Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán

Số mũ

1 an = a.a a ( n số a , n  Z , n > 1 ) “ đọc là : a lũy thừa n hay a mũ n”.* Qui ước: a1 = a

2 Với a  0 và n là số nguyên dương ta có định nghĩa sau: a 0 = 1 ; a –n = n

 * ( am )n = ( an )m = am.n

* (a.b)n = an.bn * n

n n

b

ab

2

2516

20 5

9.4

b a

1 3

a

5 1 5 2

5 3

3.2

1 5 1 5

a

7 1 7 2

7 2

5.2

7   , H = 42 3  42 3 , K = 3 9 80 3 9 80

LÔGARIT

I Định nghĩa lôgrit:

Cho 0 < a  1 và b > 0 Lôgirt theo cơ số a của b là một số , số đó ký hiệu là:

loga b loga bm  a m b ( Cơ số thành cơ số )

2/ Định lý 3 logax = logax ( x ( 0 ; +  ) ;   R )

3/ Công thức đổi cơ số

logax = logab.logbx hay

a

x x

b

b a

log

loglog  ( a, b là hai số dương khác 1 và x > 0 )

Hệ quả : logab.logba = 1 ; loga x logax

log  logax2 = 2loga x  ( x  0 )

1/ logarit cơ số 10 gọi là logarit thập phân Thay vì viết log10 x, ta viết : lgx , hay logx đọc là lôgarít thập phân của x

2/ logarit cơ số e = 2,71828 (

n

n

11lim

 ) gọi là logarit tự nhiên,

Thay vì viết loge x, ta viết : lnx , đọc là lôgarit “nê -pe” của x

2

16log

.log

c

b a

b c

c b a

a

9/

6log

16log

1

3 2

6log

16log1

9 4

)(log

1)

(log

13/ Cho a = log3 15 và b = log3 10 Tính: log 350 theo a và b

14/ Cho log5 2 = a và log5 3 = b Tính theo a và b

a/ log5 72 b/ log5 15 c/ log5 12 d/ log5 30 15/ Cho a = log12 18 và b = log24 54 Chứng minh : a.b +5(a –b) = 1

Đạo hàm số mũ và logarit

e /  /.

a x

u u

a

ln.log

/ /

/ /

ln 

a x

u u

a

ln.log

/ /

/ /

e e

e e

cos1

sinln



x

x y





1

y hay x

y

a

0:0log

2.113.23.10

4      ĐS: x = 3 8/ lg2x2 21x9lg2x11

4 1 3 4

1 2

2

165

3

2 2

9 x  x  x  x ĐS:

35

11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x ĐS: x = 1

12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2 ĐS: x = 16

13/ 3.log2x.log4x.log8x.log16x = 2 ĐS:

4

1 ; 4

II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1

Nếu đặt: t = ax thì điều kiện: t > 0 , khi đó: amx = tm

Nết đặt: t = logax thì không có điều kiện của t, khi đó: m m

a x  t

log

Giải các phương trình sau:

2

3 2 2 1 4

8log

;4

1

;81

13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 ĐS:  8 ; 9

14/  1log 3 log 3 1 3 log511.3 9

log

210

log.2log2

17/ 1log4x 3log4x log2 x1 ĐS: 2

III/ Sử dụng tính đơn điệu Cho hai hàm số f(x) và g(x)

1/ Nếu f luôn đồng biến và g luôn nghịch biến thì phương trình :

f(x) = g(x) không quá một nghiệm 2/ Nếu f luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) thì phương trình:

f(x) = k ( k: hằng số) không quá một nghiệm Giải các phương trình sau

1/ 2x = 11 –x 2/ log2x = 3 –x 3/ 3x + 4x = 5x4/ 9x + 2( x –2).3x + 2x –5 = 0 5/ 25x –2(3 –x ).5x + 2x –7 = 0 6/ log23x1  x5log3x162x0 ĐS:  2 ; 8

