Cảm ơn bạn Nguyễn Thành Quang tquang@gmail.com gửi tới www.laisac.page.tlTRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 20112012 Môn: Toán 12.. 2 Đề chính thức Đề thi
Trang 1Cảm ơn bạn Nguyễn Thành Quang (tquang@gmail.com) gửi tới www.laisac.page.tl
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 4 NĂM HỌC 20112012
Môn: Toán 12. Khối A.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số : y=x3-3x2 + 1
có đ
ồ thị là ( ) C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (C) tiếp xúc với
đường tròn ( ) ( G : x-m) ( 2+ y-m -1) 2 = 5
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình : ( 1 tan- x)( 1 sin 2+ x) = + 1 tan x
2) Giải hệ phương trình:
( )
3
4
ï
í
ï
( ,x y Î R )
1
4 2
1
3
ln 3 2 ln
I = é x +x - x dx ù
ò
khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và 1 BC 1
Câu V. (1,0 điểm) Cho , ,a b c là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7 abc .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
8a 1 108b 1 16c 1
S
B. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1.Theo chương trình Chuẩn
C x- +y = và điểm E ( ) 4;1 Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến ,
MA MB đến đường tròn ( ) C với ,A B là các tiếp điểm sao cho đường thẳng ABđi qua E
2)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( )P :x-2y+2z - = 1 0 và các đường thẳng
1
:
:
- .Tìm các điểm MÎd N1, Î d 2 sao cho MN song song
với ( ) P và cách ( ) P một khoảng bằng 2.
3- 5 x+12 3+ 5 x = 2 x+
2. Theo chương trình Nâng cao
đường tròn ( ) 2 2
C x +y - y = Tìm điểm MÎ ( ) d và điểm NÎ ( ) C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( ) 3;1 .
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho đường thẳng : 2 4
- và hai điểm
( 1; 2; 1 , )
A - B ( 7; 2;3 - ) .Tìm trên D những điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
chứa AB là nhỏ nhất .
2
Đề chính thức
(Đề thi gồm 01 trang)
Cảm ơn bạn Nguyễn Thành Quang (tquang@gmail.com) gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2ĐÁP ÁN ,THANG ĐIỂM TOÁN 12 KHỐI A ( 5 Trang)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 3 2
· Tập xác định: Hàm số có tập xác định D = ¡
· Sự biến thiên:
v Chiều biến thiên : 2
3 6 y' = x - x Ta có 0 2
0
x y'
x
=
é
= Û ê =
ë
v ,
y >0Ûx< Ú0 x>2 Û h/số đồng biến trên các khoảng ( -¥; 0 & 2; ) ( +¥ )
v ,
y <0Û0<x<2 Û hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; 2 )
v y CD = y( ) 0 =1; y CT = y ( ) 2 = - 3
x
x
3 1 lim y lim x 1
x x
®±¥
®±¥
= ç - + ÷ = ±¥
0,25
0,25
v Bảng biến thiên:
y
0,25
· Đồ thị: cắt trục Oy tại điểm (0;1)
0,25
2 Với giá trị nào của m thì đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị 1,00
Đồ thị hàm số có điểm cực đại A ( ) 0;1 ,điểm cực tiểu B ( 2; 3 - ) suy ra phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B là ( )d 2x+y - = 1 0 0,25
