Đè thi học sinh giỏi toán 12 từ năm 2003-2010

Chứng minh rằng đường thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểmphân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.. Chứng minh rằng khi M di động trên P thì đường thẳng MT luôn đi qua

Trang 2

Trường THPT Yên Mô B

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12

(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)





1 Chứng minh rằng đường thẳng y = m - x luôn cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểmphân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị Khi nào thì hai tiếp tuyến tại hai điểm đó songsong với nhau?

2 Tìm điểm A thuộc đồ thị hàm số đã cho sao cho tổng khoảng cách từ A đến hai trụctoạ độ nhỏ nhất

Câu 3.

1 Chứng minh rằng với mọi x, y ta có : x2.sin2y + cos2y + 2x(sinx + cosy) + x2 + 1 > 0

2 Trong các nghiệm của hệ

2 2

9 16 12

1 2

Trang 3

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2010 – 2011

MÔN THI: TOÁN – LỚP 12 – THPT

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi 22 tháng 3 năm 2011

và (SCD) khi thể tích của khối chóp S.ABCD là lớn nhất

2/ Cho tứ diện ABCD có 0 0

BAC  60 , CAD  120 Gọi E là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABD Chứng minh rằng tam giác ACE vuông

Trang 5

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 - 1

(Thời gian làm bài 180’)

ĐỀ SỐ 1

Câu 1: Chứng minh rằng hàm số y = x4- 6x2 + 4x + 6 luôn luôn có 3 cực trị đồng thời gốc toạ độ O là trọng tâm của các tam giác tạo bởi 3 đỉnh và 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số

Câu 2: Giải hệ phương trình

x+y = 4 z 1

y + z = 4 x 1

z + x = 4 y 1

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề các vuông góc oxy cho parabôn (P): y2

= 4x M là một điểm di động trên (P) M  0, T là một điểm trên (P) sao cho T  0, OT vuông góc với OM

a Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì đường thẳng MT luôn đi qua một điểm cố định

b Chứng minh rằng khi M di động trên (P) thì thì trung điểm I của MT chạy trên

1 pa ra bol cố định

Câu 4: Giải phương trình sau:

sinx + siny + sin (x+y) =

2

3 3

Câu 5: Cho dãy số In = 



 n n

dx x x

a



Trang 6

0 1) g(-1).g(

0 1) 2).g(- g(-

g(x) liên tục nên phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt thỏa mãn :

z + x = 4 y 1 (3)

áp dụng bất đẳng thức cosi tacó:

1 ).

1 4 ( 1

4z  z <

2

1 ) 1 4 ( z 

= 2z (1’) Tương tự 4 x 1 < 2x (2’) 4 y 1 < 2y (3’)

Từ (1’) ;(2’) ; (3’) và (1) ; (2) ; (3) suy ra

2(x+y+z) = 4z 1  4x 1  4y 1 < 2z + 2x + 2y (4)

Từ (4) suy ra:

4z - 1 = 1 (I) <=> 4x - 1 = 1 <=> x = y = z =

2

1

nghiệm đúng (I) 4y - 1 = 1

Vậy hệ (I) có nghiệm x = y = z =

2

1

Câu 3: (P): y2 = 4x

Trang 7

y OM

2 1 2 1

y - y 4

y - 4 y

4

y - x

1 2

1 2 2

2 1

 4x - y = (y12 1 + y 2 ) (y-y 1 )

 4x - (y 1 + y 2 ) y - 16 = 0  4(x- 4)- (y 1 + y 2 ) y= 0

Nên đường thẳng MT luôn đi qua điểm cố định J (4;0)

b (3điểm) Gọi I (x0, y0) là trung điểm MT thì

x0 = y y  8

2 2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki và từ (1) ta có

2

) 2

3 3 (

2 cos

2 1

cos (x-y) = 0

Trang 8

sinx = sin y = sin (x+y) =

2 3

 víi k , n Z

2n 3 y

2k 3 x

I

4n 2n

n x

x d

4

) (sin

= 



 n

n x

x

4

2 2

n

2

4 = -

1 4

k 

 



) 1 ( 2

2 2

) 1 2 (

2

sin

k k

) (

1 1

a



(1) với 1  a > 0 Trong hợp 1: a >1

Trang 9

1 ( 6

x

x x

> 0 , x > 1 Suy ra f(3)(x) đồng biến nên [1;+  )

Trang 10

Trường THPT chuyên ĐỀ KIỂM TRA MÔN TOÁN LỚP 12

Nguyễn Bỉnh Khiêm Thời gian : 45 phút

(Dành cho lớp chuyên Anh)

Bài 1) ( 8 điểm) Cho hàm số y =

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2) Xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :



 có đồ thị (C) Xác định m để đường thẳng d: y = m(x – 3) + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B thuộc hai

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software

http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.

