa học khác, đặc biệt

là với những bài toán trong vật lý, kỹ thuật và thực tiễn để đáp ứng yêu cầu dạy học hiện nay Bởi vậy, em đ+ chọn đề tài “Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng” nhằm tổng hợp những ứng dụng về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác trong việc giải quyết những vấn đề của vật lý, kỹ thuật và thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết hàm số biến số phức, trình bày một cách có hệ thống về nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

Tổng hợp những ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó đối với một số vấn đề lý thuyết và thực tiễn

Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và tài liệu tham khảo Trong đó:

Chương 1: Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

Chương 2: ứng dụng nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

5 phương pháp nghiên cứu

đọc sách, nghiên cứu lý luận, tài liệu chuyên khảo

Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu và ứng dụng của

nó

6 Những đóng góp mới của đề tài tài

Nghiên cứu sâu một nguyên lý quan trọng của Toán học, nâng nó thành

đề tài nghiên cứu theo nghĩa nghiên cứu và tổng hợp các ứng dụng của nó trong

giải quyết một số vấn đề của lý thuyết, một số vấn đề trong vật lý cũng như trong thực tiễn

Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học, những người yêu thích về hàm biến phức đặc biệt là về nguyên lý biến phân của

ánh xạ bảo giác và ứng dụng của nó

Chương 1 Nguyên lý biến phân của ánh xạ bảo giác

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của

f tại z , ký hiệu là f′( )z hay df ( ).z

nếu vế phải tồn tại ta gọi là đạo hàm phức cấp k của hàm f trên D

Do định nghĩa đạo hàm phức hoàn toàn tương tự với định nghĩa đạo hàm của hàm một biến thực, ta dễ dàng thiết lập các công thức sau

Định lí 1.1

Nếu ( )f z và ( )g z khả vi phức tại z0 thì α f z( )+βg z( ), α f z( ).βg z( )

và f z( ) g z( ) ( ( ) 0g z ≠ ) cũng khả vi phức tại z0 với mọi ,α β∈C và

1.1.2. Điều kiện Cauchy- Riemann

Giả sử f z( )=u x y( , )+iv x y( , ), z = +x iy xác định trong miền D⊂ C Hàm f đ−ợc gọi là 2

R - khả vi tại z = +x iy nếu các hàm u x y( , ) và v x y( , )khả vi tại ( , )x y (theo nghĩa đ+ biết trong giải tích thực)

Hàm f xác định trên miền D ⊂C với giá trị trong C gọi là chỉnh hình tại z0∈D nếu tồn tại r > 0 để f C - khả vi tại mọi z∈D z r( , )0 ⊂ D

Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ D thì ta nói f chỉnh hình trên D

Tính giải tích của hàm f tại điểm vô cùng được hiểu là tính giải tích của

1.1.4. ý nghĩa hình học của argument và môđun của đạo hàm

Giả sử f xác định trên miền D ⊂ C và C- khả vi tại mọi z0∈ D với

( )0 0

f′ z ≠ Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0 và gọi L là ảnh của l qua f ,

( )

Cho điểm z=z0 + ∆ chạy trên l và xét z ∆ =f f z( 0 + ∆ ưz) f z( )0 Giả sử

ϕ là góc giữa tiếp tuyến của l tại z0 với trục hoành, còn φ là góc giữa tiếp tuyến của L tại ω0 = f z( )0 với trục hoành Khi đó rõ ràng

