tóm tắt luận án tiến sĩ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN

và đa trị.Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫunhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, c

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Hà Nội- 2014

Công trình được hoàn thành tại:

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng

vào hồi …… giờ……….ngày…….tháng…… năm ………

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội

và đa trị.

Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫunhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểmbất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Từ đó

áp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Luận

án gồm 3 chương

Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các khái niệm và kết quả liênquan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của cáctoán tử ngẫu nhiên Các kết của chương này được trích dẫn và không cóchứng minh chi tiết

Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý tháctriển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tụctheo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Tiếp theo, chương nàytrình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán

tử hoàn toàn ngẫu nhiên Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhaucủa các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến Nội dung chính củachương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau củatoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểmbất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Các ứngdụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứngminh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên Nội dung chính của chương này

là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫunhiên

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN

R được gọi là phiếm hàm ngẫu nhiên

1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên) Biến ngẫu nhiên ξ : Ω →

nếu

trình có dạng

2) Phương trình (1.4) được gọi là có nghiệm ngẫu nhiên nếu tồn tại biến

Một trong các công cụ quan trọng để chứng minh sự tồn tại nghiệm củaphương trình toán tử ngẫu nhiên hay sự tồn tại điểm bất động của toán tửngẫu nhiên đó là các định lý về sự tồn tại hàm chọn đo được của một ánh

xạ đa trị

Khi đó định lý sau đây được sử dụng như là công cụ để chứng minh sựtồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên

1.1.8 Định lý ([29]) Cho (Ω, F , P ) là không gian xác suất, X là không

h.c.c

Định lý 1.1.8 còn được gọi là định lý hàm chọn Sự tồn tại của hàm chọnchỉ ra sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên

Đối với điểm bất động ngẫu nhiên, năm 1957 trong bài báo của mình Hansbước đầu đã đưa ra các điều kiện đảm bảo một ánh xạ ngẫu nhiên có điểmbất động ngẫu nhiên dưới dạng xấp xỉ đến nghiệm của phương trình ngẫunhiên

Cùng với sự phát triển của các định lý điểm bất động trong trường hợptất định, các định lý điểm bất động ngẫu nhiên cũng đã bắt đầu được nghiêncứu nhiều sau bài báo của Hans Năm 1976 trong bài báo tổng quan củamình, tác giả Bharucha Reid đã chứng minh định lý điểm bất động cho toán

tử co ngẫu nhiên

kT (ω, x) − T (ω, y)k ≤ k (ω) kx − yk

để phương trình có nghiệm

giá trị thực bị chặn h.c.c Khi đó với mỗi số thực λ 6= 0 sao cho k(ω) < |λ|

ngẫu nhiên của định lý điểm bất động Schauder, tức là đưa ra điều kiện đểmột toán tử ngẫu nhiên liên tục có điểm bất động ngẫu nhiên

đã chứng minh định lý điểm bất động ngẫu nhiên cho toán tử co ngẫu nhiên

đa trị

điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên compact

chứng minh đầu tiên về mối liên hệ giữa điểm bất động tất định và điểmbất động ngẫu nhiên Không gian Suslin là không gian tôpô Hausdorff và

là ảnh liên tục của không gian Polish Tập con Suslin của không gian tôpô

là không gian con của không gian tôpô và cũng là không gian Suslin Ký

1.2.7 Định lý ([54]) Cho (Ω, Σ) là không gian đo, Σ là họ Suslin vàX0 là

để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên nếu dãy lặp hội

tụ trong không gian Hilbert

trường hợp toán tử ngẫu nhiên đa trị

sao cho

pháp lặp để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tửngẫu nhiên co yếu

trong đó f : [0; +∞) → [0; +∞) là hàm liên tục, không giảm, f (t) = 0 khi

nhiên

định lý về các quá trình lặp đến điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên coyếu

