điểm bất động của ánh xạ không giãn và ứng dụng

MỞ ĐẦUĐịnh lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động.. Nhiều định lí

ƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

QUÁCH THỊ LỆ HẰNG

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh – 2011

MỞ ĐẦU

Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co là định lí điểm bất động được tìm ra sớm nhất và cho đến nay vẫn là định lí cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động Định lí này không chỉ cho biết sự tồn tại điểm bất động mà còn chỉ ra một dãy lập đơn giản hội tụ về nó

Vì vậy, định lí Banach tìm được những ứng dụng đa dạng trong nghiên cứu định tính và giải

số cho nhiều lớp phương trình xuất phát từ nhiều lĩnh vực khoa học

Do sự quan trọng của ánh xạ co, lớp ánh xạ này đã được mở rộng theo nhiều hướng khác nhau Lớp ánh xạ không giãn là một mở rộng tự nhiên và quan trọng nhất của lớp ánh xạ

co Các nghiên cứu đầu tiên về ánh xạ không giãn được bắt đầu từ năm 1965 trong các công trình Browder, Gôhde, Kirk và được tiếp tục cho đến nay Nhiều định lí về tồn tại điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn đã được tìm ra, đầu tiên là xét trong không gian Hilbert, sau

đó là không gian Banach có tính chất hình học tốt như lồi đều , có chuẩn khả vi… Bên cạnh

đó, các dãy lặp đa dạng hội tụ về điểm bất động đã được xây dựng khá hoàn chỉnh Nó tìm được những ứng dụng đa dạng và sâu sắc trong lý thuyết phương tình vi phân, tích phân, trong giải tích số, lý thuyết xác suất thống kê,…

Luận văn giới thiệu những kết quả lí thuyết ban đầu về tồn tại điểm bất động của ánh

xạ không giãn, điểm bất động chung của họ các ánh xạ không giãn, về dãy lặp hội tụ về điểm bất động của ánh xạ không giãn… Luận văn gồm 3 chương:

U

Chương 1U: Hệ thống lại các kết quả quan trọng trong không gian Hilbert, Banach có sử dụng

trong các chứng minh của chương 2,3;

U

Chương 2U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian

Hilbert;

U

Chương 3U: Trình bày các kết quả về điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian

Banach lồi đều, có chuẩn khả vi

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Suy ra G là tập mở trong X hay f + g là hàm nửa liên tục dưới trên X

(ii) Chứng minh hàm α f là hàm nửa liên tục dưới trên X

Nếu α =0 thì ta được α f là hàm nửa liên tục dưới trên X

Nếu α >0, với mọi a∈ ¡ , ta có

(iii) Chứng minh hàm sup i( )

a a

do vậy, tồn tại b = inf { f x ( ) : x ∈ X }

Giả sử, f x ( ) > b với mọi x ∈ X , khi đó

( )

1

1 :

m i

( ) '

f x > b với mọi x ∈ X

suy ra b = inf { f x ( ) : x ∈ X } ≥ > b ' b (mâu thuẩn)

do vậy, tồn tại x o∈X sao cho f x ( )o = inf { f x ( ) : x ∈ X }▄

( ) ( 1 1 2) ( ) (1 1 ) ( )2

fα tx + − t x < tfα x + − t fα x

Do đó

Nếu 0 ≤ < r 1 thì ánh xạ T C : → E được gọi là ánh xạ co

Nếu r = 1 thì ánh xạ T C : → E được gọi là ánh xạ không giãn

1.10 Định lí (Nguyên lí điểm bất động của ánh xạ co)

Cho không gian BanachH, nếu ánh xạ : f H → H là ánh xạ co thì ánh xạ

Theo giả thuyết, 0 ≤ < r 1, nên { } xn là dãy Cauchy trong không gian Banach X ,

vì vậy, có x o∈X sao cho o lim n

do f X : → −∞ ∞ ( , ] lồi, nửa liên tục dưới trên X nên C a là tập lồi, đóng mạnh với x o∈X C\ a thì { } xo và C a thỏa định lí tách nên tồn tại *

khi đó, x o thuộc tập mở yếu { x ∈ X : re ϕ ( ) x < α } ⊂ X C \ a hay tập X C\ a

mở yếu Điều này tương đương với C a là tập lồi, đóng yếu

nghĩa là hàm f X : → −∞ ∞ ( , ] lồi, nửa liên tục dưới yếu trên X (1.1.11a)

