Chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc gia môn Toán

B3 Dựa vào đồ thị C để biện luận Lưu ý các giá trị cực trị nếu có của hàm số... Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số C... Học sinh tự làm.. Khảo sát và vẽ C... Khảo sát sự biến t

ÔN TẬP TỐT NGHIỆP 2016

Chủ đề 1: Hàm số và các vấn đề liên quan

Tiết 1: Hàm số bậc 3 ( khảo sát, vẽ đồ thị và biện luận nghiệm)

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

1 Tập xác định của hàm số

2 Sự biến thiên

 Tìm giới hạn  tiệm cận (nếu có)

 Tính đạo hàm y’ Giải phương trình y’ = 0

 Lập bảng biến thiên

 Kết luận về đồng biến - nghịch biến và cực trị

3 Đồ thị: Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu dễ), tìm thêm vài điểm đặc

biệt rồi vẽ đồ thị

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG

Cho hai đường cong (C1): y = f (x) và (C2): y = g (x)

Ph.trình: f (x) = g (x) (*) gọi là ph.trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2)

Số nghiệm ph.trình (*) chính là số giao điểm của (C1 ) và (C2)

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PH.TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

Dùng đồ thị ( C ) của hàm số y = f(x), biện luận theo m số nghiệm của ph.trình F (x,m )

= 0

B1) Biến đổi ph.trình F(x,m ) = 0 Û f (x)=g(m) (*)

B2) Pt (*) là ph.trình hoành độ giao điểm của (C): y = f (x) và đ.thẳng d: y = g (m) Þ Số nghiệm ph.trình đã cho chính là số giao điểm của (C) và d

B3) Dựa vào đồ thị (C) để biện luận (Lưu ý các giá trị cực trị ( nếu có) của hàm

số)

Ví dụ1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y = x3 + 3x2 – 4.(C )

b) Dựa vào đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

x  x  m

Giải

a)y = x3 + 3x2 – 4

Tập xác định: D = ¡

2 2

-ê

Giới hạn:

® + ¥ = + ¥ ;

® - ¥ = - ¥ Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên (- ¥ - ; 2 ; 0;) ( + ¥ ), nghịch biến trên (- 2; 0)

Hàm số đạt cực đại tại x = - 2;y CD = 0, đạt cực tiểu tại x = 0;y CT = - 4

Điểm đặc biệt:

Điểm uốn: y'' = 6x + 6; y'' = 0 Û 6x + 6 = 0 Û x = - 1 Þ y = - 2

Þ I(- 1; 2 - )

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốnI(- 1; 2 - ) làm tâm đối xứng

Xét phương trình: x3  3x2  m 0 x3  3x2     4 m 4 (1)

Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = -m

- 4, dựa vào đồ thị ta được

 -m – 4 > 0  m<-4 => (1) có một nghiệm đơn

 -m - 4 = 0  m =-4 => (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn

 -4< - m-4 < 0  -4< m < 0 => (1) có 3 nghiệm đơn

 -m-4 = -4  m = 0=> (1) có nghiệm kép một nghiệm đơn

 -m-4< -4 m >0 => (1) có một nghiệm đơn

2) Cho hàm số y = - x3 + 6x2 – 9x + 2 (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình: x3 – 6x2 + 9x + m = 0 có 3 nghiệm phân

biệt

Giải:

a Học sinh tự làm

Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m +2

Để phương trình (1 ) có 3 nghiệm phân biệt    2 m     2 2 4 m 0

Tiết 2: Hàm số bậc 4

Hàm số trùng phương:yax4bx2c a(  0):

 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng

I Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2

y x  x 

a Khảo sát và vẽ (C )

b Dựa vào (C ) biện luận theo m số nghiệm của pt: 4 3

Giải:

Tập xác định:

D = ¡

y’ = 4x3 - 4 ;x y’ = 0 Û 4x3 - 4x = 0 Û x 4x2 – 4 = 0 Û x = 0; x = 1; x = - 1

Giới hạn:

® + ¥ = + ¥ ;

® - ¥ = + ¥ Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số đồng biến trên (- 1; 0 ; 1;) ( + ¥ ), nghịch biến trên (- ¥ - ; 1 ; 0;1) ( )

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; y CD = - 3, đạt cực tiểu tại x = ± 1; y CT = - 4

Điểm đặc biệt:

Đồ thị

Nhận xét: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m -3

Nếu m    3 4 m  1 (1)vô nghiệm

Nếu m    3 3 m 0 pt(1)có 3 nghiệm

Nếu   4 m      3 3 1 m 0 pt (1) có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 – 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình – x4 + 2x2 – m2 – 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Giải:

a Học sinh tự làm

Số nghiệm của pt (1) là số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng (d) y = m 2 1 Dựa vào đồ thị ý a pt (1) có 4 nghiệm phân biệt    2 m2       1 1 1 m2  0 (vl)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn

Tiết 3

Hàm phân thức hữu tỉ: y ax b (c 0,ad bc 0)

cx d





Ví dụ 1: Cho hàm số : y x

x

2 1

= +

a Khảo sát và vẽ (C )

b Tìm m để (C ) cắt (d) y = mx + 2m – 1 taị 2 điểm phân biệt A, B

Giải:

a Tập xác định D = ¡ \ { 1} -

3

+

Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng   ; 1 ; ( 1;   )

Giới hạn:

x

y

1

lim

®

-= - ¥ ;

x

y

1

lim

+

®

-= + ¥ Þ x = - 1 là tiệm cận đứng

x

y

® - ¥ = - ;

® + ¥ = - Þ y = - 1 là tiệm cận ngang Bảng biến thiên:

x -∞ -1 +∞

y ' - -

y -1 +∞

-∞ -1

Hàm số không có cực trị

Điểm đặc biệt

Đồ thị:

Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cậnI ( 1; 1)- - làm tâm đối xứng

b Hoành độ giao điểm của (C ) và d là nghiệm của pt:

1

x

x

x



 





g x mx  mx m 

Để (C ) cắt d tại 2 điểm phân biệt ↔pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác

0

0

12

a

m

m











Ví dụ 2 Cho hàm số 2 1

1

x y x

-=

- có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ (C )

b Tìm m để đường thẳng (d): y = - x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1

1

x

x

- (1) Điều kiện: x ¹ 1 Khi đó: (1) Û 2x - 1 = - ( x + m x)( - 1)

Û x2 - (m - 1)x + m - 1 = 0 (2) (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1 Û ( ) ( )

2

m - m + > Û m < 1 Úm > 5 Vậy giá trị m cần tìm là m < 1 Úm > 5

Ví dụ 3 : Cho hàm số 1

2

m x y x

-= + có đồ thị là ( )C m

a Khảo sát và vẽ (C ) với m = -2

b Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x - 1 cắt đồ thị ( )C m tại hai điểm phân biệt A B, sao cho A B = 10

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 1 2 1

2

m x

x x

Điều kiện: x ¹ - 2

Khi đó: (1) Û mx - 1 = (2x - 1)(x + 2) Û 2x2 - (m - 3)x - 1 = 0 (2)

(d) cắt ( )C m tại hai điểm phân biệt A B, Û (1) có hai nghiệm phân biệt

Û (2) có hai nghiệm phân biệt khác - 2 Û ( 3)2 8 0

m m

2

m ¹ - (*) Đặt A x( 1 ;2x1 - 1 ;) (B x2 ;2x2 - 1) với x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình (2)

Theo định lý Viet ta có: 1 2

1 2

3 2 1 2

m

x x

ïïï íï

-ïïïî

A B = x - x + x - x = Û 5 é(x1 x2)2 4x x1 2ù 10

Û

2

3

2

m

çè ø Û m = 3 [thỏa mãn (*)]

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Tiết 4 Phương trình tiếp tuyến

I Kiến thức cơ bản:

1 Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x) tại điểm x0 (C)

B1: Với x0 (C)  f(x0)

B2: Tìm hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0 : '

0 ( )

f x

B3: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y '

f x x x f x

2 Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x) khi biết hệ số góc k

B1: Gọi điểm M(x0; y0) (C)  Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0: '

0 ( )

f x

B2: Vì tiếp tuyến có hệ số góc k  '

0 ( )

f x = k, giải pt tìm x0  f(x0)

B3: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y '

f x x x f x

Chú ý: + Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng: y = kx + m thì có hệ số góc '

0 ( )

f x =

k

+ Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: y = kx + m thì có hệ số góc '

0 ( )

f x k = - 1

+ Nếu tiếp tuyến tạo với trục 0x một góc thì có hệ số góc '

0 ( )

f x = | tan  |

3 Tiếp tuyến của hàm số (C) y = f(x), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; y A ) (C) B1: Gọi điểm M(x0; y0) (C)  Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại x0: '

0 ( )

f x

B2: Phương trình tiếp tuyến của (C) tại x0 có dạng : y '

f x x x f x

B3: Tiếp tuyến đi qua điểm A  '

y  f x x x  f x , giải pt tìm x0

B4: Thế x0 vào B2 ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ 1: Cho hàm số 2 3

1

x y

x

=

- có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C và đường thẳng y = x- 3

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 3

1

x

x x

Điều kiện: x ¹ 1

Khi đó: (1) Û - 2x + 3 = (x - 3)(x- 1) Û 2

2

x x

é = ê

ê =

Suy ra tọa độ các giao điểm là A(0; 3 , - ) (B 2; 1 - )

