Tính thể tich khối chóp ABDMN.. IAMN IADB V IAIM IN.
Trang 1
Mụn thi: Toỏn, kh i A,B,D
ÁP ÁN (g m 5 trang)
1 Khi m 1 ta có hàm số 3 2
T p xỏc đ nh: Hàm s cú t p xỏc đ nh D
S bi n thiờn:
Chi u bi n thiờn 2
3 6 y' x x Ta cú 0 2 0 x y' x , y 0 x 2 x 0 h/s đ ng bi n trờn cỏc kho ng ; 2 & 0; , y 0 2 x 0 hàm s ngh ch bi n trờn kho ng 2; 0 yCD y 2 0; yCT y 0 4 Gi i h n 3 3 x x 3 4 lim y lim x 1 x x 0,25 0,25 B ng bi n thiờn: x -2 0
y' 0 0
y
0
-4
0,25 th : th c t tr c Ox t i cỏc điờm (-2;0),(1;0),c t tr c Oy t i đi m (0;-4)
0,25
2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị ,A B 1,00
1
-2
O
x
x x
x
-4
y
yx x
www.VNMATH.com
Trang 2
y x mx m Hàm số có cực trị khi và chỉ khi ph-ơng trình ,
0
y có hai nghiệm phân biệt '
1 0
,
y Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: x m x m
A m m B m m OA m m OB m m
OAB
vuông tại Okhi O A Bphân biệt và , ,
đáp số : m 1 m 2
0,25
0,25
0,25
0,25
1
Gi i ph ng trỡnh : 3 4 cos 2 8sin4 1
sin 2 cos 2 sin 2
1,00
sin 2 0
2
l x
x l
Z
ta có:
2
2
x
Ph-ơng trình 3 4 cos 2 3 4 cos 2 cos 4 1
sin 2 cos 2 0,sin 2 0 sin 2 cos 2 sin 2
x
sin 2
x
2
vậy ph-ơng trình có một họ nghiệm
x k k
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Gi i hệ ph ng trỡnh:
1
x y y
1,00
Từ pt (*) ta có : 2 2
x x y y xét hàm số : 2
3
f t với mọi t t t0
'
f t suy ra hàm số t t f t đồng biến trên khoảng 0;
Mà pt(***) f x 1 f 2y x 1 2 y x 3 y
thế vào pt(**) ta đ-ợc: 2
y
.Vậy hpt có 1 nghiệm duy nhất là: x y; 5; 2
0,25
0,25
0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 3III
Tớnh tớch phõn: 4
1
ln 9
x
x
2
x t x t dx tdt
Đổi cận : khi x 1 t 1&x 4 t 2
2
ln 9
t
2
2
ln 9
9
t
t
2
2 1
1
2
1
9
4 ln 5 2 ln 8 4 ln 10 ln 5 12 ln 2 4
t
t t t
t
0,25
0,25
0,25
0,25
IV ………… Tính thể tich khối chóp ABDMN 1,00
1 1 1
BD mp ACC A
ccạnh a gọi ABC do AC vuông góc với mặt phẳng 1 BDMN AC1BN
1
2
60
đều cạnh a Ta thấy các đ-ờng thẳng BN DM AA đồng quy tại điểm I với , , 1 A là trung điểm của 1 AI,N là trung
điểm của BI,M là trung điểm của DI
.
IAMN
IADB
V IAIM IN
16a
0,25
0,25
0,25 0,25
V … Tỡm giỏ tr l n nh t c a bi u th c : P c b a 1,00
2 2
2
2 *
.Lấy (*)x2 +(**) theo vế ta đ-ợc
a b c c ab a b
và từ (*) 2 2 2 2
a b b a
8
2 ; 2
v
u v u vbc ac c b a P 4 3.Dấu bằng xẩy ra khi và chi khi
2 2
2
4
a
c
Vậy maxP4 3
0,25
0,25
0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 41 ) Trong m t ph ng v i h to đ Oxycho hai điểm A 2;1 ,B 1; 3
do tứ giac ABCD là hình bình hành nên ta có
3; 4 3 *
4
D C
2
3 0
**
C C
C d
từ (*) và (**) ta giải đ-ợc 3 ; 6
ta có BA 3; 4 ,BC4; 3 cho
nên hai véc tơ BA BC, không cùng ph-ơng ,tức là 4 điểm A B C D, , , không thẳng
hàng ,hay tứ giác ABCDlà hình bình hành.Đáp số C3; 6 , D 6; 2
1,00
0,25
0,25
0,25 0,25
2 Chứng minh rằng d d cắt nhau tại 1, 2 A; 1,00
ph-ơng trình tham số của d d lần l-ợt là 1, 2 1 2
1
giải hpt giữa d d1, 2 x 1;y1;z 1 d1 d2 A1;1;1
1
d có vtcp u1 1; 2; 2 , d có vtcp 2 u2 1; 2; 2
mặt phẳng P chứa d d đi qua 1, 2 A1;1;1 và có 1 vtpt
n u u n pt mặt phẳng P : 2x y 1 0
ta thấy M P
3
thẳng phân giác của 2 góc tạo bởi d d 1, 2
1
2 2;3;1
1; 2; 0
1
quaM
vtcpv
z
thành tam giác hoặc 1,d d1, 2 đồng quy tại A không tạo thành tam giác.)
1
2 2;3;1
0; 0;1
1
x quaM
y vtcpv
Vậy đ-ờng thẳng cần tìm là 1
2
1
x y
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIa
Tìm số phức z thoả mãn z3i 1 i z và z 9
z
Đặt z a bi a b , .Ta có z3i 1 i z a b 3i 1 b ai
2 2 2 2
a
khi và chỉ khi 3
a a a a
0,25
0,25
0,25
www.VNMATH.com
Trang 5Vậy các số phức cần tìm là z2 ,i z 52 ,i z 52i
0,25
1 .Tìm toạ độ các điểm ,B C thuộc E sao cho I là tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam… 1,00
Ta có IA 2 Đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABCcó pt: 2 2
x y
Toạ độ các điểm ,B C cần tìm là nghiệm của hệ pt:
1
9 4
x y
2 2
2
3 3
5
3 4 6 3 4 6; , 3; 4 6
hoặc 3; 4 6 , 3 4 6;
0,25
0,25
0,25
0,25
Giả sử M t t t ; ; 1 1;N s s ; 2; 2s ,2 A1;0;1
Ta có
MN t s t s t s AM t t t AN s s s
6
AM AN
MN
2
2 2
do đó M1;1; 2 , N 0; 2;0 hoặc 13 13 22; ; , 8 10 16; ;
0,25
0,25
0,25
0,25
VIIb Tìm số phức z thoả mãn z 2 và z2 i z 2 1,00
Giả sử z x yi x y , .Ta có z và x yi z2 i zx2y 2xy i
Khi đó
2 2
2 2
z
2 2
1
xy
1 1 1 1
x y x y
Vậy z 1 i hoặc z 1 i
0,25
0,25
0,25
0,25
www.VNMATH.com