Cố định c ∈ X sao cho f c ( ) = < ∞ b , xét tập C = ∈ { x X f x : ( ) ≤ b }

theo chứng minh trên, tập C = ∈ { x X f x : ( ) ≤ b } đóng yếu

mặt khác, tập C = ∈ { x X f x : ( ) ≤ b } bị chặn, vì nếu không thì tồn tại dãy không

bị chặn { } xn ⊂ C, kéo do đó, có dãy con { } xn i ⊂ { } xn sao cho lim

Nếu C > 0 thay r = B C / vào (1.1.12b) , ta được ( ) x y , ≤ x y ▄

( ) ( ) ,

f x = x y cho mọi x ∈ H

Chứng minh Nếu f x ( ) = 0 , ∀ ∈ x H thì f x ( ) ( ) = x ,0

Giả sử ∃ ∈ x H f x : ( ) ≠ 0, đặt M = ∈ { x H f x : ( ) = 0 } Do tính tuyến tính, liên

tục của f nên M là không gian con đóng của H

 g là hàm nửa liên tục dưới trên C (theo 1.1.2)

 g là hàm lồi ngặt trên C (theo 1.1.6)

g z( )n → ∞ khi z n → ∞

áp dụng định lí (1.1.11), tồn tại x o∈C sao cho

g x ( )o = min { g z ( ) : z ∈ C } (1.1.15d)

Ta cần chứng minh x o∈Cxác định như trên là duy nhất

Thật vậy, đặt ( )o limsup n o min { ( ) : }

1.16 Hệ quả:( suy ra trực tiếp từ định lí 1.1.15)

Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H Với x ∈ H , tồn tại duy nhất x o ∈ sao cho C

( ; )

o

x − x = d x C

1.17 Định nghĩa:

Cho C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H; ánh xạ P H : → C Do

hệ quả 1.1.16, cho mọi x ∈ Htồn tại duy nhất phần tử Px ∈ Csao cho

(i) P2 =P; Px− Py ≤ − x y với mọi x y , ∈ H

Chương 2: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN

HILBERT

2.1 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

2.1.1 UĐịnh lí U(Điểm bất động ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert)

Cho C là tập con lồi, đóng, không rỗng của không gian Hilbert H; ánh xạ

:

T C → C không giãn Các mệnh đề sau tương đương

(a) Tập F(T) các điểm bất động của ánh xạ T không rỗng

(b) Với mọi x ∈ C, dãy { }n

T x bị chặn

Hơn nữa, trong trường hợp này F(T) là tập lồi, đóng

( ) ( ) a ⇒ b : Do F(T) không rỗng nên tồn tại u ∈ F T ( )

Khi đó u = Tu kéo theo { }n { }

T x bị chặn nên { } S xn bị chặn Lại có { } S xn là dãy trong C mà C là tập

lồi đóng của không gian Hilbert H nên { } S xn là tập con compact yếu Do đó,

{ } S xn có dãy con { } S xn i hội tụ yếu về phần tử p ∈ C Vì vậy, ta có

kéo theo

2

0

Tp − p ≤ Hay Tp = p hay p ∈ F T ( ) hay F T ( ) ≠ ∅

Tiếp theo, ta chứng minh F(T) là tập lồi, đóng

Điều này vô lí, do vậy Tz = z hay z ∈ F T ( ) Hay F(T) là tập lồi ▄

2.1.2 UHệ quả:U ( suy ra trực tiếp từ 1Tđịnh lí1T 2.1.1 )

Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ

:

T C → C không giãn Khi đó, T có một điểm bất động trong C

2.2 Định lí egrodic phi tuyến của Ballion

2.2.1 UĐịnh lí U( Định lí hội tụ của Browder )

Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H; ánh xạ

(ii) Dãy { } un hội tụ mạnh đến Px o∈F T( ), P C : → F T ( ) là phép chiếu mêtric trên F(T)

Suy ra, T C n: →C là ánh xạ co Nên T n có duy nhất điểm bất động u n∈C

(ii) Để chứng minh u n →Px o, ta cần chứng minh: Nếu { } un i là dãy con bất kì của

dãy { } un thì { } un i có một dãy con hội tụ về u o =Px o∈F T( )

Đặt vi = un i, do mọi v i đều thuộc tập compact C, không mất tính tổng quát, giả sử

Điều này vô lí nên Tv = v Tiếp theo, ta chứng minh v i →u o =Px o

Với mọi i, v i là điểm bất động của Tn i nên ta có

Vì T là ánh xạ không giãn nên ( Uvi − Uu vo; i − uo) ≥ 0 dẫn đến

Theo trên, v i →v nên v i →u o hay v i →Px o ▄

2.2.2 UBổ đề:U ( vai trò chủ yếu trong chứng minh định lí ergodic phi tuyến )

Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ T C : → C

không giã n Giả sử, F(T) không rỗng, P là phép chiếu mêtric trên F(T)

Khi đó, với mọi x ∈ Cthì dãy {PT x hội tụ mạnh trong n } F T ( )

2.2.3 UĐịnh lí U(Định lí ergodic phi tuyến của Ballion)

Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ T C : → C

không giãn Khi đó, các mệnh đề sau tương đương:

{ } S xn là dãy bị chặn nên { } S xn có dãy con { } S xn i hội tụ yếu về v ∈ C

Để chứng minh { } S xn hội tụ yếu trong F T ( ) ta cần chứng minh p = v

Thật vậy: Với u ∈ F T ( ) ta có (T x k −PT x PT x k ; k −u)≥0 nên

Hay Qx − Qy ≤ − x y Do đó Q là ánh xạ không giãn

(i) Với mọi x ∈ C thì

(ii) Với mọi x ∈ C n , = 1, 2,3 thì

Qx ∈ F T ( ) nên TQx = Qx hay TQ = Q hay T Qn = Q

2.2.4 UĐịnh lí U (sự hội tụ yếu của { }n

T x với T là ánh xạ không giãn)

Cho C là tập con lồi, đóng, trong không gian Hilbert H; ánh xạ T C : → C

là ánh xạ không giãn Với mọi x∈C , các mệnh đề sau tương đương:

(a) { }T x hội tụ yếu n

(b) Nếu F T ( ) ≠ ∅ và dãy con { }n i

T x của { }n

T x hội tụ yếu về y ∈ C thì ta được y ∈ F T ( )

Chứng minh

( ) ( ) a ⇒ b : Giả sử, { }n

T x hội tụ yếu về x o và xo∉ F T ( ) Theo định lí 1.1.20, ta có

PT x hội tụ mạnh về z ∈ F T ( ), với P là phép chiếu lên F T ( ), Theo định lí (1.1.19), ta được Py = z mà y ∈ F T ( ) nên Py = y hay y = z

Do đó, mọi dãy con { }n i

thì dãy { }n

T x hội tụ yếu về z F T ∈ ( )

Chứng minh Với mọi x ∈ C , do F T ( ) ≠ ∅, theo định lí (2.2.4) thì { }n

T x bị chặn Nên { }n

Cho C là tập con lồi đóng trong không gian Hilbert H Họ các ánh xạ

{ T Ct : → C t , ∈ S } gọi là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn

từ C vào C nếu S thỏa mãn các điều kiện sau:

(i) với mọi t s , ∈ S x ; ∈ Cthì T x ts =T T x t s

(ii) với mọi x ∈ C , ánh xạ s a T x s từ S vào C liên tục

(iii) với mọi t ∈ S x y ; , ∈ Cthì T x T yt − t ≤ − x y

( ) t ,

u t = T x ∀ ∈ t S

Ta được u S : → C là hàm liên tục với chuẩn sups S∈ u s ( ) < +∞

Vì vậy, theo định lí Riesz tồn tại duy nhất x o∈C sao cho

0 ≤ − T xs o − xo hay T xs( )o = xo hay xo∈ F S ( ) hay F S ( ) ≠ ∅

( ) ( ) c ⇒ b : Cho xo∈ F S ( ), với mọi x ∈ C t , ∈ S, ta có

2.3.9 UĐịnh líU:

Cho S thỏa định nghĩa 2.3.1 sao cho trên C(S) xác định một trung bình bất biến µ, C là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H, họ { T Ct : → C t , ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C và F S ( ) ≠ ∅ Khi đó, Tµ thỏa mãn