Giải các hệ phương trình sau

11

2 2

y x

lg

8lg1

lg 2 2

y x y x

y x

9722

.3

y x

log

3

5 3

2 2

y x y

x

y x

52

3 1

y x

x y

273

322

4

4 4

log

y x

1

;21

Bất phương trình mũ và logarit 1/ a > 1 ( y = ax và y = logax là các hàm số đồng biến trên tập xác định của nó)

y y

a

0log

x y

a

0log

x y

a

0log

y y

a

0log

a xm xa

log

Giải các bất phương trình sau

I/ Cùng cơ số

6 x  x x ĐS: x > 4

3/ 0

1

21log

2

12

1

9.46.54

2 1 2

1 1

2232

ÑS: 2;11;

7/ 1 lg lg 2 lg 2

3.26

1

;0

10/ x2.logx 27.log9x  x4 ĐS: x > 2

11/

13

153

2loglog2

x x

;2431

III/ Một số bài toán có tham số

1/ Tìm m để phương trình: log23x log23 x12m10 có nghiệm trong đoạn

ĐS: –6 < m < 18 7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm:2 3 x 2 3x m ĐS : m  2

8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x

1log121log121log

m

m x

m

m

ĐS: 0 < m < 1

9/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: lgx2 mxlgx3 ĐS: m > –3

10/Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x: 9x 2(m1)3x 2m30 ĐS:

x x m 5log

4mxx

y 42  22 2 trên khoảng ( 1 ; 16) ĐS: 81 , khi x = 8

2/ Giải phương trình: log  4 log 2 1 4log23

2 2

1yxlog

224

4 2

2 4

xy log xy

6

;6

1xlogylog2

2 2

2

2 2 1 3

ĐS: (2 ; 1)

3

21

101

2.172

8.2

67xylog

;1y

;x

2

11xlog1x

1S

11/ Giải phương trình: 4 2 2  1

2 2

2

1 x x 1 x x

1x

644

2x y

ĐS: (4 ; 1)

y lg x lg

yx

43

1

;41

xy24

2 2

2 log xy

4

01yxxy2x

2 2 2 2

y x y x 2

1,2

3

;2

1,1

;0

;0

;1y

;x

HƯỚNG DẪN GIẢI

2

2516

5 2 5 5 2 5

63.23

.2

3.2

3.2

b a

b a

3 3

2 3 3 3 2 3 3 3

:

b a ab b

a

b b a a b a

1 3

a

2

3 1 2

3 3

b

a b

5 3

3.2

3

5 1 5 2

5 3 5 3

1 5 1 5

a

4 2 3 2 7

1 5

a

7 1 7 2

7 2

5.2

5

7 1 7 2

7 2 7 2

143

G

32432

183

43

6/ log915log918log910 = log9(15.18) –log910 =

2

33log2

327log10

270

3 3

2

16log

20

45.36log45log20log36

log

1 2

.log

c

b a

3

14log

c b a

2 .log

cb

c b a

3

13.15

12

1 15 1 2

1538

9/

6log

16log

1

3 2

 = log62log63log661

10/

6log

16log

1

9 4

 = log64log69log6362

11/

)(log

1)