Trang 11

Trang 12

Trang 13

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO PHÚ YÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Năm học 2010 – 2011

TỔ TOÁN MÔN TOÁN – LỚP 12

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

a/ Giải phương trình khi m = 1

b/ Tìm các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm

Bài 4: (4 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau, đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB = a, BC = a 2 Mặt phẳng (P) đi qua AB và chia tam giác SCD thành hai phần sao cho diện tích phần thứ nhất bằng 8 lần diện tích phần thứ hai (phần thứ hai là phần chứa đỉnh của hình chóp) Giả sử mp(P) vuông góc với mp(SCD), tính diện tích hình thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mp(P)

Trang 14

SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI ĐBSCL

b c d e c d e a d e a b e a b c a b c d 

Câu 2 (4đ)

Giải phương trình sau :

sin3 x  4 cos3 x  3 cos x

Câu 3 (4đ)

Cho dãy số (an) , n= 1,2,3… được xác định bởi a1  0, an1  can2  an

với n = 1,2,3 … Còn c là hằng số dương Chứng minh rằng :

1 .

Các cạnh AC,ADvàBC,BD của tứ diện ABCD tiếp xúc với mặt càu

S tâm I nằm trên cạnh AB bán kính R còn các cạnh CA,CBvà DA,DB

tiếp xúc với mặt cầu S’ tâm J nằm trên cạnh CD bán kính r

Trang 15

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HẬU GIANG

ĐỀ THI ĐBSCL MÔN TOÁN

Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua một điểm cố định

BÀI 4 (Hình học không gian)

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC nhọn Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại A lấy điểm S di động, gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC và SC, đường thẳng l đi qua K và H cắt đường thẳng d tại N Định điểm S trên d sao cho đoạn SN ngắn nhất

Trang 16

1

SỞ GD&ĐT BẾN TRE KỲ THI HỌC SINH GIỎI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẾN TRE ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG

ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN TOÁN

Thời gian: 180 phút Câu 1 (3đ) :

Cho một đường tròn với hai dây AB và CD không song song Đường vuông góc với AB kẻ

từ A cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại M và P Đường vuông góc với AB kẻ

từ B cắt đường vuông góc với CD kẻ từ C và từ D lần lượt tại Q và N Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC, MN đồng quy; các đường thẳng AC, BD, PQ đồng quy

1

2008 2009

Trang 17

Giáo viên dạy: Phan Hữu Thanh 1

SỞ GD VÀ ĐT ĐỒNG THÁP

Trường THPT Cao lãnh 2

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2009 - 2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 21 tháng 9 năm 2009

(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1: (3.0 điểm)

1.1 Cho hàm số

1x

2xy

sin

2 2 2

3 3

C tg B tg A tg C

tg B

tg A

Biết rằng P (x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3) Hãy tìm đa thức ấy.

4.2 Cho dãy số (u n ) xác định bởi:

u

3 1

3 2

5.2 Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức:       n

n n

2

1 , ,b c

b b a a

Câu 7: (3.0 điểm)

7.1 Trên mặt phẳng với hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxy cho các đường thẳng

0 3 :

; 0 6 :

; 0 4

3

1 xy  d xy  d x 

rằng A và C thuộc d 3 , B thuộc d 1 , D thuộc d 2

7.2 Cho hình chóp tam giác đều SABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6 Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AC, AB Tính thể tích hình chóp SAMN và bán

kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó./.Hết.

Trang 18

NĂM HỌC 2009 - 2010 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN

Ngày 21-9-2009

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có trang)

3.0 Câu 1

2.0 1.1 Phương trình tiếp tuyến.