(i) T Tµ t = T Tt µ = Tµ cho mọi t ∈ S

(ii) Tµ:C→F S( ) là ánh xạ không giãn Nghĩa là

(i)U: Theo định nghĩa Tµ, định lí 2.3.7, rỏ ràng Tµ :C →F S( ) thỏa mãn

2.3.10 UĐịnh nghĩa

a) Nửa nhóm S thỏa định nghĩa 2.3.1 được gọi là khả nghịch trái nếu bất kì hai ideals phải đóng của S đều giao nhau Khi đó, ( S , ≤ ) là tập có thứ tự với quan hệ thứ tự " " ≤ xác định trên S được xác định bởi

a ≤ b ⇔ b ∪ bS ⊂ a ∪ aS

Ta có các tính chất sau:

(i) a ≤ a cho mọi a ∈ S

(ii) a ≤ b b , ≤ c kéo theo a ≤ c cho mọi a b c , , ∈ S

(iii) Nếu S khả nghịch trái thì aS bS∩ ≠ ∅ cho mọi a b , ∈ S

(iv) S khả nghịch trái, mọi a b , ∈ S a , ≤ b tồn tại c ∈ S sao cho a ≤ c b , ≤ c

Do vậy, tồn tại c ∈ S sao cho a ≤ c b , ≤ c ▄

b) Tương tự, nửa nhóm S thỏa định nghĩa 2.3.1 được gọi là khả nghịch phải nếu bất kì hai ideals trái đóng của S đều giao nhau

c) Nửa nhóm S được gọi là giao hoán khi và chỉ khi S khả nghịch trái và khả

nghịch phải

2.3.11 Định lí ( điểm bất động của nửa nhóm không giao hoán các ánh xạ không giãn)

Cho C là tập con lồi đóng của không gian Hilbert H, S thỏa định nghĩa 2.3.10a, họ các ánh xạ { T Ct : → C t , ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các

ánh xạ không giãn từ C vào C sao cho tập { T x ss : ∈ S } bị chặn tại ít nhất một

x ∈ C Khi đó, tồn tại x o ∈ sao cho C

Khi đó, g là hàm lồi, liên tục xác định trên C và nếu zn → ∞ thì g z ( )n → ∞

Theo định lí (1.1.11) tồn tại x o∈C sao cho

( )o min { ( ) : }

g x = g z z ∈ C

Theo chứng minh định lí (1.1.15), x o∈C xác định như trên là duy nhất

Cho mọi s ∈ S, khi đó

( s o) limsup t s o limsup st s o limsup t o ( )o

Do f s ( ) → c khi s → ∞R, theo định nghĩa (2.4.1), ta có

cho mọi ε > 0 tồn tại w ∈ S sao cho

xạ không giãn từ C vào C và F S ( ) ≠ ∅ Khi đó, cho hai trung bình bất biếnµ λ , xác định trên C S ( ) thì Tµ = Tλ

khi s→ ∞ R thu được PT xs − → q 0 (2.4.4d)

áp dụng bổ đề (2.4.2), với mọi trung bình bất biến trái λ xác định trên C S có ( )

λt(PT x y t , ) ( )= q y, cho mọi y H∈ (2.4.4e) Theo định lí (2.3.9), ta có T xλ ∈F S( ) và áp dụng định lí (1.1.18) ta được

2.4.6 UĐịnh líU( Định lí Egrodic phi tuyến tổng quát trong không gian Hilbert)

Cho S là thỏa định nghĩa 2.3.1, C là tập con lồi, đóng của không gian Hilbert H Họ các ánh xạ { T Ct : → C t , ∈ S } là biểu diễn liên tục của S bởi các ánh xạ không giãn từ C vào C thỏa F S ( ) ≠ ∅ Nếu lưới { µ αα : ∈ I } của các hàm trung bình xác định trên C(S) là bất biến tiệm cận thì với mọi x ∈ C,

{ } T xµα hội tụ yếu về x0∈ F S ( )

Trong trường hợp này, đặt Q C : → F S ( ) sao cho Q x ( ) = x0 Khi đó, Q là ánh xạ không giãn thỏa mãn

