Đề ôn thi THPT quốc gia môn Toán số 11

Tính theo a thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa đường thẳng CD với mặt phẳng SAB.. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB và tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho CAB

Trường THPT Trần Cao Vân ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA

Tổ TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể phất đề)

Đề 1

Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− (1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

2) Tìm trên đồ thị hàm số (1) các điểm M có hoành độ âm sao cho M cùng với hai điểm

( ) ( )1;0 , 3;1

A B tạo thành một tam giác có diện tích bằng 5

2

Câu 2: (1 điểm)

1) Giải phương trình : log 3.log 22 3( x− =1) 1

2) Giải bất phương trình:

1 2 1

2 2

x

x

+

−

  >

 ÷

 

Câu 3: (1 điểm) Tính

3 2 1

1 1

x x

=

+

∫

Câu 4: (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; · ASC =900 và hình chiếu

của S lên (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC sao cho

4

AC

AH = Tính theo a thể tích của khối chóp và khoảng cách giữa đường thẳng CD với mặt phẳng (SAB).

Câu 5: (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;3; 1− ), B(−1;1;3) và đường thẳng d

có phương trình 2x = y−11= z1−2

− Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB và tìm điểm C

trên đường thẳng d sao cho CAB là tam giác cân tại C.

Câu 6: (1 điểm)

a) Gọi x x là hai nghiệm trên tập số phức của phương trình 1, 2 2

2 5 0

x + x+ = Tính x1 + x2 b) Giải phương trình 1 sin 2+ x=cos 2x

Câu 7: (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng : 2∆ x y+ − =1 0 và điểm A(−1; 2)

Gọi M là giao điểm của ∆ với trục hoành Tìm hai điểm B, C sao cho M là trung điểm AB và trung điểm N của đoạn AC nằm trên đường thẳng ∆, đồng thời diện tích tam giác ABC bằng 4.

44

x y x y





Câu 9: (1 điểm) Cho ba số thực dương x y z, , Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

4

P

+ + +

ĐÁP ÁN

Câu Gợi ý nội dung Điểm 1.1

(1điểm) TxđSự biến thiên

BBT

Đồ thị ( qua các điểm đặc biệt )

0,25 0,25 0,25 0,25 1.2

(1điểm) uuurAB=( )2;1 , AB= 5, phương trình đường thẳng AB: x−2y− =1 0

1

; 1

x

M x

x

+

  là điểm cần tìm, ta có 1 ( ;( ))

2

MAB

S = AB d M AB

1

MAB

x x x S

+

−

2

4 1 5

1

x

⇔ =

−

2 2

9 4 0

6 0

x x

 − + =

 ⇔ = −x 3 (vì x< 0)

ĐS: 3; 1

2

M− 

0,25 0,25

0,25

0,25 2(1điểm)

1) pt⇔log 22( x− =1) 1⇔2x− =1 2 3

2

x

⇔ = 2) bpt⇔2− −x1 >2− 2x⇔ − − > −x 1 2x ⇔ >x 1

0,50 0,50

2 1

1 1

x x

=

+

x dx

x x

=

+

∫

Đặt u= x2+1⇒u2 =x2+1⇒udu xdx= , ⇒x2 =u2−1

2 2

u

=

−

2

1

du

+ − −

=

2

2 u 1 u 1 du

∫

2

2

ln

u u

−

=

ln 3 3 2 2 2

0,25 0,25 0,25

0,25

4

a

4

a

CH =

SAC

∆ vuông tại S:

2

8

a

SH = AH CH = , 3 6

12

a

V =

CD SAB ⇒d CD SAB =d C SAB =4d H SAB( ;( ))

Trong (ABCD), kẻ HK ⊥ AB⇒ AB⊥(SHK) ⇒(SAB) (⊥ SHK)

Trong (SHK), kẻ HI ⊥SK ⇒HI ⊥(SAB)

4

a

HK = , 12 1 2 12

HI =HK +SH 162 82

3

3a

56

a HI

14

a

d CD SAB =

0,25 0,25

0,25

0,25 5(1điểm) Tọa độ trung điểm M của đoạn AB: M(0; 2; 1), uuurAB= − −( 2; 2; 4)

Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn AB đi qua M, nhận nr =(1; 1; 2− ) làm VTPT

nên có phương trình:

0,25

( )

x y+ − − z− = ⇔ + −x y 2z=0

CAB

∆ cân tại C⇔CA CB= ⇔ ∈C ( )P

Vậy C là giao điểm của d với (P), tọa độ C là nghiệm:

2 0

x y z



 + − =



( 6; 4; 1)

C

0,25

0,50 6(1điểm) a) ∆ = − =′ 4 4i2 ,

1 1 2

x = − + i,x2 = − −1 2i, x1 + x2 =2 5

2sin cosx x 2sin x

sin 0 cos sin

x

=



⇔  = −

4

x k

π

=





⇔

 = − +



0,25 0,25

0,25

0,25 7(1điểm)

x

y

C

B

A

M N

Tọa độ M: 2 1 0

0

x y y

+ − =



 =



1

;0 2

M 

Giả sử B x y( ; ), M là trung điểm AB nên 1 1

2 0

x y

− =



 + =

 ⇒B(2; 2− )

Giả sử C x y( ; ), ta có:

1 2 ; 2

ABC

N

∈∆





1

5



⇔ 



x y

+ =



5 20 60 0

x y

+ =





6 2

x x

=



⇔  = −

 ĐS: B(2; 2− ), C(6; 10− ) hoặc C(−2; 6)

0,25

0,25

0,25

0,25

3 3 1(2)





Xéthàm số f t( ) = t + t+ +2 t+4 trên [0;+ ∞) , có

Nên (1)⇔ x+ x+ +2 x+ =4 (y− + +5) 4 (y− + +5) 2 y−5

5

x y

Thay (*) vào (2): y+ −3 y− =2 1 (3)

Nhân (3) với lượng liên hợp: 5= y+ +3 y−2 (4)

(3), (4)⇒ y+ = ⇔ =3 3 y 6

ĐS: ( )1; 6

0,25

0,25

0,25 0,25 9(1điểm)

* 2 2 2 1 ( 2 2) ( 2 2) ( 2 ) ( 2 )

2

x +y + + =z  x +y + x +y + z + + z + 

1

≥  + + + + +  1 ( ) (2 )2

2

1

2

* ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (1 4 )

2

Vì (3 3 ) ( 4 ) 1(3 3 4 )

2

x+ y x y+ + z ≤ x+ y x y+ + + z =2 x y z( + + ) nên (1) ( ) ( ) ( ) 4( )2

6

2 2

P

Đặt t = + +x y z, xét hàm số ( ) 2

8 27

2 2

f t

+ với t >0

Ta có ( ) ( )2 3

8 27 2

f t

t t

3 2

2 3

8 2 108 108

2

f t

t t

+ , f t′( ) =0 6

t

⇔ = ( )6 5

8

f

( )

( )

8 Vậy 5

8

P≤ Suy ra max 5

8

P= khi x y z 6

x y z

+ + =



 = =

0,25

0,25

0,25 0,25

Mọi cách giải đúng khác đều đạt điểm tối đa