(log

1

ab

a

 = logab alogab blogab ab1

12/ Cho a, b, c dương và khác 1 Chứng minh: alogc b blogc a

b a

a c a a

c

alog  log .log  log log  log

13/ Cho a = log3 15 và b = log3 10 Tính: log 350 theo a và b

3

13

15.10log3

150

log  = 3a + 2b b/ log5 15 = log5 (5.3) = 1 + b c/ log5 12 = log5 (22.3) = 2a + b

  x x

e x e

x x

x x

y/  2cos2 2sin2 2sin2 2cos2 2 4cos2 2

x x

e e

e e

/

x x

x x x x

e e

e e e

e y

e

x e

e x e

cos1

sinln

x y

cos1

sinsin

x

cos1sin

sincos

7/

x

x y

1

2.2

11

11

12

1

x x

x x

41

2 2

2 /

x x

x y

Phương trình mũ và logarit I/ Đưa về cùng cơ số.Cho a > 0 và a ≠ 1

y hay x

y

a

0:0log

5 6

22

3 x  x  x  x

5

35

.23

2

3 3

x x

x

4/ log2x(x –1) = 1  x2 –x = 2  x2 –x –2 = 0  x = –1  x = 2

5/ log2x + log2(x –1) = 1 Ñieàu kieän: 1

01

x

log2x + log2(x –1) = 1  log2x(x –1) = 1  x2 –x –2 = 0  x = –1 (l)  x = 2  x = 2

6/ 5lgx  xlg5 50 Ñieàu kieän: 0 < x ≠ 1 Vì: xlg5 xlog10x.logx5 xlogx5lgx 5lgx





50

5lgx  xlg5   lg lg 2

55505

2 x   x   lgx = 2  x = 100

2.113.23.10

4.113.543.104

3.644

27 

3

43

012

2

x x

21

2

x x x

4 1 3 4

1 2

06

04

02

x x

x x x

4 1 3 4

1 2

1 4

4

64

log2log

4 1 4

2

165log9 x2  x 2  3 x  3x

03

01

065

x

x x

x x

x x

3log2

1log65

2

13

x x

142

142

3

x

l x

11/ log2 x + log3 x + log4 x = log5 x

 log25.log5 xlog35.log5xlog45.log5xlog5x

(log25log35log45)log5 xlog5x  log5x = 0  x = 1

12/ log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2

Điều kiện: x > 1

log4(log2 x) + log2(log4 x) = 2  log4(2log4x)2log4log4x2

 log42log4(log4x)2log4log4x2   

2

3log

log

2

1log

1.2

1

2log

x

x

II/ Đặt ẩn phụ: Cho a > 0 và a ≠ 1

Nếu đặt: t = ax thì điều kiện: t > 0 , khi đó: amx = tm

Nết đặt: t = logax thì không có điều kiện của t, khi đó: m m

4

140164.17

748

148

114

t

t t

t

Với

2

48748

48748

log

1log

1log

3

x x

4/ logx9x2.log23x 12 Điều kiện: 0 < x ≠ 1

2log0

6loglog

3

3 3

2 3

x

x x

3 3x 3 x   3 log3xlog33log3x10

02loglog

1log

1log

3

x x

42

84

x t

x x t

42

26

22

26

Với t = 2 ta được

2

74

 x > 3 hay x –3 > 0 Vì: x

x

x x

31210

x t

x x

t

36

83103

3

16

83103

2

3 2 2 1 4

8log

x

2 1 2

2

3 2 2 1 4

8log

2 2

2 3 2 4

2log

2log3

 log42x9log2 x124518log2x4log22 x

4log

2 2

2 2

2log

;4

1

;81

10/ 32x445.6x 9.22x2 0 81.9x 45.6x 36.4x 0 36 0

2

3.454

9

3

12

2 3

u

x x

x x

Phương trình trở thành: u + v = u.v + 1  u –u.v + v –1 = 0  u(1 –v) + (v –1) = 0

14

5 6

2 3

2 2

x x

x x

023

2 2

x x

x x

1lg

2 2

x x

ĐS:  11 ;

10

11 

13/ log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6 Điều kiện : x > 0

log2 x.log3 x = 2log2 x + 3log3 x –6  log2x(log3x –2) = 3(log3x –2)

2log

9

x x

14/ x1log53log53x13log511.3x 9

 log53x1log53x13log511.3x 9   log53x13x13log511.3x 9

3 x  x  x  x  x  x  2 3 1 2 3 1 2 3 1

4.26

9

3 x  x  x  x  x  x

2

34

9

3

1 3 1

3.3

1 3 )

1 3 (

3

12

3

1 3

1 3

2 2

x x

x x

loai



1 1

3

2

32

log

210

log.2log2

10

10

x x

log

210

log.2log

2

1    log4xlog4xlogx4.log410x2

 log4xlog410x2 log4x10 x2 x10 x16 x2 10x160

17/ 1log4x 3log4x log2 x1

Giải

Điều kiện: x ≥ 1

1loglog

3log

1 4x  4 x  2x  12log4 x 1log4 x 3log4x 2log4 x1

  1log4x 3log4x 1 2log4x10

III/ Sử dụng tính đơn điệu

82

x

x x

82

Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

3

12loglog

2 2

2

1log

2 2

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

3/ 3x + 4x = 5x  1

5

45

3

5

45

4

5

35

x x

5

45

3

5

45

4

5

35

x x

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

65

x t

l x

x t

2532

132

253325

33

253325

33

x t

l x

x t

2743

143

275525

55

275525

55

22

64

x t

x x t

32

15

22

15

3

13log1log

3 3

3

13log1log

3 3

3

 Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (1)

Tập nghiệm của phương trình đã cho S =  2 ; 8

Phương trình trở thành:   1

3

13

26

242

t t t

3

13

1

3

23

2

1 1

3

132

3

13

1

3

23

2

1 1

 t = 1 là nghiệm duy nhất của (1)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 64

Hệ phương trình mũ và logrit

11

2 2

y x

Điều kiện: x > 0 và y > 0

11

2 2

11

2

2xy

y x

11

xy

y x

lg

8lg1

lg 2 2

y x y x

y x

Điều kiện: x + y > 0 và x –y > 0

lg

8lg1

lg 2 2

y x y x

y x

x

y x

lg3lglg

8lg10lg

x

y x

3lglg

80lg

y x y x y x

y x

2

803

3

2 2

y y

x y x y

Nghiệm của hệ (8 ; 4)

3

y x

9722

.3

y x

y x

3 3

y x

y y

366

y x

log

3

5 3

2 2

y x y

x

y x

.3loglog

3

3 5

y x y x

.3loglog

1log

log

3 5 3

3 3

y x y

x

y x y

y x u

1

v u

0log

3

3

y x

y x

1

y x

y x

2

y x

52

3 1

y x

x y

523.3

x y

523.3

x y

523.3

x y

42

523

33

273

322

y x

3 1 8 2

33

322

52

y x

y x

4

4 4

log

y x

4

4 4

log

y x

2

4 4

log8

y x

1log.log

4 4

2 8

y x

y x

3log.log

2 2

2 2

y x

y x

y y

2 2

2 2

log2log

3loglog2

y y

2 2

2 2

2

log2log

03log2log

y y

2 2

2 2

log2log

3log

1log

1log

1log

3log

2 2 2 2

y x y x

1

;21

Bất phương trình mũ và logarit I/ Cùng cơ số

5

2

12

2/ 2 3 2 3 7 3 1

3.23

21log

01

21log

2 2

x x x

21

11

21

x x x

41

01

3

x x x x

01

x x

2

12

5

086

2 2

x x x

x x

086

2 2

x x

x x

24

x

x x

065

2 2

x x

x x

32

x

x x

ÑS: 1  x < 2  3 < x  4

1

13log 2 

131

11

13

13

1

2 2

x x x x x x

023

13

1

2 2

x x x

x x

1

21

13

1

x x

x x

13

1

x x

14

1

2 2

x x

x x x

0log21

2

1log

01

13log

13log

2log

4

4

x x

6log x log6x

2



  6log6xlog6x xlog6x 12   x log6x xlog6x 12

 xlog6x 6  log6x2 1  1log6x1  x 6

33

2log

10

x

x

ÑS:

24

1

0x x

1 1

1

9.46.54

1 1

4

9.42

3.5.9

3.4

1 1

12

3

1 1

01

2 2

x x x

1

2 2

x x x

1

 x = 2

2.32log44

2 1 2

2.32.24

12

2232

1 1

2232



1

11

.Vậy: x2;11;

7/ 1 lg lg 2 lg 2

3.26

4 x  x   x  lgx lgx lgx

9.186

4

32

318

lg lg

32

1

;0

logx x 225x  log25x.logx125x.log25x1  log25125x.log25x1

 log25125log25x.log25x1  3log5x.log5x4

 log52x3log5x40 4log5x1 Vậy: 

.27log

153

153

x

 13x 3

12/ 1 0 1

2log

2loglog2

x x

a

a

2log

4log2



x  log3x4log3x log3243  4log3xlog3 x5

 log32x4log3x505log3x1 Vậy: 