góc giữa tiếp tuyến của L tại ω0 = f z( )0 Một cách hình thức đó là góc mà hàm

f đ+ quay đường cong l tại z0 Chú ý rằng

Bây giờ xét ý nghĩa hình học của môđun của đạo hàm f′( )z0

Xét đường cong trơn tuỳ ý l qua z0.Ta có

lim

z

z z l

f k z

∆ → +∆ ∈

∆

=

∆

với mọi đường cong trơn l qua z0

Như vậy trong trường hợp này, hệ số co d+n của f tại z0 dọc theo mọi

đường cong trơn qua z0 đều bằng nhau và bằng f′( )z0 Một hàm f có tính

chất trên được gọi là hàm có hệ số co d+n đều tại z0

1.2 ánh xạ bảo giác

Định nghĩa 1.2

Hàm f xác định trên miền D ⊂ C gọi là bảo giác tại z0∈D nếu tại

điểm đó hàm f bảo toàn góc và có hệ số co d+n đều

Hàm f được gọi là bảo giác trên miền D ⊂ C nếu nó bảo giác tại mọi

Mét sè tÝnh chÊt cña hµm ph©n tuyÕn tÝnh

XÐt hµm ph©n tuyÕn tÝnh (hay ¸nh x¹ ph©n tuyÕn tÝnh)

( )z az b,ad bc 0

Giả thiết ad ưbc≠ đặt ra để 0 ω ≠ const

b) Hàm phân tuyến tính bảo giác khắp nơi trong C (tính bảo giác tại điểm

∞ được hiểu là sự bảo toàn góc)

c) Hàm ngược của một hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính

d) Hợp của hai hàm phân tuyến tính là hàm phân tuyến tính

e) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn đường tròn

f) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn hình tròn

g) ánh xạ phân tuyến tính bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn

h) ánh xạ phân tuyến tính không phải là ánh xạ đồng nhất có nhiều nhất là hai điểm bất động

i) Cho bộ ba điểm phân biệt {z z z1, ,2 3} và {ω ω ω1, 2, 3} ∈ C Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ phân tuyến tính ω biến z j thành ωj ( j=1, 2,3)

j) Hàm phân tuyến tính bảo toàn tỉ số kép

1.4. Các nguyên lý biến phân cơ bản

Giả sử trong mặt phẳng z người ta cho hai miền đơn liên D và B giới hạn bởi các đường cong C và C và cho

w= f z( ); w = f z( )

là các hàm số của các ánh xạ bảo giác, ánh xạ D và B tới một trong các miền

đặc trưng (hình tròn, nửa mặt phẳng, dải và có các chỉ số như nhau)

Bài toán mà ta vừa nói ở trên được thực hiện như sau: ánh xạ w= f z( ) coi như

đ+ biết, còn đường biên C xấp xỉ với C ta phải tìm đoạn fδ số gia của

f z( )ư f z( )=δ f +r f f( , ) khi chuyển dịch từ D sang B

Để giải bài toán này ta chia làm hai phần đó là các định lý định tính và

các phương pháp tính gần đúng fδ với các đánh giá cho các thành phần còn lại

( , )

1.4.1. Nguyên lý biến phân cơ bản

Chúng ta đưa ra một số ký hiệu sau: Miền giới hạn bởi đường cong C ký

hiệu là D C( ) Hàm số thực hiện ánh xạ bảo giác D C( ) lên hình tròn đơn vị, với

eθ trong đó θ là số thực, với f z C( , ) ta sẽ hiểu là hàm

số bất kỳ nào trong đó, còn đại lượng θ đ+ có chúng ta sẽ xác định nó bằng các

điều kiện phụ, với ánh xạ (1.1) đường cong kín đi qua hình tròn w= ρ <1,

chúng ta ký hiệu là Cρ và gọi đường đó là đường mức

Chúng ta thay thế đường biên biến dạng C bằng đường biên C Giả sử các miền ( )

D C và D C( ) chứa điểm z0, nghĩa là các giới hạn C và C của chúng trong hệ toạ độ cực với gốc cực là z0 ta có thể biểu thị bằng phương trình r =r( )ϕ và

tương ứng với điểm 2

i

z = z +r e ϕ của đường biên C ta gọi các điểm đó là các

điểm biến dạng lớn nhất, còn số λ = r r2 2 là độ biến dạng lớn nhất của đường biên