(i) QT t =T Q t = Q cho mọi t ∈ S

(ii) Qx ∈ co T x t { t : ∈ S } cho mọi x ∈ C

Chứng minh Theo tôpô * yếu, lưới { µ αα : ∈ I } của các hàm trung bình xác định trên C(S) có

vì ε > 0 tùy ý nên µ ( ) f = µ ( ) l fs hay µ là trung bình bất biến trái

tương tự, ta cũng chứng minh được µ là trung bình bất biến phải

kết hợp lại, ta được µ là trung bình bất biến xác định trên C(S)

Đặt Q = Tµ, theo định lí 2.3.9, Q là ánh xạ không giãn từ C vào F S ( ) thỏa mãn

(i) QT t =T Q t =Q cho mọi t ∈ S

(ii) Qx ∈ co T x t { t : ∈ S } cho mọi x ∈ C

Lưới { Tµα : α ∈ I } bị chặn trong C nên có lưới con { : }

µ α ∈ thì λ cũng là điểm tụ của lưới

{ µ αα: ∈ I } nên λ là trung bình bất biến xác định trên C(S)

Chương 3: ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN

BANACH

3.1 Điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach

3.1.1 Định nghĩa

Cho E là không gian Banach

a E được gọi là lồi ngặt nếu với mọi x y , ∈ E độc lập tuyến tính thì

→

+ −

tồn tại Khi đó, ta cũng nói chuẩn của E khả vi Gateaux

e Ta nói chuẩn của E khả vi Gateaux đều nếu với mọi y ∈ S E ( ) giới hạn

0

lim

t

x ty x t

→

+ −

xảy ra đều đối với x ∈ S E ( )

f Ta nói chuẩn của E khả vi Frechet nếu với mọi x ∈ S E ( ) giới hạn

0

lim

t

x ty x t

→

+ −

xảy ra đều đối với y ∈ S E ( )

g Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu giới hạn

0

lim

t

x ty x t

→

+ −

xảy ra đều đối với x y , ∈ S E ( )

3.1.2 UĐịnh líU(v ề không gian Banach lồi đều)

Không gian Banach E lồi đều tương đương với

hai kết quả này mâu thuẩn nhau nên ta được E là không gian lồi đều

(ii) Giả sử x ≤r y, ≤r x, −y ≥ > khi đó ε 0

Do E lồi đều nên 0 1

3.1.3 UĐịnh lí U( Tính chất của ánh xạ không giãn )

Cho C là tập con lồi đóng của không gian Banach E, ánh xạ T C : → C là ánh xạ không giãn Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

Kéo theo, Tz ∈ M hay M bất biến qua T

( ) ( ) b ⇒ c : Xét tập con M của C không rỗng, lồi, đóng, bị chặn và bất biến qua T

Khi đó, T n là ánh xạ co, vì vậy, có duy nhất x n∈M sao cho T x n n = x n

Do M bị chặn nên { } xn bị chặn và hơn nữa

Cho giới hạn Banach µ , xét hàm h C : → ¡ cho bởi

Cho mọi f ∈ S E ( ) * , x ∈ C ta được

n n

T x n

→∞ = , nên, lim 0

n n

T x f n

3.1.5 UĐịnh nghĩa

Cho C là tập con lồi đóng của không gian Banach E Tập C được gọi là tập hầu như có tính chất điểm bất động đối với các ánh xạ không giãn nếu cho mọi ánh xạ không giãn T C : → C ta có

(a) Điểm x ∈ K được gọi là điểm đường kính của K nếu r Kx( ) = δ ( ) K

(b) C là tập con lồi đóng của không gian Banach E C được gọi là có cấu trúc chuẩn tắc nếu mỗi tập con lồi, đóng, bị chặn K của C mà trong K chứa ít nhất hai điểm thì có phần tử trong K không là điểm đường kính của K

3.1.8 UNhận xét

(a) Mọi tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach E lồi đều có cấu

trúc chuẩn tắc

Chứng minh Giả sử D ⊂ E, D là tập lồi, đóng, bị chặn và tập F ⊂ D là tập lồi đóng có ít nhất 2 phần tử, ta cần chứng minh r F ( ) < δ ( ) F