0.25 Phương trình tiếp tuyến qua A (0;a) có dạng y =kx+a (1)

0.25 Điều kiện có hai tiếp tuyến qua A:

) 2 ( a kx 1 x

2 x

1 a 0 6 a 3 '

0 3 ) 1 (

1 a

0.25 Hoành độ tiếp điểm x1;x2 là nghiệm của (4) Tung độ tiếp điểm là

1 x

2 x y 1

1 1





1 x

2 x y 2

1 x (

) 2 x )(

2 x ( 0 y y

2 1

6 a 9 0 1 ) x x ( x

x

4 ) x x ( 2 x

x

2 1 2

1

2 1 2

0 2 sin 2

sin sin

0 2 sin 2

sin sin

0 2 sin

2 2

2

x

x x

x

x x

k x

, 2 3 2

2 3

A C

Trang 19

3 2 3

tan 3 502 tan

3 2007 tan

2.0 Câu 6

a c

c c b

b b a

a c b a F

2 1

1 5

7 ,

b ab

b a

1

; 1

; 3 ,

,b c

3.0 Câu 7

Trang 20

4 3

6

d

b d b

d

b Do đó B (2; 2), D(4;2), dẫn tới tâm hình vuông ABCD là I (3; 2) 0.25 Mặt khác A( 3 ;a) d3 và IA2 IB2 nên a 22  1 a  3 hoặc a = 1.

0.25 Bài toán có hai nghiệm hình: A(3; 3), (2; 2), (1; 3),B C D(4; 2); (1; 3), (2; 2), (3; 3),A B C D(4; 2)

1.5 7.2 Tính thể tích và tìm bán kính mặt cầu nội tiếp.

0.5 * Ta có:

2

3

SAMN SO S V

0.5 * Gọi r là bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp SAMN Sử dụng công thức:

0.5 S SAMN  rS AMN S ASN S SMN

3

1

, ta tính được:

2 2 4

3





r

Chú ý: Nếu học sinh có hướng giải quyết khác mà đúng và hợp lôgích thì vẫn chấm

điểm tối đa như hướng dẫn này Sai phần trên thì không chấm phần dưới.

Trang 21

NĂM HỌC 2009 - 2010

Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009 (buổi chiều)

(Đề thi gồm có: 01 trang)

Câu 1: (4.0 điểm)

1.1 Cho hàm số: yx3 (m 3 )x2  ( 2  3m)x 2m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng theo một thứ tự nào đó.

1.2 Cho hàm số

cos cos3

1

0 ( )

y x x x

2 3

2 1

Câu 3: (2.0 điểm)

3.1 Giải phương trình nghiệm nguyên: x y2 2x28y2 2xy (1)

3.2 Hàm y f(x)  xác định và có đạo hàm trên toàn trục số, thỏa mãn điều kiện:

f (1 2x) x f (1 x), x R       (*) Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y f(x)  tại điểm có hoành độ x 1 

1 lim

x x

n n n

y x

x

Câu 7: (4.0 điểm)

7.1 Cho đường thẳng ( d): x 2y 2  0 và hai điểm A ( 0; 1), B( 3; 4) Hãy tìm toạ độ điểm

M trên ( d) sao cho 2MA2 MB2 có giá trị nhỏ nhất.

7.2 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính

AD = 2a SA vuông góc với mp’ ( ABCD ) và SA = a 6

Trang 22

(Buổi chiều: Ngày 20-9-2009)

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 04 trang)

4.0 Câu 1

2.0 1.1 Tìm điểm M trên đồ thị (C) sao cho …

0.5 Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của PT:3 2

2 2 2

1 3 2

2 3 1

3 2 1

m m m

x x x

2

m m m thỏa yêu cầu bài toán.

2.0 1.2 Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0

3 cos cos 0 2

3 cos cos 0 0

3 cos 3 cos 3 cos cos

1 lim

0

) 0 ( ) ( lim ) 0 ( '

x

x x

e x

f x f f

x x x

x x x x

cos cos 3 2 sin 2 sin sin 2 sin

2 2

* x x k   x   k kZ

4

2 2 2 4

Vậy PT đã cho có 3 họ nghiệm.

; 2

5 1

; 2

5 1

; 2

5 1

; 1

Trang 23

1.5 4.1 Tìm giới hạn.

Vậy n 1 ; 2 Từ đó tìm được

8

45 ,

8

75 2

; 2

3

; 3

1 maxQ ab abc ab c  x y z 

SCD A

1.0 2 Tính diện tích thiết diện.