đường tròn ( ) ( G : x-m) ( 2+ y-m -1) 2 = có tâm 5 I m m + ( ; 1) bán kính R = 5 điều 0,25
2
1
3
y
3 2
3 1
y=x - x +
Trang 3kiện ( ) d tiếp xúc với
( ) ( ,( ) ) 2 2 1 1 2 5 3 5 5
3
2 1
m m
+
Đáp số : 5
3
m = ±
0,25
0,25
1 Giải phương trình : ( 1 tan- x)( 1 sin 2+ x) = + 1 tan x (1) 1,00
1
t
t
+ .Phương trình (1) trở thành
1
2
t
t
= -
é
( )
4
0,25
0,25
0,25
0,25
ĐK 2
1
x
y
³
ì
í
³
î
từ phương trình (2) ta có ( x-2) 4 = y- Þ1 y- =1 ( x - 2) 2 thay vào phương trình
( ) 1 ta được x-2 =27-x3+x2 -4x + Û 4 x-2+x3-x2 +4x -31 0 = ( ) *
Xét hàm số ( ) 3 2
f x = x- +x -x + x - với mọi x ³ 2
( )
2 2
x
Þ = + - + > " >
- hàm số đồng biến trên khoảng ( 2; +¥ ) mặt khác f ( ) 3 =0Þ x = 3 là nghiệm duy nhất
của (*) thay vào phương trình (2) ta được y = 2 vậy nghiệm của hệ phương trình là
3; 2
x= y =
0,25
0,25
0,25
0,25
1
4 2
1
3
ln 3 2 ln
I = é x +x - x dx ù
ln(3x 1) lnx lnx ln 3x 1 dx
=òë + + - û =ò +
Đặt ( 2 )
2
6
ln 3 1
3 1
xdx
x
ì
=
1 2
2 1
1 2
1
3
3
6 4 ln 2 ln 3
ln 3 1 |
x dx
x
+
+
ò
Với
dx
p
2 2
t Î - æç p p ö ÷
1
1 tan
3
0,25
0,25
0,25
0,25
Trang 44 3 4 ln 2 ln 3 4 3
IV Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và 1 BC 1 1,00
Ta có đáy lăng trụ là tam giác đều cạnh bằng 5 các mặt bên là hình vuông cạnh bằng 5
1 1 5 2
Þ = = Dựng hình bình hành
BDB C Þ DB =BC = BD=C B = , AD=CD .sin 600 = 5 3
(do D ACD vuông tại A vì BA=BC= BD ) Þ a =( AB BC1; 1) ( = AB DB 1; 1 )
1 1
1
1 2
cos
AB D
AB DB
1
AB D
Þ nhọn từ đó
·
1
1 cos
4
AB D
a = Û a = Ta thấy BC1/ /mp AB D( 1 ) , AB1Ì mp AB D ( 1 ) từ đó
( 1, 1) ( 1, ( 1 ) ) ( , ( 1 ) )
d BC AB =d BC mp AB D =d B mp AB D = 1
1
.
3 B AB D
AB D
V
dt D
1
1 1
3
1 sin
2
B ABC
V
AB DB
=
a
1
1 1
25 3
5.
sin .5 2.5 2.
ABC
BB dt
AB AD
D
a
.Đáp số ( ( ) )
1 1
1 1
1
4
AB BC
d AB BC
ì
ï
í
î
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cho , , a b c là các số thực dương thoả mãn ab bc+ +ca= 7 abc .Tìm giá trị nhỏ nhất… 1,00
giả thiết tương đương với 1 1 1 7
a+b+c = áp dụng bất đẳng thức Côsi+Bunhiacôpxki ta
có: 8 2 12 54 3 54 3 22 22 2 2
4
2 2
1 1
16
4 4
c
+ +
2
2
+ +
dấu bằng xẩy
ra khi 1, 1
a=c= b = Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 24 đạt khi 1, 1
a=c= b =
0,25
0,25
0,25
0,25
1 …Tìm toạ độ điểm M trên trục tung sao cho từ điểm M kẻ được hai tiếp tuyến… 1,00
Đường tròn ( ) ( ) 2 2
C x- +y = có tâm I ( 4;0 ) bán kính R = 2 .Gọi toạ độ điểm ( 0; )
M a Tiếp điểm A x y( 1; 1) ( ;B x y 2; 2 ) .Do MA là tiếp tuyến của ( ) C và AÎ ( ) C
( ) (*)
MA I A
A C
ì ^
ï
Û í
Î
ï
uuur ur
1 1
1 1
;
4;
ï
í
ï
uuur uur từ đó ( )
( )
0
* MA IA
A C
ï
Û í
Î
ï uuur uur
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
ï
Û í
ï
,lấy (1) trừ (2) theo vế ta được