27

23

lg lg

lgx x

15/ 6.9 x x 13.6 x x 6.4 x x 0

2 2

.66

.139

2

3134

9.6

x x x

33

01xx

III/ Một số bài toán có tham số

1/ Tìm m để phương trình: log23 x log32x12m10 có nghiệm trong đoạn

2   ĐS: m ≤ 4 4/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm : 4x – 4m(2x –1) = 0

7/ Xác định m để phương trình sau có nghiệm:2 3 x 2 3x m

ĐS : m  2

8/ Tìm m để bpt sau nghiệm đúng với mọi x

1log121log121log

m

m x

m m

ĐS: 0 < m < 1 9/ Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: lgx2 mxlgx3 ĐS: m > –3 10/ Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x

0323)1(2

236

032

x x x

m

x x

13

2

x x m x

Xét: f x x2 8x3 trên khoảng 3;1

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình có nghiệm khi: –6 < m < 18

IV Một số bài tốn khác

1/ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

x

8log.xlog12xlog

y 42  22 2 trên khoảng ( 1 ; 16) Giải

x

8log.xlog

2 2

x x

x x

x

x

x

014

9

2

05

x

l x

06x

03x

03xlog

2

09x

2 2

2 4 2

 x < –3  x > 3

2 2

4 2

4 4

log

2

23x

log

2

2 4

2 4

loai1x

1yxlog

224

4 2

2 4

xy log xy

22

xy log

xy log

3 3

 log3(xy) = 1  xy = 3

  log x y

2

1y

x

3y

2 2

34xx

3y

2 2

3y

2 4

3y

2 2

1xlogylog2

2 2

2

2 2 1 3

y

log

1xlog

y

log

2

2 2

1xlogy

log2

2 2

3 2

2 2

1xlogylog2

2 3

2 2 3

y

log

1xlog1

x

log

2

2 3

2 2

01xlog2xlog

2 3

1xlog

2 3

1xlog

3 2

101

21101

3

23

1103

101u3

101u

Khi đó:

3

1103

2.172

8.2

67xylog

2.172

8

2

67xylog

2.172

2.4

87xy

2.172

2.4

x1y

x1y

x1y

2282

x1y

x

x

x11

0xx

2 2

1S

0x5

1x2

5x

5

2

2 2

x5logx5

log

0x5

log

2 2

2 2

11

x5log

0x5log

2 2

2 2

2

2

1xlogx5

log

01x

log

1

0x5

log

11/ Giải phương trình: 4 2 2  1

2 2

2

1 x x 1 x

x       ĐS: S2;1;0;1

Giải

  12

24

2 2

2

1 x x 1 x

2 2

2

1 x x 1 x

x 1

x x

2v

2u

1x

0x1

1x

 0 < x < 1

xlogx1

1x

1x

1x

1x

xx1

644

644

642

6yx

6x32

012x12x

2x

2x

4x

lg

y lg x lg

yx

43

Giải:

Điều kiện: x > 0 và y > 0

y lg x

lg

yx

43

4lg.ylg3lg.xlg

xlg.4lg

3lgylg

3lg3lg3lgxlg4lg4

lg

xlg.4lg

3lgy

xlg.4lg

3lgylg

2 2

lg

xlg.4lg

3lgy

4

1lg.4lg

3lgylg

3lgylg

1y

xy24

2 2

2 log xy

x

xy24

2 2

2 log xy

222

2 2

xy log xy

022

2

2 2

xy log xy log

22

vn12

2 2

xy log xy

1xylog

2 3

3xy

3xy

1yx

4yx

3

3x x 2 log mlog    x2 –2x = m2Xét hàm số f(x) = x2 –2x trên khoảng (2 ; + )

Lập bảng biến thiên

17/ Giải phương trình: 3x x 2.3x x 3 x 2 0

3 3

x x

x x

3v

3u

(u, v > 0) , suy ra: uv = 32x

4

01yxxy2x

2 2 2 2

y x y x 2

4

01yxxy2x

2 2 2 2

y x y

2

0yxy21xx

2 2 2 2

y x y x 2 2

2 2 2

2

y x y

0y1x1x

2 2