Hàm số ôn thi THPT quốc gia môn toán

1Giải: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng 1;2 b Tìm m để hàm số đã cho có cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị có hoành độ dương.. b Xác định m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của

Phần HÀM SỐ

CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN CẦN NẮM

1) Góc giữa hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng có phương trình tổng quát

2) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng

Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax By C   và điểm 0 M x y( ;0 0)

Khoảng cách từ điểm M x y( ;0 0) đến đường thẳng d là

1

x y

a b  (phương trình đường thẳng đoạn chắn)

4) Hệ số góc của đường thẳng

a) Nếu đường thẳng d có phương trình y ax b  , thì hệ số góc của đường thẳng d là k a

b) Nếu đường thẳng d có phương trình tổng quát Ax By C  0,thì hệ số góc của đường thẳng d là

5) Điều kiện để hai đường thẳng song song, vuông góc với nhau

Cho 2 đường thẳng có phương trình theo hệ số góc d y k x b d y k x b1:  1  1; 2:  2  2

+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi

000

S P

S P

+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P 0

+ Phương trình (1) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương khi và chỉ khi 0

0

P S

0

P S

+ Chiều biến thiên: y 3ax2 2bx c

- Hàm số có cực trị khi phương trình y  có 2 nghiệm phân biệt 0    y  0

  là điểm uốn của đồ thị

+ Vẽ đồ thị (Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng)

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y 2x33x2mx  nghịch biến trên nửa khoảng (1 ;1].

Giải: y  6x26x m Hàm số đã cho nghịch biến trên nửa khoảng (;1]y    0, x 1



12

1 2

0

m  

Ví dụ 4: Tìm m để hàm số 3 2

y x  x  m x m đồng biến trên nửa khoảng 2;  )

Giải: y 3x26x m 1. Hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng 2; ) y0, x 2

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số y x33x2mx nghịch biến trên khoảng (0;4  )

Giải: y  3x2 6x m Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0; ) y   0, x 0

3x 6x m 0, x 0 m 3x 6 ,x x 0

Lập bảng biến thiên của hàm số y 3x2 6x với x 0 ta được giá trị cần tìm là m 0

Chú ý: Hàm số y 3x2 6x không tồn tại giá trị nhỏ nhất trên khoảng (0; )

Ví dụ 6: Tìm m để hàm số y x 33(2m1)x2(12m5)x  đồng biến trên mỗi khoảng (2   và ; 1)(2; )

Giải: Yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi y 3x26(2m1)x12m 5 0, x 2 và

2

12 , 21

m x x

Ví dụ 7: Tìm m để hàm số y2x33mx22m nghịch biến trên khoảng (1;2) 1

Giải: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (1;2)

b) Tìm m để hàm số đã cho có cực trị và hai điểm cực trị của đồ thị có hoành độ dương

Giải: b) y x2 2(m1)x2m1, yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi phương trình y  có 0hai nghiệm dương phân biệt

Ví dụ 10: Cho hàm số y x 33mx23(m22m3)x4. Tìm m để hàm số có cực trị và hai điểm cực

trị của đồ thị hàm số nằm về hai phía trục tung

Giải: y 3x26mx3(m22m3), yêu cầu bài toán được thỏa khi và chỉ khi phương trình y  có 0

2 nghiệm trái dấu P  0 m2 2m    3 0 3 m 1

b) Xác định m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến trục hoành bằng 4.

x y m Vì phương trình y  luôn có 2 nghiệm phân biệt 0

nên hàm số luôn có cực trị với mọi m Hai điểm cực trị của đồ thị là

0(0;4 ), (2; 4 4 )

Đường thẳng này đi qua điểm M(1; 1) nên 2m2  2 0 m   1

b) Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ,A B và đường thẳng x y 0 Ta có

Hai điểm cực trị của đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng y  x 2 I d

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 1

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho OAB có diện tích bằng 48

Giải: b)

3 2

nghiệm phân biệt x m 1 m25m7;x m 1 m2 5m  và cũng lần lượt là điểm 7cực đại và điểm cực tiểu của hàm số Theo đề ra ta có

Bài 1: Tìm m để hàm số y x 33x23mx3m đồng biến trên 4 

Bài 2: Tìm m để hàm số y x 33x2(m1)x4m nghịch biến trên khoảng ( 1;1).

Bài 3: Tìm m để hàm số y(m1)x32mx2 đồng biến trên khoảng (0;1) x

Bài 4: Tìm m để hàm số 1 3 2

3

y  x mx  m x m  nghịch biến trên khoảng ( 2;  )

Bài 5: Tìm m để hàm số y x 3mx22 có cực trị Chứng minh rằng khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị luôn đi qua một điểm cố định

Bài 6: Tìm m để đồ thị hàm số 3 2

y mx mx m x m có cực trị Chứng minh rằng khi đó đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị luôn đi qua một điểm cố định

Bài 7: Cho hàm số 3 3 2 1 3

y x  mx  m Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm

số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1 ĐS: m =  2

Bài 8: Tìm các điểm cố định của họ đường cong y x 3mx2(m2)x 2 m ĐS:M( 1; 3),  N(2;12)

Bài 9: Cho hàm số y x 33x m có đồ thị (C m). Tìm m để trên ( C m) tồn tại hai điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ ĐS: m 0

Bài 10: Cho hàm số y x 33x2 Tìm trên đồ thị ( )1 C tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ

y  x mx mx đạt cực trị tại x x1, 2 thỏa mãn x1 x2  ĐS: 8

.2

Bài 16: Cho hàm số y x 33x2mx m Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn

3 ĐS: 15

.4

- Hàm số có 1 cực trị khi phương trình y  có 1 nghiệm 0 (2) có   0.

+ Giới hạn: lim ( 0); lim ( 0)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

b) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và ba đỉnh cực trị của đồ thị hàm số tạo thành ba đỉnh tam

giác vuông cân

c) Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị và ba đỉnh cực trị của đồ thị hàm số tạo thành ba đỉnh tam

Tam giác ABC luôn luôn cân tại A với m 0 vì đồ thị hàm số trùng phương đối xứng qua trục tung,

do đó ABC vuông tại đỉnh A AB AC AB AC  0

So với điều kiện (*) ta chọn m  1

c) Tam giác ABC luôn luôn cân tại A với m0 nên để ABC đều thì AB BC Ta có

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị

b) Gọi A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho, trong đó, , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B C là hai điểm cực trị còn lại, tìm m sao cho , OA BC , O là gốc tọa độ

c) Tìm m sao cho ABC có diện tích bằng 1

2 2

Cả 2 giá trị này đều thỏa điều kiện (*)

c) Gọi H là giao của BC và trục Oy khi đó , H(0;m2m1) và H là trung điểm của BC

đồng thời AH là đường cao của ABC Ta có 1 1 4

Ví dụ 4: Cho hàm số y x 4 (m2)x2m có đồ thị (2 C m).Chứng tỏ (C m)luôn luôn đi qua 2 điểm

cố định A,B. Tìm m để hai tiếp tuyến của ( C m) tại A và B vuông góc với nhau

Giải: Giả sử ( ; )x y0 0 là tọa độ của điểm cố định của họ đường cong (C m) khi đó ta có

y x  m x m đúng với m

2 0

là hai điểm cố định của họ đường cong (C m)

Hai tiếp tuyến của (C m) tại A và B vuông góc với nhau  f(1) ( 1)f    1

1) Xác định m để hàm số có cực tiểu mà không có cực đại ĐS: m  0

2) Xác định m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của tam giác:

a) Đều ĐS: m  312

b) Vuông ĐS: 3 4

c) Có diện tích bằng 1 ĐS: 5 4

Bài 2: Cho hàm số yx4 2(m1)x2 m2(1), với m là tham số thực

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m  0

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

ĐS:m  0.

Bài 3: Cho hàm số y   x4 2(m1)x2 m

a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đã cho có ba điểm cực trị

b) Gọi A B C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho, trong đó , , A thuộc trục tung Tìm m sao

cho tứ giác ABOC có diện tích bằng 6, O là gốc tọa độ

 Nếu ad  b 0 thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Nếu ad  b 0 thì

hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định Hàm số không có cực trị

a) Tìm m để hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định ĐS: 2m 2

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )H của hàm số khi m = 1

Giải: Hàm số luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định

2

2 2





 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

b) Xác định tọa độ các điểm thuộc ( )C sao cho khoảng cách từ đó đến trục hoành gấp 2 lần khoảng

cách từ đó đến tiệm cận đứng của ( ).C

Giải: b) Gọi M là điểm cần tìm thuộc đồ thị ( )C 0

0 0

0 0

thẳng chứa tiếp tuyến là n  ( ( ); 1)f x 0  từ đó véc tơ chỉ phương của đường thẳng chứa tiếp tuyến là





 có đồ thị ( ).C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b) Tìm điểm M ( )C sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của ( )C là nhỏ nhất

Giải: Gọi M x y 0; 0( ),C (1),(2) lần lượt là tiệm cận đứng và tiệm cận ngang cùa ( ).C

34

11

x

x x





 (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số (1)

b) Tìm điểm M thuộc đồ thị ( )C để tích các hệ số góc của đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận và tiếp tuyến của ( )C tại M bằng 9 ĐS: M1(0; 1), M2( 2;5).

 có đồ thị là (H m). Tìm m để tiếp tuyến của  H m tại điểm có hoành

độ x 1 cắt tiệm cận đứng của  H m tại điểm có tung độ bằng 4 ĐS: m  1

Bài 3: Cho hàm số 4

y mx

m   các đường cong  H m đều đi qua 2 điểm cố định A và B





 có đồ thị ( ).C a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b) Tìm điểm M ( )C sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của ( )C là nhỏ nhất

+ Phần 1: Là phần đồ thị hàm số yf x( ) ứng với y  (Phần nằm phía trên trục hoành) 0

+ Phần 2: Đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số yf x( ) ứng với y  0

2) Từ đồ thị hàm số yf x( ) suy ra đồ thị hàm số yf x( )

Ta có hàm số yf x( )là hàm số chẵn, mặt khác khi x 0 thì yf x( )f x( )

Do đó đồ thị hàm số yf x( )có hai phần

+ Phần 1: Là phần đồ thị hàm số yf x( ) ứng với x 0(Phần nằm phía phải trục tung)

+ Phần 2: Đối xứng qua trục tung phần đồ thị hàm số yf x( ) ứng với x 0

+ Phần 2: Đối xứng qua trục hoành phần đồ thị hàm số yf x( ) ứng với u x ( ) 0.

4) Từ đồ thị hàm số yf x( ) suy ra đường biểu diễn y f x( )

c) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đường biểu diễn y f x C( ) ( 3)

Giải: a) Đồ thị ( )C như sau:

x y

-2 -2

+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số yf x( )

+ Đối xứng phần đồ thị hàm số yf x( ) phía dưới trục hoành qua trục hoành

)

ii Đồ thị hàm số yf x( ).Ta có yf x( )là hàm số chẵn nên đồ thị có trục đối xứng là Oy Với x 0

thì yf x( )f x( ) Đồ thị gồm hai phần:

+ Phần bên phải Oy của đồ thị y f x( )

+ Đối xứng phần trên qua Oy c) Từ đồ thị ( ) C hãy suy ra đường biểu diễn y f x( )

Giả sử đường biểu diễn y f x( )là( ). Ta có ( ) ( ) 0

+ Phần đồ thị từ trục hoành trở lên của đồ thị y f x( )

+ Đối xứng phần trên qua trục hoành để được phần còn lại

-2 -1 2

+ Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị hàm số:yf x( ) x42x22

+ Đối xứng phần đồ thị của hàm số yf x( ) x42x2 phía dưới trục hoành qua trục hoành 2

Đồ thị hàm sốy f x( )  x42x22 như sau:

x y

-2

-1 -1

-1 O 1

Với x 0thì y f x( )f x( ). Vậy đồ thị gồm hai phần: + Phần bên phảiOy của đồ thị y f x( ).

+ Đối xứng phần trên qua Oy

x y

O

y

x y=3/2

x=1/2

2 1

x  qua trục hoành

y

x y=3/2

x=1/2

2 1

y

x y=3/2

x=1/2

2 1

b) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đồ thị của các hàm số 3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho

b) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đồ thị của các hàm số 3 2

6 9 ;

y x  x  x y x36x29x c) Từ đồ thị ( )C hãy suy ra đường biểu diễn 3 2

y x  x  x

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN

Phương trình tiếp tuyến

Cho hàm số yf x( )có đồ thị ( ),C điểm M x y( ;0 0)( ).C Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại

điểm M là yf x( 0)(x x 0)y0 Điểm M gọi là tiếp điểm, f x( 0) là hệ số góc của tiếp tuyến

Kỹ thuật viết phương trình tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm M x y( ;0 0)

Dùng phương trình yf x( 0)(x x 0)y0

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( ),C biết hệ số góc của tiếp tuyến là k a

+ Cách 1 Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x y( ;0 0), khi đó ta có f x( 0)a(1)

Giải phương trình (1) tìm x0,từ đó tìm M x y( ;0 0)và viết phương trình tiếp tuyến tại M x y( ;0 0)

+ Cách 2 Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng , a nên phương trình tiếp tuyến có dạng y ax b 

Để tìm b ta giải điều kiện tiếp xúc ( )

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến đi qua điểm A x y( , )1 1 cho trước

+ Cách 1 Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A x y( , )1 1 với hệ số góc bằng k Phương trình d là

+ Cách 2 Gọi tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm là M x f x( ; (0 0)),khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là: yf x( 0)(x x 0)f x( 0).Vì tiếp tuyến đi qua A x y( , )1 1 nên thay x x y y 1,  1 vào phương trình trên ta được y1 f x( 0)(x1x0)f x( 0) Từ đó tìm x0,và viết được phương trình tiếp tuyến

0 0 2

Ví dụ 2: Cho hàm số yf x( ) x42x2 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến

vuông góc với đường thẳng 1 11

k k

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C biết tiếp tuyến cắt các

trục Ox Oy lần lượt tại ,, A B sao cho tam giác OAB vuông cân

Giải: Cách 1: Gọi 0

0 0

Phương trình tiếp tuyến tại M1(3;2)là y  x 5 Phương trình tiếp tuyến tại M2(1;0)là y  x 1

Cách 2: Tiếp tuyến tạo với các trục Ox Oy một tam giác vuông cân nên tiếp tuyến có hệ số góc bằng , 1

hoặc 1 Khi đó ta có f x( 0)  Từ đó tìm được 1 x0 1;x0  và viết được phương trình tiếp tuyến 3

Cách 3: (Dùng phương trình đường thẳng đoạn chắn) Giả sử tiếp tuyến cắt các trục Ox Oy lần lượt tại ,( ;0), (0; ), 0

A a B b ab  Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng x y 1

Chú ý: Nếu bài toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến tạo với Ox Oy tam giác , OAB

thỏa OA kOB với k là một giá trị cụ thể nào đó thì lập luận theo cách 3 sẽ tìm được hệ số góc của tiếp tuyến

Ví dụ 5: Cho hàm số 1 (1)

2

x y x





 Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C của hàm số (1) biết tiếp tuyến cắt

các trục Ox Oy lần lượt tại ,, A B sao cho OA3OB

Giải: Giả sử tiếp tuyến cắt các trục Ox Oy lần lượt tại ( ;0), (0; ),, A a B b ab 0.Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng x y 1

a b  (1) (phương trình đường thẳng đoạn chắn)

4

1 131

m

m m

m m

Ví dụ 7: Cho hàm số y(1m x) 3(m1)x22. Xác định m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại

điểm M có hoành độ x  2 cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 10

Giải: Thay x  2 vào hàm số đã cho ta được

8(1 ) 4( 1) 2 8 8 4 4 2 4 10

y  m  m   m  m   m Suy ra M( 2;4 m10) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M là yf( 2)( x2)4m10

2( ) 3(1 ) 2( 1) ( 2) 12 12 4 4 8 16

f x  m x  m x f    m m   m Phương trình tiếp tuyến là ( 8 16)( 2) 4 10 ( 8 16) 12 22

y  m x   m   m x m Tiếp tuyến cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 10 nên thay x 0,y10 vào phương trình tiếp tuyến ta được

Bài 2: Cho hàm số y = x4– x + 6 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp 2

tuyến vuông góc với đường thẳng 1 1

6

y x  ĐS: y 6x10

Bài 3: Cho hàm số y = 1 3 2

3x  x 3 có đồ thị là ( ).C Tìm trên ( ) C những điểm mà tại đó tiếp tuyến của

( )C vuông góc với đường thẳng y = 1 2