Ta có:

( )2

1 '

1

y x

-=

Phương trình tiếp tuyến tại A là y = y'(0)(x - 0) - 3 Û y = - x- 3

Phương trình tiếp tuyến tại B là y = y'(2)(x - 2) - 1 Û y = - x + 1

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - x- 3 và y = - x + 1

Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1

2

x y x

+

=

- có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5

Lời giải

Gọi M x y( 0; 0) Î ( )C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Ta có:

( )2

5 '

2

y x

-=

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng - 5 Û y x'( 0) = - 5 Û

( 0 )2

5

5 2

x

=

0

1 3

x x

é = ê

ê =

Với x =0 1 Þ y = -0 3 : M1(1; 3) - Þ pttt: y = - 5x+ 2

Với x =0 3 Þ y =0 7 : M2(3; 7) Þ pttt: y = - 5x + 22 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = - 5x + 2 và y = - 5x + 22

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của

( )C , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ( ) : D y = 9x + 2

Lời giải

Ta có: y' = 3x2 - 6x

Do tiếp tuyến song song với đường thẳng ( )D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9

Gọi M x y( 0; 0) Î ( )C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 9 Û y x'( 0) = 9 Û 2

3x - 6x - 9 = 0 Û 0

0

1 3

x x

é = -ê

ê = êë

Với x = -0 1 Þ y = -0 2 : M -1( 1; 2) - Þ pttt: y = 9 x + 7 Với x =0 3 Þ y =0 2 : M2(3;2) Þ pttt: ( )D (loại) Vậy tiếp tuyến thỏa đề bài là y = 9x + 7

Ví dụ 4: Cho hàm số 2

2

x y x

-= + có đồ thị là ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) : D y = - x + 2

Lời giải

Ta có:

( )2

4 '

2

y x

= +

Do tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( ) D nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 1

Gọi M x y( 0; 0) Î ( )C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Hệ số góc của tiếp tuyến k = 1 Û y x'( 0) = 1 Û

( 0 )2

4

1 2

x

= +

Û (x +0 2)2 = 4

Û 0 0

Với x =0 0 Þ y = -0 1 : M1(0; 1) - Þ pttt: y = x + 1 Với x = -0 4 Þ y =0 3 : M -2( 4; 3) Þ pttt: y = x + 7 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa đề bài là y = x + 1 và y = x + 7

Ví dụ 5: Lập phương trình tiếp tuyến của (C): y = f x( )= x3 – 3x + 2 biết rằng tiếp tuyến

đi qua A(2; –4)

Lời giải

Gọi M x y( 0; 0) là tiếp điểm

0 0 – 3 0 2 ’( ) 0 3 0 – 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là:

y x x + = x x x Û y = x - x- x + (1)

Vì tiếp tuyến đi qua A(2;– 4) , nên

Khi x =0 0: Phương trình tiếp tuyến là y = –3x + 2

Khi x =0 3: Phương trình tiếp tuyến là y = 24 – 52x

Tiết 5 Cực trị

1 Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại x = a

+ Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a  f/(a)  0 và chứng minh f//(a)  0

+ Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a  f/(a)  0 và chứng minh f//(a)  0

+ Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x0 , y0













0 0 0 /

) (

0 ) (

y x f

x f

và chứng minh f// (x0)  0

2 Xác định tham số để hàm số có cực trị

 Với hàm số bậc ba đạo hàm là một tam thức bậc hai : f ’ (x) = Ax2 + Bx + C, (A 0)

+ Hàm số f(x) đạt một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f ’ (x) = 0 có

hai

nghiệm phân biệt  A 0 ,   0

+ Hàm số f(x) không có cực trị khi và chỉ khi phương trình f ’ (x) = 0 có nghiệm kép

hoặc vô

nghiệm 0

 Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) ,

















) 1 ( 0 2

0 0

2 /

b ax

x

y

+ Hàm số có ba cực trị (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 0





a b

Khi đó hàm số có hai cực tiểu, một cực đại khi a > 0; có hai cực đại, một cực tiểu khi

a < 0

+ Hàm số có một cực trị (1) vô nghiệm hoặc có 1 nghiệm x = 0 0





a

b

II Các ví dụ:

3

m để hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: 2 ( 2 ) 2

y = x + m - m + x + m +

Điều kiện cần:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2 Þ y -'( 2) = 0 Û 2

3

m m

é = ê

ê =

Điều kiện đủ:

Với m = 1, ta có: y' = x2 + 4x + 4, y' = 0 Û x = - 2 Bảng biến thiên

x - ¥ - 2 + ¥

'

y + 0 +

y

+ ¥

- ¥

Từ BBT ta suy ra m = 1 không thỏa

Với m = 3, ta có: y' = x2 + 16x + 28, ' 0 14

2

x y

x

é = -ê

Bảng biến thiên

x - ¥ - 14 - 2

+ ¥

'

y + 0 - 0 +

y CĐ

+ ¥

CT

- ¥

Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = - 2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 3

Ví dụ 2: Cho hàm số 1 2 3 2

3

điểm cực trị

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: 2 2

y = m - x + m + x +

y = Û (m2 - 1)x2 + 2(m + 1)x + 3 = 0

Hàm số có hai điểm cực trị Û y =' 0 có hai nghiệm phân biệtÛ

2

m

ïï

ïïî

m

ïï

Vậy giá trị m cần tìm là 1

m m

ìï ¹ ï íï- < <

Ví dụ 3 Cho hàm số y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị

Lời giải

y = mx + m - x = x mx + m -

x

é = ê ê

Hàm số có ba điểm cực trị Û y =' 0 có ba nghiệm phân biệt Û (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0

2

0

m

m m m

ïï

íï

ïïî

Û

0 3

3

m m m m

ìï ¹ ïï

ï é <

-ïï ê

í ê

ïê < <

ï ë

ïï ¹ ïïî

m m

é < -ê

ê < <

Vậy giá trị m cần tìm là 3

m m

é < -ê

ê < <

Tiết 6 Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

I Kiến thức cơ bản

Định lí : Cho hàm số y = f x( ) xác định trên khoảng K

 ( ) đồng biến trên K Û f x'( ) ³ 0, " Îx K

 ( ) nghịch biến trên K Û f '( )x £ 0, " Îx K

(chỉ xét trường hợp f '( )x = 0 tại một số hữu hạn điểm trên khoảng K )

II Các ví dụ:

Ví dụ 1:

Cho hàm số 1( 2 ) 3 2 2 3 1

3

y = m - m x + m x + x - Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên

¡

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ Đạo hàm: y' = (m2 - m x) 2 + 4m x + 3

Hàm số luôn đồng biến trên ¡ Û y ³' 0 " Î ¡x

0

1

m

m

é = ê

+ Với m = 0, ta có y' = 3 > 0, " Î ¡x , suy ra m = 0 thỏa

+ Với m = 1, ta có ' 4 3 0 3

4

0

1

m

m

ï

ïî , khi đó:

' 0

y ³ " Î ¡x Û

2 2

ì

m

ï

íï < Ú >

Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị m cần tìm là - 3 £ m £ 0

Ví dụ 2:

-=

- Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ \ { }m

Đạo hàm:

2

2

y

=

Dấu của y' là dấu của biểu thức 2

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định Û y ³' 0, " Îx D (y ’=0 chỉ xảy

ra tại hữu hạn điểm ) '

0

y

- - + > Û - 8 < m < 1 Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m < 1

Ví dụ3 Cho hàm số y mx 7m 8

-=

- Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng

(3; + ¥ )

Lời giải

Tập xác định: D = ¡ \ { }m

Đạo hàm:

2

2

y

=

Dấu của y' là dấu của biểu thức 2

Hàm số đồng biến trên khoảng (3; + ¥ ) Û y >' 0, " Îx (3; + ¥ )

Û

2

3

m

ïï

íï £

3

m m

ìï - < <

ï

íï £

Vậy giá trị m cần tìm là - 8 < m £ 3

Tiết 7 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

I Kiến thức cơ bản:

1) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f x( ) trên khoảng (a;b):

 Lập bảng biến thiên rồi dựa vào đó để kết luận

2) Tìm GTLNGTNN của hàm số y = f x( ) trên đoạn [a b, ](ta không cần lập bảng biến thiên)

 Xét hàm số đã cho liên tục trên đoạn [a b, ]

 Tìm đạo hàm f x'( )và tìm các điểm tới hạn x x1, 2, của y = f '( )x trên đoạn

,

a b

[ ]

 Tính các giá trị f x( ), (1 f x2), , ( ), ( ).f a f b

 Số lớn nhất trong các số f x( ), (1 f x2), , ( ), ( )f a f b là GTLN cần tìm Số nhỏ nhất trong các số f x( ), (1 f x2), , ( ), ( )f a f b là GTNN cần tìm

II Các ví dụ :

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y x

x2

4

= +

trên khoảng

(0; + ¥ )

Lời giải

Tập xác định D = ¡ Đạo hàm:

x y

x

2 2 2

4 ' 4

-= +

2 ( )

2 ( )

é = ê

-êë

Bảng biến thiên

x 0 2 + ¥

y’ + 0 -

y

0 1

4 0