Nguyên lý biến phân cơ bản ta gọi là nguyên lý Lin - đê khẳng định nếu

nó bị giới hạn bởi các ánh xạ đến hình tròn đơn vị tâm là điểm z0 cố định

(nghịch ảnh của điểm w = 0 với mỗi ánh xạ đó) Khi có áp lực ép vào trong

biên của miền thì:

1- Tất cả các đường mức bị ép lại

2- Sức căng (độ gi+n) ở điểm z0 sẽ tăng lên

3- Độ căng ( kéo dài) ở các điểm biên được giữ nguyên (và riêng chiều dài

của ảnh phần biên không biến dạng sẽ giảm đi)

4- ở các điểm biến dạng lớn nhất sức căng sẽ tăng lên hơn 1 λ lần

Nói cách khác ta có:

Định lý 1.5

Nếu miền D C( ) chứa trong D C( ) thì:

a- Với bất kỳ ρ, (0< ρ <1) thì miền D C( )ρ nằm trong D C( )ρ và sự tiếp xúc của Cρvới Cρ chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

b- Tại điểm z0

f′(z C0, ) ≥ f′(z C0, ) (1.2) dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

c- Nếu các đường biên C và C có một điểm chung z1 thì tại điểm này

f′(z C1, ) ≤ f′(z C1, ) (1.3)

dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

d- Nếu các miền là sao đ+ biết đối với z0 thì tại các điểm biến dạng lớn nhất ta có:

là một lỗ nhỏ (*), nh− vậy thay cho g ta có thể dùng cách biểu diễn

( ) 1 1

2 1

i i

e

e

α α

trong đó α là argumen của một điểm nào đó thuộc diện tích σ′

(Ghi chú: (*) Sự khẳng định này chỉ có căn cứ trong trường hợp độ cong k của

đường biên C là hàm số chiều dài của cung s thuộc đường biên đó thoả m,n

điều kiện của Gôn- đê:

(s+h)ưk s( ) <A h( )α ; 0<α ≤ 1

Để lập luận chúng ta còn phải dùng một loạt các tính chất giới hạn của các ánh xạ w= f(z) Phần dưới chúng ta chứng minh nguyên lý không dùng các tính chất giới hạn của f(z))

Bây giờ chúng ta tìm ánh xạ ngược của g

Để tìm chúng ta chuyển công thức (1.5) sang dạng sau:

11

2 1

i i

e w

e

α α

2 1

i i

we w

we

α α

σζ

Bây giờ chúng ta ký hiệu Cρ′ là đường cong của mặt phẳng ζ tương ứng với

đường tròn ω =ρ qua ánh xạ w=g( )ζ Để có được phương trình tham số Cρ′

ta đặt i ,

Lấy loga biểu thức (1.6) ta có:

ln ln

2 1

i i

Từ các phương trình này ta có thể có điều cần chứng minh của định lý

Đương nhiên ta có:

w= f z C( , )= g f z C ( , ); (1.8) như vậy qua ánh xạ ζ = f z C( , ) thì miền D C( )ρ sẽ đi qua D C( )ρ′ Vì D C( )ρ

lúc này đi qua hình tròn ζ <ρ, nên để chứng minh phần một của định lý ta chỉ cần D C( )ρ′ nằm trong hình tròn ζ <ρ

Nhưng ở đây g′( )0 >1 nên theo công thức (1.8)

( 0, ) ( )0 ( 0, ) ( 0, )

f′ z C = g′ f′ z C > f′ z C

đó là cách chứng minh kết luận thứ hai

Bây giờ giả sử điểm i

reϕ

ζ = tiếp xúc với điểm i

eϕ của đường tròn ζ =1theo bán kính của đường tròn này thì i

eϕ nằm ngoài σ′ Khi đó điểm i

w=ρeθ

tương ứng của ánh xạ bảo giác sẽ tiếp xúc với điểm i

eθtheo phương tiếp tuyến với bán kính của đường tròn w =1, và ta có :

Để chứng minh kết luận cuối cùng ta ký hiệu đường biên *

Định lý đ−ợc chứng minh hoàn toàn

Hệ quả của định lý đ−ợc chứng minh ở trên đó chính là nguyên lý ten

(Độ dài của các cung ta ký hiệu bằng chính các chữ của các cung đó)

thuộc vào D C( ) còn cung C1 thuộc cả C′ lẫn C nên theo kết luận thứ ba của nguyên lý Lin-đê-lốp thì tại mỗi điểm thuộc C1 ta có:

f′ z C ≥ f′ z C′ Vậy ta xét ý nghĩa hình học của môđun dẫn xuất trên, ta có:

θ ≥ π θư ′ (1.12) Mặt khác D C′( ) nằm trong miền D C( ) và cung C2 thuộc về đường cong

C′ và C vì thế ta có:

θ′ ≤2π θư 1 (1.13) Kết hợp các bất đẳng thức (1.12) và (1.13) ta có bất đẳng thức phải tìm là (1.11)

Cuối cùng ta nhận thấy rằng những nguyên lý biến phân Mông-ten và Lin-đê-lốp đ+ chứng minh trên đồng thời cũng có thể có được dựa trên cơ sở của nguyên lý Svat-xơ (mục 15 cuốn [ ]5 ) Thực ra các nguyên lý này rút ra từ kết quả mà miền D C( )ρ′ ở đó tạo ra hình tròn w <ρ, hàm số ζ = h w( ) là hàm ngược của hàm w= g( )ζ thuộc về hình tròn ζ < ρ (chúng ta giữ nguyên ký hiệu dùng chứng minh định lý 1.5)

Hình 1.1

Giả sử w= f z( ) ( ), f z0 =0 và w= f z( ) ( ), f z 0 =0, ánh xạ bảo giác tương ứng các miền D C( )và D C( ) tới hình tròn đơn vị Hàm số

( , ) ln ( )

P x y = f z

điều hoà trong miền D C( ), trừ điểm z= z0 và P x y( , )=ln zư z0 đúng với bất

kỳ điểm nào trong miền này Vì f z( ) =1 ở C nên P x y( , ) quay về 0 ở C Dọc theo đường Cρ ta có:

P x y( , )=lnρ (1.14) sao cho phương trình (1.14) ta có thể xem như phương trình Cρ

Chúng ta phải chứng minh rằng khi đường biên biến dạng C thuộc miền

( )

D C với bất kỳ ρ,0< ρ <1 nào thì miền D C( )ρ cũng nằm trong D C( )ρ Nhưng khắp mọi nơi trong D C( ) theo nguyên lý cực đại ta có P x y( , )<0 vì ở

phần C đoạn không trùng với C, P x y( , )=ln f z( ) =0 Khi đó ở phần chung của C và C cả hai hàm số này bằng 0 do đó tất cả mọi nơi trong D C( )

P x y( , )< P x y( , )

Dựa trên cơ sở phương trình (1.14) và phương trình tương tự đối với Cρ ta

có thể khẳng định rằng D C( )ρ chứa trong D C( )ρ với bất kỳ ρ,0< ρ <1 nào

1.4.2 Tính phổ biến của nguyên lý

Nguyên lý biến phân cơ bản đ+ chứng minh ở trên được phát triển trong các hàm số thực hiện các ánh xạ bảo giác đến các miền chuẩn khác

1.4.2.1 Miền ngoài của hình tròn

Ta ký hiệu miền ngoài đường biên khép kín C là ∆( )C Giả sử hàm số:

( , ),

w= F z C F(∞,C)= ∞ (1.15) thực hiện ánh xạ bảo giác của miền ∆( )C tới miền ngoài của hình tròn đơn vị 1

w >

Giữ nguyên các ký hiện đ+ dùng ở trên, ta có các định lý sau:

Định lý 1.7

Nếu miền ∆ ( )C chứa trong miền ∆( )C thì:

a) Với bất kỳ ρ >1 nào thì miền ∆ ( )Cρ cũng chứa trong miền ∆( )Cρ Sự tiếp xúc của các đường biên Cρ và Cρ với ρ nào đó chỉ có thể xảy ra khi C và

C trùng nhau

b) Tại các điểm xa vô cực

F′ ∞ C ≤ F′ ∞ C ; (1.16) c) Tại điểm z1 chung ở biên của C và C

F z C′( 1, ) ≤ F z C′( 1, ); (1.17) d) Nếu các đường biên là sao tại điểm z=0 thì tại các điểm biến dạng lớn nhất z2 và z2ta có:

Các dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

Cách chứng minh có thể thực hiện như ở trên nếu ta dùng ánh xạ miền ngoài của hình tròn đơn vị có lỗ phun ra của nó tới miền ngoài của hình tròn thay cho (1.5) Đơn giản nhất là ta đưa định lý này về dạng đ+ chứng minh bằng cách thay thế các đại lượng

Giả sử đường biên C đi qua điểm xa vô cực và có độ cong hữu hạn, khi đó

đường tròn z = R với giá trị R đủ lớn thì nó sẽ cắt C ở hai điểm với các

acgumen mà hiệu của chúng sẽ gần sát với π bao nhiêu cũng được

Ta giả sử thêm nửa trục ảo dương ở phần xa đủ không giao nhau với C và

ta ký hiệu D C( ) là miền giới hạn bởi C có chứa đoạn này Qua

( , );

ánh xạ bảo giác của miền D C( ) tới nửa mặt phẳng trên v > 0 Theo định lý áp

dụng các điều kiện dùng cho đường cong C , hàm f được áp dụng và được xác

định với độ chính xác tới hằng số không đổi vì sau đó số hằng này không đóng

vai trò gì, nên đối với f chúng ta sẽ hiểu bất kỳ hàm số nào trong các hàm số

này Cuối cùng giả sử với các ánh xạ w= f z C w( , ), = f z C( , ), C v và Cv là các

đường tương ứng đi qua đuờng thẳng v = const (hình 1.2)

Từ những điều này ta có:

Định lý 1.8

Giả sử đường cong C đi qua điểm ∞ và ở đó có tiếp tuyến chung với C

Ngoài ra nếu miền D C( ) chứa trong miền D C( )thì:

a) Với bất kỳ v > 0 nào thì miền D C( )v cũng nằm trong miền D C( )v , đồng thời C v và Cv tiếp xúc với nhau chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

b) Nếu C và C có điểm chung z1 thì tại chính điểm này:

( 1, ) ( 1 )

f′ z C ≤ f′ z C (1.20)

dấu đẳng thức chỉ có thể xảy ra khi C và C trùng nhau

Hình 1.2

c) Nếu các đường cong C và C đ+ cho bằng các hàm số đơn trị y = y(x),

đồng thời dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khiC có được từ C bằng sự dịch

chuyển song song với trục y

Chứng minh:

Thực chất cách biểu thị dẫn ra ở trên có thể xem xét một cách đầy đủ, trường

hợp khi C trùng với trục x còn C khác với C ở trên đoạn rất nhỏ (aưε,a+ε)

mà trên đoạn đó C là cung của đường tròn có độ cong nhỏ Nhưng trong trường hợp này f z C( , )≡ z, và theo công thức (7) mục 34 cuốn [ ]5

f z C( , ) z 1

σπ

≈ ư

ưtrong đó w= +u iv và sau khi tách phần ảo và phần thực với v cố định ta có phương trình tham số của đường Cv:

y v

u a v

σπσπ

nghĩa là nằm trong miền D C( )v Kết luận thứ nhất của định lý đ+ chứng minh.