(xem ([38])), xác định bởi công thức

pháp hàm chọn của ánh xạ đa trị đã chứng minh kết quả sau đối với phươngtrình toán tử ngẫu nhiên

nghiệm ngẫu nhiên

Từ định lý này, các tác giả đã thu được kết quả sau chỉ ra mối liên hệgiữa sự tồn tại điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên

định

Định lý 1.2.13 cho thấy đối với trường hợp toán tử ngẫu nhiên đo được,vấn đề tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên tương đương với sự tồn tại điểm

đã được nghiên cứu gần như đầy đủ với số lượng rất lớn các công trình đã

tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên đo được mà sử

dụng kết quả trong trường hợp tất định kết hợp với định lý hàm chọn đếnđây không còn nhận được nhiều sự quan tâm nữa Vì thế, để đưa ra các kếtquả về điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên đo được, các tác giả thườngchứng minh trực tiếp thông qua phương pháp dãy lặp mà không sử dụngcách chứng minh dựa trên định lý hàm chọn như trước Đến bây giờ nhiềudạng dãy lặp đã được sử dụng, điển hình là các dãy lặp Picard, dãy lặpMann, dãy lặp Ishikawa, dãy lặp ba bước, dãy lặp ẩn, Sử dụng phươngpháp lặp, số các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên được chứng minhphong phú hơn rất nhiều so với sử dụng phương pháp hàm chọn.

Tiếp theo sự xuất hiện bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên vàtoán tử ngẫu nhiên đa trị, bài toán điểm trùng nhau của các toán tử ngẫunhiên cũng đã được quan tâm đến Lần lượt nhiều công trình đã đưa ra cáckết quả quan trọng về điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên

H (S (ω, x) , T (ω, x)) ≤ α (ω) max {d (f (ω, x) , f (ω, y)) ,

d (f (ω, x) , S (ω, x)) , d (f (ω, y) , S (ω, y)) , [d (f (ω, x) , T (ω, y)) + d (f (ω, y) , T (ω, x))] /2}

(1.13)

Dựa trên phương pháp lặp, năm 1994 các tác giả Beg, Shahzad đã chứngminh định lý về điểm trùng nhau của một toán tử ngẫu nhiên và một toán

tử ngẫu nhiên đa trị

ω ∈ Ω,

các khái niệm cơ bản và các phương pháp đã được sử dụng để chứng minh

sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên Ngoài

ra, chúng tôi cũng đã trình bày một cách tổng quan các kết quả đã nhậnđược trong quá trình hình thành và phát triển của bài toán điểm bất độngngẫu nhiên và điểm trùng nhau ngẫu nhiên

CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA CÁC

TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN

Chương này trình bày kết quả về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thànhtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Tiếp theo các kết quả về điểm bất động vàđiểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được xét đến Chú ýrằng định lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toànngẫu nhiên không được suy ra một cách trực tiếp từ các định lý tương ứngtrong trường hợp tất định, hay trong trường hợp ngẫu nhiên

Do đó ta có thể xét

là tập con các biến ngẫu nhiên suy biến (biến ngẫu nhiên nhận giá trị cụ

được với nhiều metric khác nhau (sự hội tụ theo các metric đó tương đương

hai không gian metric Tuy nhiên ở đây chúng ta xét đến góc độ xác suất

Sau đây ta xét đến định nghĩa toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

h.c.c

x ∈ X

sao liên tục Khi đó tồn tại toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục

ngẫu nhiên

(1-Lipschitz xác suất)

2.1.5 Mệnh đề Cho Φ : LX0 (Ω) → LY0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu

Định lý sau trình bày về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên co yếu Định lý điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên coyếu là mở rộng của định lý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên co

P (kΦu(ω) − Φv(ω)k > t)

Đối với toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các điều kiện co yếu và điều kiện

co yếu xác suất không phải là mở rộng hiển nhiên của nhau Sau đây định

lý về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu xác suất đượcxét đến

2.2.4 Định lý Cho Φ là toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên f (t)-co yếu xác