+ Thiết diện là hình thang vuông ( MN // PQ, MQ  MN )

6 ,

2

PQ a

MQ

2 6 2

a

Trang 24

NĂM HỌC 2009 - 2010

SÁNG Ngày thi: 20 tháng 9 năm 2009

2 Cho hàm số y x3 (m 1 )x2  (m 1 )x 1 Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số

m Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.

Câu 2: (5.0 điểm)

2.1 Giải phương trình:

8 1 3

6

3 cos cos 3 sin

x x x

3 3 2 2 2 A

B A

B tg

B A

C B B A

sin 4 1 sin 4 2 2

sin sin sin sin

CM ABC đều

Câu 4: (2.0 điểm)

Cho dãy số 1

2 1

2010 ( ) :

1

n

n n n

u u

n n

3 2 2 2 1 2

2 ).

1 (

3 2

n n

Trang 25

(Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm có 05 trang)

x

x x

M với x 0 > 1 là một điểm thoả mãn đề bài A và B là giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị với các tiệm cận đứng, tiệm cận xiên tương ứng, I( 1; 2) là giao điểm của hai tiệm cận.

0

0 , 2 1 ; 2 1

2 2

2  IA IB  IA IB  IA IB  

0.25 Kết luận: Chu vi tam giác AIB đạt giá trị nhỏ nhất ứng với    4 

4 4

2

1 2 2

; 2

1 1

1.5 1.2 Tìm giá trị của m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau.

ĐS Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán.

1.0 2.3 Giải phương trình nghiệm nguyên sau: yx – x 2 + y – x – 1 = 0 (3).

ĐS Thử lại ta được các nghiệm của (3) là: (x; y) = (- 2; - 3), (0; 1).

Trang 26

0.25  sinA sinB

0.25 Lập phương trình tương tự đối với điều kiện thứ hai của hệ, ta có sinB = sinC.

0.25 Suy ra điều cần chứng minh.

1.0 5.1 Số tạo thành có 5 vị trí Xét hai trường hợp

ĐS Theo quy tắc cộng, số các số phải tìm là: 1344  3360  4704

1.0 5.2 Chứng minh rằng: 12. 1 22. 2 32 3  2. n  (  1 ) 2n2

n n

1

n k

k n n

k

k n n

2 2

2.0 7.1 Phương trình đường tròn và giao điểm.

ĐS Vậy có hai giao điểm là M1( 10 ; 5 ) và M2( 6 ; 5 )

1.0 7.2 Chứng minh rằng: sin2 sin2 sin2  1

2 2 2 2

2 2 2

c b a c

b a







Trang 27

[VNMATH.COM]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12

(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y =

m x

m m x m

mx

+

+4+)1+(

2

1 Với m = -1 a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2,0đ)

b, Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất (2đ)

2 Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng một điểm cực trị thuộc góc phần tư (II)

và một điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) của mặt phẳng toạ độ (2,0đ)

2 Cho k, l, m là độ dài các đường trung tuyến của  ABC,

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp  đó:

Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp với E Hãy xác định:

vn+1 = u n v n

(n = 1, 2, 3, ) C/m Limn  + Un = Limn  + Vn (2,0đ)

2 Cho m > 0 a, b, c thoả mãn:

2+

m

a

+

1+

+ bx + c = 0 có ít nhất 1 nghiệm x  (0,1) (2,0đ)

Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a M là một điểm di động trong

không gian sao cho M nhìn AB và AD dưới một góc vuông, gọi O là tâm của hình vuông

1 Chứng minh M luôn luôn di động trên một đường tròn  cố định (1,0đ)

2  là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mặt phẳng ABCD Kéo dài DM cắt  tại N CM góc ANB vuông (1,0đ)

3 Đặt DM = x Tính MN theo a và x Tìm miền biến thiên của x, từ đó suy ra điều kiện của hằng số k để tồn tại x thoả mãn MN = k (1,0đ)

4 Tìm giá trị lớn nhất của VABND (1,0đ)

-Hết-

Trang 28

[VNMATH.COM]

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN

Đề thi học sinh giỏi khối 12

Câu 1 6,00đ 1 Với m = 1

a Khảo sát, vẽ đồ thị (2,0đ)

Trình bày đầy đủ, đúng các các bước và có nhận xét Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng Thiếu một bước trừ từ 1/4 đến 1/2 điểm tuỳ lỗi nặng nhẹ

0.25đ

0.25đ 0.25đ

2 Viết được hàm số có 2 điểm cự trị nên phương trình y’

= 0 có 2 nghiệm phân biệt x1 < x2góc (II) và góc (IV) nằm về hai phía của oy  x1 < 0 < x2