Để chứng minh kết luận thứ hai ta lấy một điểm bất kỳ trên trục x cách a

một khoảng σ ta phải tìm hàm số dẫn xuất (1.22) tại điểm này

D C thuộc về miền D C( ) và z2 là điểm chung của C và *

C Như vậy theo kết luận thứ hai đ+ được chứng minh

đứng mà chất lỏng lý tưởng (không nhớt) chảy ở trong đó và có hình dạng

đường cong C thì nếu một vị trí nào trong ống nâng đáy lên cao thì tất cả các

đường của dòng chảy sẽ được nâng lên cao và tốc độ dòng chảy tại các điểm mà

đáy không bị biến dạng sẽ giảm xuống, còn ở các điểm bị biến dạng lớn nhất tốc độ sẽ tăng lên

1.4.2.3 Trường hợp các dải

Giả sử hai cung C và C0 không có điểm chung trừ các đầu cuối của

chúng a a1, 2 Ta không loại trừ trường hợp khi một trong các điểm hoặc cả hai

điểm trùng với điểm = ∞z Chúng ta ký hiệu miền giới hạn bởi các đường cong

< , mỗi đường thẳng trong đó cắt ngang C và C0 không quá một điểm

Điểm z2 thuộc đường biên C0 mà trong đó đoạn giữa C và 0 C0 đạt được giá trị

lớn nhất, còn điểm tương ứng z2 thuộc đường biên C chúng ta gọi là các điểm 0

1) Với v (0 < v < 1) bất kỳ thì miền D C C( v, ) cũng chứa trong miền D C C( v, )

đồng thời sự tiếp xúc của các đường C v và C chỉ có thể xảy ra khi v C0 và C 0trùng nhau

2) Nếu các đường C0 và C có điểm 0 z1 chung thì tại điểm này ta có:

f′(z C C1, 0, ) ≤ f′(z C C1, 0, ) (1.25)

3) Tại điểm z bất kỳ của đường C ta có:

( , 0, ) ( , 0, )

f′ z C C ≥ f′ z C C (1.26) 4) Tại các điểm biến dạng lớn nhất ta có:

đường thẳng y = 1), còn C0 trùng với C trừ một đoạn nhỏ 0 (aưε,a+ε), ở đó

nó là cung của đường tròn có độ cong nhỏ Với giả thiết này dựa trên cơ sở của công thức (13) mục 34 cuốn [ ]5 hàm số f z C C( , 0, ) có dạng như sau:

Kết luận 1) của định lý được kiểm nghiệm

Cũng đúng như trước đây và chúng ta sẽ không dừng lại ở sự kiểm nghiệm đó Để chứng minh kết luận 2) và 3) chúng ta sẽ xem xét hàm số (1.28)

D C C n»m trong ( * *)

0,

D C C  nªn theo (1.26) ë mçi ®iÓm bÊt kú

cña giíi h¹n kh«ng bÞ biÕn d¹ng *

( * *) ( )

f′ z C C   ≤ f′ z C C  ,nhưng từ (1.29) ta có: ( * *) ( )

f′ z C C   = f′ z C C ,

và từ bất đẳng thức (1.27) cuối cùng ta có định lý 1.9 được chứng minh

Đồng thời định lý1.9 cho phép ta giải thích bằng thuỷ động lực học Giả sử thành của (r+nh) kênh có đáy nằm ngang có hình dạng mặt cắt hình trụ với sự hình thành bề mặt thẳng đứng và trong kênh có chất lỏng lý tưởng (không nhớt) chuyển động với độ tiêu thụ không đổi (hình 1.3)

Đồng thời khi ép vào một thành thì tất cả các đường của dòng chảy sẽ sát đến với thành đối diện, tốc độ dòng chảy ở các đoạn không bị biến dạng ở thành thứ nhất bị giảm xuống còn tốc độ tại các điểm biến dạng lớn nhất và ở tất cả các

điểm của thành ống thứ hai đều tăng lên

1.5. ánh xạ các miền xấp xỉ

Trong mục này các công thức gần đúng đ+ cho đối với các ánh xạ bảo giác ánh xạ từ các miền xấp xỉ với nó đến các miền chuẩn thì ta đ+ biết rõ Những kết quả đ+ có ở trên cho phép chúng ta đánh giá độ chính xác của các công thức gần đúng này Bây giờ ta bắt đầu từ các miền có độ sai lệch nhỏ với

Vẫn như ở trên ta xem như đường cong khép kín C xấp xỉ với đường tròn

đơn vị z =1 về vị trí và độ cong, nghĩa là trong phương trình cực của nó

r =r( )ϕ = ư1 δ ϕ( ) (0≤ϕ <2π ), (1.31)

ta xem như:

δ ϕ( ) <ε, δ ϕ′( ) <ε, δ ϕ′′( ) <ε (1.32) Chúng ta có phần chính f z C( , ) từ công thức (9) mục 34 cuốn [ ]5 đối với ánh xạ của đường tròn có lỗ phun của diện tích σt mà các điểm gốc của nó xấp xỉ với it

e ,

( )

11

it

t it

σ đi qua lỗ của chính diện tích ấy

và có các điểm gốc xấp xỉ với it2

2

t

σ với dấu của hàm số η ωt2( )có độ chính xác chấp nhận ta có thể thayω cho z và ta thu được

ánh xạ của hình tròn z <1 có hai lỗ phun vào hình tròn đơn vị

Bây giờ ta chuyển sang trường hợp tổng quát miền D giới hạn bởi đường

cong (1.31) Ta thay đường cong này bằng các đường gấp khúc tạo thành từ các

cung của đường tròn và các đoạn bán kính

Diện tích của hình quạt loe ra σk =(1ưr t( )k )∆ =t k δ( )t k ∆t k,

Sau khi thay tổng tích phân và biểu thức của tổng ấy cho ηt( )z vào công thức

(1.33) ta tìm công thức gần đúng đối với ánh xạ bảo giác lên hình tròn của miền

xấp xỉ với hình tròn:

(1.37)

(f 0,C =0, f′ 0,C >0) Kết luận của công thức (1.37) ở trên mang tính chất hình học song nó

không đủ điều kiện và không thể đánh giá được sai số cho phép của công thức

này Bởi vậy chúng ta còn phải sử dụng Γ.B Xi-rop (Γ.B Xi-rop: Nói về ánh

xạ bảo giác của các miền cận Thành tựu toán học tập XI, mục 5 tiểu mục 71,

xuất bản năm 1956, trang 57-60) Kết quả của công thức tích phân này dựa trên nguyên lý tích phân của Svat-xơ (4) mục 44 cuốn [ ]5

Bây giờ ta ký hiệu hàm số ngược của hàm w= f z C( , ) là z= g w( ) Khi

đó hàm số g w w( ) sẽ là hàm số tích phân đúng trong hình tròn w <1 mà hàm

số này khác 0, bởi vậy ( )

lng w

w có thể biểu thị bằng phép tính tích phân Svat-xơ Nếu coi như ta đ+ biết sự tương quan ϕ ϕ θ= ( ) của các đối số của các điểm

i

w=eθ thuộc đường tròn đơn vị và các điểm i

z =reϕ của đường cong C và coi như trong hình tròn ( ) ( )

Re ln g w lnr

w = ϕ θ  , trong đó r =r( )ϕ là phương trình cực của C nên phép tích phân này được viết dưới dạng sau:

θ π

( ) 2 ( )

0

12

it it

it it

Bổ đề đ−ợc chứng minh

B©y giê chóng ta quay l¹i c«ng thøc (1.37) C¨n cø vµo ®iÒu kiÖn

( )

δ ϕ <ε chóng ta cã:

lnrϕ θ =ln 1−δ ϕ θ  = −δ ϕ θ +O ε , ngoµi ra ϕ θ′( )= +1 O( )ε cho nªn:

( ) {δ ϕ θ }′ =δ ϕ θ ϕ θ′ ( ) ′( )=O( )ε

2

i i

θ π