1 1
4x -ay -12= 0 tương tự cho điểm B x y ( 2; 2 ) ta được 4x2 -ay 2 -12= 0 từ đó ta có
phương trình đường thẳng chứa dây AB là ( )d ; 4x-ay -12= 0 mà điểm
0,25
0,25
0,25
Trang 5( ) ( ) 4;1
2 …
1, 2
MÎd NÎ d sao cho MN song song với ( ) P và cách ( ) P một khoảng bằng 2. 1,00
PT tham số của 1 2
1
2
1 2 ;3 3 ; 2
5 6 ; 4 ; 5 5
ï
í
ï
( 6 2 4; 4 3 3; 5 2 5 )
Þuuuur = - + + - - - -
mặt phẳng ( ) P có 1 vtpt nr=( 1; 2; 2 ,- ) MN/ /( ) P ÞMNuuuur^nrÛMN n uuuur r = 0
( )
( , ) ( ,( ) ) 1 2 2 3 3( ) 2 2( ) 1 2
+ +
1
6 12 6
0
t
t
t
=
é
- + = Û ê
=
ë
· t= Þ1 s= - Þ1 M1( 3;0; 2 ,) N 1 ( - - 1; 4; 0 )
· t=0Þs=0ÞM2( 1;3; 0 ,) N 2 ( 5;0; 5 - )
0,25
0,25
0,25
0,25
7a
Giải phương trình: ( ) ( ) 3
Chia hai vế của phương trình cho 2x > ta được : 0 3 5 12 3 5 8
æ - ö æ + ö
(1) do
æ - ö æ + ö
=
đặt 3 5 0 & 3 5 1
t
=ç ÷ Þ > ç ÷ =
khi đó pt (1) trở
6
t
t
t
=
é + = Û - + = Û ê =
ë ( thoả mãn)
2
3 5
2
x
t = Þæç - ö ÷ = Ûx = -
2
3 5
2
x
t = Þæç - ö ÷ = Ûx = -
0,25
0,25
0,25
0,25
1 Tìm điểm MÎ ( ) d và điểm NÎ ( ) C sao cho chúng đối xứng nhau qua điểm A ( ) 3;1 . 1,00
Gọi M( 3a+4; a) ( ) Î d mà N đối xứng với M qua A( ) 3;1 Þ N( 2 3 ; 2- a - a ) theo gt
( ) 2 2 ( ) ( 2 ) 2 ( )
NÎ C x +y - y= Û - a + -a - -a =
5
· a=0Þ M1( 4;0 ,) N 1 ( 2; 2 )
· 6 2 38 6; , 2 8 4 ;
a= ÞM æç ö÷ N æç- ö ÷
0,25
0,25
0,25
0,25
2 điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng chứa AB là nhỏ nhất . 1,00
Ta có uuur AB =( 6; 4; 4- )
đường thẳng D có một vtcp ur =( 3; 2; 2- ) Þ AB / / D
Gọi H là 0,25
Trang 6hình chiếu của A trên D.Gọi ( ) P là mặt phẳng qua A ( 1; 2; 1 - )
và( ) P ^ D Þ( )P : 3x-2y+2z + = 3 0 .{ } H = D Ç ( ) P nên toạ độ điểm H là nghiệm
1
2
x
z
= -
ì
ì
.Gọi A đối xứng với ' A qua
3; 2;5
A
Þ - ( do H là trung điểm của AA ) Ta có ' A A B D cùng nằm trong một , ' , ,
mặt phẳng ( ) P Pt đường thẳng A B là ' 3 2 5 3 2 5
Từ đó điểm M cần tìm là giao điêm giữa A B và ' D Þ toạ độ M là nghiệm hpt
( )
0 2; 0; 4
4
z
ï
î
î
. Đáp số M ( 2; 0; 4 )
0,25
0,25
0,25
7b
Giải phương trình: ( 2 ) ( ) 2 1 ( ) 2
2
Đ/k:
2
1
x
x
x
¹ >
Û
< -
î
.
Khi đó phương trình ( 2 ) ( ) 2
log x 1 log x 1 log x 2
( )( )
2
2
é ì ï > é ì >
ï
< < Ú < - < < Ú < -
í í
ê ï - = + - + ê =
î
ë Phương trình có 3 nghiệm .: x= +1 2 ,x = ± 3
0,25
0,25
0,25
0,25
Lưu ý khi chấm bài:
Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh. Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó.
Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm.
Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm.
Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau.
Trong lời giải câu IV, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình không cho điểm.
Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn.
Hết