Từ (*), (**), (***)  m <

55

0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ

0.25đ 0.25đ

1

=Cos3x +

Sin3x

0.25đ 0.25đ 0.25đ

Trang 29

+ b2 + c2 = 4R2(Sin2A + Sin2B + Sin2C) mà: 4(Sin2A + Sin2B + Sin2C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B) + 4(1 - Cos2C) = 8 + 4CosCCos(A-B) - 4Cos2C = 8 - Cos2(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)]  9



3

m+l+

0,50đ 0,25đ

Câu 3 3,00đ Đường thẳng Ax + By + C tiếp xúc với E

 A2a2 + B2b2 = C2

2 cạnh của Q có pt: Ax + By  C = 0 (A2a2 + B2b2 = C2) Khoảng cánh giữa chúng là: d1 = 2

2

B+A

C2

2 cạnh còn lại của Q có pt: Bx - Ay  D = 0 (A2a2 + B2b2

= D2) Khoảng cánh giữa chúng là: d2 = 2

2

B+A

D2

SQ = 2

2

B+A

CD4

)B+(A

)Ab+B)(abB+a(A

Theo Côsi (A2a2 + B2b2)(a2B2 + b2A2) 

2

)AB+Ba+bB+a

=

4

)b+)(aB+

 Tmin =

4

)b+

 Smin Q là vuông Lại có: theo Bunlia Copxki cho 2 dãy (Aa,Bb); (bA,aB)

 (A2a2 + B2b2)(b2A2 + a2B2)  (A2ab + B2ab)2 =

a2b2(A2+B2)2

 T  2 2 2

2 2 2 2 2

)B+(A

)B+(Aba

= a2b2 

A = 0

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,50đ 0,25đ

0,50đ

Trang 30

V+

n n n

n

2

)V+U)(

V-U(

<

2

)V-U

n n

Hay 0 < Un+1-Vn+1 <

2

V-

(*) Lại có Un giảm bị chặn dưới

Vn tăng bị chặn trên  limUn và limVn

Từ (*)  LimUn = LimVn(Giả sử LimUn=a, LimVn=b  a-b =

2

b-a

 a=b)

0,50đ 0,50đ

0,50đ

b Đặt f(x) = ax2+bx+c Xét hai trường hợp a=0  f(X) = bx+c

b=0  c=0  f(x)=0 xR  x(0,1)

b0  c0  x =

1+m

m

=b

c

a0 f(0) = c

2)+m(m

c-

=)2+m

1+m(f

2)+m(m

c-

=)2+m

1+m(f0(f

2

 0

c0  x (0,

2+m

1+m

) < (0,1)

c=0 thì f(x) = ax2 + bx có nghiệm x =

2+m

1+m

=a

b

Tóm lại: a, b, c thoả mã (*)  pt có nghiệm x(0,1)

0,50đ 0,50đ 0,50đ

0,25đ 0,25đ

và MA  MD

 MA  (BMD)

 MA  MO và MA  BD Lại có: AC  BD (ABCD vuông)  BD  (MAC)

 M  cố định nằm trong mf  BD tại O, đường kính

AO

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Trang 31

Tam giác vuông DAN có: AM  ND

<x<a Tìm k>0: a2 - x2 = kx (1)

2

2a

 x <a (2) (1) f(x) = x2 + kx - a2 = 0 (*) có nghiệm thoả mẵn (2)

pt (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt: vì ac < 0 (x1 < 0 < x2) f(

2

2a) =

=2

x

a)(

x

a-2(a6

1

2 2

2

2 3

V 

12

a

=2

]1-x

a+x

a-2[a6

2

2 2

3

dấu “=”  x =

3

6a

0,25đ

0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ

Trang 32

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

Môn Toán học – Thời gian làm bài 180 phút

Đề thi bảng A

a) Tìm các giá trị của m để hàm số luôn đồng biến

b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn đi qua 3 điểm cố định thẳng hàng

1 3 4

x

Được nghiệm đúng với mọi x

) 1

x x

y6 + y3+ 2 x2 =

2 2

y x

xy 

Bài 5: Cho khối tứ diện ABCD ; M là 1 điểm nằm bên trong tứ diện;AM,

BM , CM, DM Lần lượt cắt các mặt BCD; ACD; ABD; và ABC tại A1, B1, C1 , D1

a) Chứng minh rằng :

1

1 1

1

DD

MD CC

MC BB

MB AA

b) Tìm vị trí của điểm M để biểu thức

1 1

1

DM MC

CM MB

BM MA

AM

Đạt giá trị nhỏ nhất

1 chỉ có 1 nghiệm số thực xn Khi đó tìm lim xn

n 

Trang 33

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN HỌC THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12

9

0 1

2 '

m m m

m

1 0

) 3 7 )(

1 (

0 1

0 1 4 3

0 2 0 3

0

0 2 0 3

0

y x x

x x x

Xét phương trình x30 3x02 4x0  1  0

Gọi f(x) = x03 3x02 4x0 1  0 là hàm số liên tục trên R

+ Có f(0) f(-1) <0 => phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (-1; 0)

(1.0 điểm)

Trang 34

+ Có f(1) f(2) <0 => phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc (1; 2) + Có f(-1) > 0 ; khi x   thì f(x) <0

Vậy phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (- ;  1 )

Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có 3 nghiệm

Các nghiệm ấy thõa mãn :

0 1 4 3

2 3

y x x

x x x

Trừ hai phương trình cho nhau được : y - 4x - 1 = 0 hay các điểm cố định thuộc đường thẳng y = 4x - 1

0

'

a a

a

 a < -1 hoặc a > 4 (0,5 điểm)

+ Nếu a < -1 thì ax2

- 4x + a - 3 < 0 với x Bất phương trình đã cho thỏa mãn với x

- 4x + a - 3 > 0 với x Bất phương trình đã cho thỏa mãn với x

 x + 1 < ax2 - 4x + a - 3 thỏa mãn với x

 ax2 - 5x + a - 4 > 0 thỏa mãn với x (1,0 điểm)

Trang 35

41 4

2 1 1

1

2 2 3

x x

x

x x

x

x x

điểm)

x

x x

2 1 2

m·n tho¶

kh«ng do lo¹i

t

(0,25 điểm)

Với t = 2

Trang 36

0 1 2

2 2 1

x

(0,5 điểm)

1 4

) 2 ( 1

2x2  xy 2  xy3y3 (0,25 điểm)

Cộng hai vế hai bất đẳng thức ta có :

1 4

) 2 ( 1

Trang 37

0 2

3

y x

x y

(0,25 điểm)

Giải hệ này ta được

1

; 1

1

; 0

0

3 3

2 2 1

1

x

y x

y

(0,5 điểm)

1 1

1

a

d c b a V

V MA

a

d c

Tương tự:

b

a c

c

b a

d

c b

điểm)

Trang 38

d c b AM

BM

3

1

2 2 2

d b a b

a c d a

d c b

(Theo BĐT cô si cho 2 số không âm )

Vậy T min = 4 3 khi a2 = b2 = c2 = d2

Vậy phương trình vô nghiệm

+Nếu 0 < x <1 => vế trái (*) âm = > phương trình vô nghiệm (0,25 điểm)

Trang 39

+Nếu –1<x  0  vÕ tr¸i (*)  1 phương trình vô nghiệm

x n

1 2

2

1 2 1

Trang 40

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12

Câu 1: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình (2cosx 1)(sinx cos ) 1x 

b) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức

ab c ca b bc a a c c b b

1 1

1 )

(

2 )

(

2 )

( 2

Tam giác ABC nhọn có H là trực tâm; AH, BH, CH lần lượt cắt BC, CA, AB tại M, N, P;

AE và MF cùng vuông góc với NP ( với E, F thuộc NP)

a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP và A là tâm đường tròn bàng tiếp góc M của tam giác MNP

b) Chứng minh đường thẳng EH đi qua trung điểm của MF

Câu 5: (2,0 điểm)

2013

1 , 2012

1 , , 4

1 , 3

1 , 2

1 , 1

1

Người ta biến đổi dãy số bằng cách xóa đi

hai số a, b bất kỳ và thay bằng số mới a + b + ab Sau một lần biến đổi như vậy, số các số hạng

của dãy số giảm đi một đơn vị so với dãy trước đó Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối cùng còn lại sau 2012 lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và hãy tìm giá trị đó

-HẾT -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: _ Chữ ký GT1: _ Chữ ký GT2: _

Định dạng
Số trang	207
Dung lượng	9,11 MB