1) Nếu Φ có điểm bất động thì nó có duy nhất điểm bất động Hơn

Ngoài việc xét đến các điều kiện phía bên trong biểu thức xác suất, trongphần này các điều kiện về hàm được xét đến Khi đó ta nhận được các định

2.2.12 Định lý Cho X là không gian Banach khả ly và Φ : LX0 (Ω) →

(b) Φ(LX0 (Ω)) ⊂ Ψ(LX0 (Ω));

Cùng với định lý về điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(f, q)-co xác suất, các định lý về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn

Kết luận: Trong chương này, chúng tôi xét đến vấn đề mở rộng toán

tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Chúng tôi chứng minhđịnh lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.Chúng tôi xét đến tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫunhiên Bằng phương pháp dãy lặp chúng tôi đã chỉ được các điều kiện đủ,điều kiện cần và đủ để khẳng định sự tồn tại điểm bất động của các dạngtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu, toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên co yếu

Tiếp theo chúng tôi xét đến vấn đề điểm trùng nhau của các toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên Chúng tôi đã đưa ra các điều kiện đảm bảo cho để cáctoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có điểm trùng nhau, đó là các điều kiện dạng

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG VÀO PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ HOÀN TOÀN

NGẪU NHIÊN

Với mục đích mở rộng các vấn đề về phương trình toán tử trong trường hợptất định, có nhiều công trình đã xét đến các bài toán đối với phương trìnhtoán tử ngẫu nhiên Trong chương này, ta quan tâm đến các dạng phươngtrình toán tử được xây dựng đối với các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Đầu tiên, ta xét đến khái niệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

Một số dạng đặc biệt của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có

biệt

mãn các điều kiện sau

Trong phần này, ta xét đến một số định lý điểm bất động của toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên Các định lý này là hệ quả của các định lý về điểm trùngnhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

3.2.1 Định lý Cho Φ : LX0 (Ω) → LX0 (Ω) là toán tử hoàn toàn ngẫu

Khi đó

Khi đó Φ và Ψ có duy nhất điểm bất động chung khi và chỉ khi tồn tại

ngẫu nhiên thỏa mãn

Khi đó phương trình (3.20) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

(3.12) hoặc (3.13) và q là số dương Xét phương trình ngẫu nhiên códạng

Khi đó phương trình (3.26) có duy nhất nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

M = sup

t>0

ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện sau

Khi đó phương trình ngẫu nhiên (3.30) có duy nhất nghiệm khi và chỉ

lý điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.Chúng tôi chỉ ra từ các định lý về điểm bất động và điểm trùng nhau, cóthể chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình toán tử hoàntoàn ngẫu nhiên Bên cạnh đó, dựa trên các kết quả về điểm trùng nhaucủa các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, ta có thể nhận lại được các kết quả

về điểm bất động

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

toàn ngẫu nhiên, đưa ra các tiêu chuẩn về sự liên tục theo xác suất củatoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các dạngtoán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

cứu những vấn đề sau

toàn ngẫu nhiên, xét đến trường hợp toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

từ một tập con nào của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị vàochính nó

pháp khác để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên, điểm trùngnhau ngẫu nhiên ngoài phương pháp lặp đã có

có điểm bất động ngẫu nhiên, các điều kiện đảm bảo sự tồn tại điểmtrùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các điềukiện để phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên có nghiệm ngẫunhiên

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN

QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1 Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Random fixed points of completely

random operators", Random Oper Stoch Equ 21 (1), 1 - 20

2 Dang Hung Thang, Pham The Anh (2013), "Some results on random fixed points

of completely random operators", Vietnam J Math., DOI

10.1007/s10013-013-0037-z

3 Dang Hung Thang, Pham The Anh (2014), "Some results on random coincidence

points of completely random operators", Acta Mathematica Vietnamica, DOI 10.1007/s40306-014-0051-6

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI

1 Bộ môn Xác suất – Thống kê, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại