bat dang thuc va chung minh bat dang thuc

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC... Nội dung Bài học:I Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng thức: II Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối: III Bất đẳng thức giữa trung bình

CHÀO MỪNG CÁC BẠN 10A01!

BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ CHỨNG MINH BẤT

ĐẲNG THỨC

Nội dung Bài học:

I) Ôn tập và bổ sung tính chất của bất đẳng

thức:

II) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân:

I)Ôn tập và bổ sung tính chất của

bất đẳng thức:

bất đẳng thức:

a)Ôn Tập:

- Giả sử a và b là hai số thực Các mệnh đề “a>b”,

“a<b”, “a≥b”, “a≤b” được gọi là những bất đẳng thức.

- Cũng như các mệnh đề logic khác, một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai.

- Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh

bất đẳng thức đó đúng.

- Dưới đây là một số tính chất đã biết của bất đẳng thức:

1)Tính chất bắc cầu:a>b và b>c a>c 2)Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:

3)Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân: -Nếu c>0 thì a>b

-Nếu c<0 thì a>b

ac bc

ac bc

⇔ <

⇔

b)Bổ sung tính chất BĐT:

và

0

a b > ≥

a b > c d > ⇒ + > + a c b d

a c b + > ⇔ > − a b c

0

a b > ≥ c d > ≥ ⇒ 0 ac bd >

0

a b > ≥ ⇔ a > b

3 3

a b > ⇔ a + b

n

n b a

n ∈ Ν * ⇒ >

và

và

- Nếu A,B là những mệnh đề chứa biến thì “A>B” là một mệnh đề chứa biến Chứng minh BĐT A>B(với điều kiện nào đó của các biến), nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến A>B đứng với các giá trị của các biến (thoả mãn điều kiện đó)

- Từ nay,ta quy ước: Khi nói ta có BĐT A>B (trong đó A và

B là những biểu thức chứa biến) mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng BĐt đó xảy ra với mọi giá trị của biến thuộc ¡

Ví Dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì

Bởi vì a>0,b>0,c>0 nên abc>0 Do đó:

Chứng Minh

bc ac ab

a b c

a + b + c ≥ + +

(bc ac ab) ( )

abc abc a b c

a b c

⇔ + + ≥ + +

bc ac ab

a b c

a + b + c ≥ + +

( )bc ( )ac ( )ab ( )( ) ( )( ) ( )( )ab ac ab bc ac bc

Vậy Bất Đẳng thức cần chứng mình đúng.

2[( )bc ( )ac ( ) ] 2[( )( ) ( )( ) ( )( )]ab ab ac ab bc ac bc

II Bất Đẳng thức về giá trị tuyệt đối:

Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta suy ra các tính chất sau đây:

với mọi

(với a > 0)

hoặc x > a (với a > 0)

a a a

x < ⇔ − < < a a x a

x > ⇔ < − a x a

Sau đây là hai BĐT quan trọng khác về gía trị tuyệt đối

(viết dưới dạng BĐT kép):

Với mọi số thực a,b ta có:

a − ≤ + ≤ + b a b a b

Chứng minh : a b + ≤ + a b

ab ab

⇔ ≤

a − ≤ + ≤ +b a b a b

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có bất đẳng thức cần chứng minh

III) Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và

trung bình nhân( Bất đẳng thức Cô-si)

a) Đối với hai số không âm:

Với mọi a≥ 0, b≥ 0 ta có:

2

a b

ab

+ ≥

Trung bình cộng của hay số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng.

hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng

Trung bình cộng của hai số không âm bằng

trung bình nhân của chúng khi và chỉ khi hai số

đó bằng nhau

đó bằng nhau

Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b

Hệ Quả

- Nếu hai số dương thay

đổi nhưng có tổng không

đổi thì tích của chúng lớn

nhất khi và chỉ khi hai số

đó bằng nhau

- Nếu hai số dương thay đổi

nhưng có tích không đổi

thì tổng của chúng nhỏ

nhất khi và chỉ khi hai số

đó bằng nhau

Ứng Dụng

- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi hình vuông có diện tích lớn nhất

- Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu

vi nhỏ nhất

Chứng Minh Hệ Quả 1

2

x y

xy

4

S

xy ≤

2

S

=

Giả sử hai số dương x và y Tổng x+y= S không đôỉ

Ta có:

nên

Do đó tích xy đạt gía trị lớn nhất là khi và chỉ x=y=

Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y

2

S

Chứng Minh Hệ Quả 2

Giả sử hai số dương x và y có tích xy=P không đổi

2

x y

xy

+ ≥ = P nên x y + ≥ 2 P

Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi x=y.

Do đó tổng x+y đạt gía trị nhỏ nhất bằng 2 P

khi và chỉ khi x=y= P

Ví Dụ2: Trong hình bên,

cho AH=a, BH=b Hãy tính

các đoạn OD và HC theo a

và b Từ đó suy ra bất

đẳng thức giữa trung bình

cộng và trung bình nhân

của a và b.

Trong đt(O) có AB là đường kính

D

C

HC = AH BH = ab

Theo hệ thức lượng trong tam giác

Bài giải

Tương tự: Trong VADB 2 2 ( ) 2

2

a b

OD = OA OB R= = +

2

2

2

4 ( )

2

a b ab

a b ab

+

+

Dựa vào hình, ta thấy HC OD≤ ⇔ HC2 ≤ OD2

Suy ra: tam giác ABC vuông tại C

1 1

ABC

SV = HC BA = ab a b+ = R ab

ACBC ABC

S = SV = R ab

'

C

2

1

2

ABD

S∆ = OD AB R=

2

ADBD

S = R

2

a b

A

D

B

C

'

D

A

B

b) BĐT Co-si cho 3 số không âm:

Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0,c ≥ 0, ta có

Dấu “=“ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

3

3

a b c

abc

+ + ≥

Chứng Minh:

Đặt

3 3 3

a x

b y

c z

 =



=



 =



Ta có: • − ( x y )2 + − ( y z )2 + − ( x z )2 ≥ 0

⇔ + + − − − ≥

( x y z ) 0

• + + ≥

( x y z x + + )( + y + − − − z xy yz xz ) 0 ≥

⇒ + + − ≥

⇒ + + ≥

3 3 3

a x Thay b y

c z

 =



=



3 3

a b c

abc

+ + ≥

(1)

(2) (1),(2) ⇒

Mở Rộng:

Với hai cặp số (a;b) và (x;y) ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay=bx

2 2 2 2 2

Tạm Biệt!

 Tạm Biêt