các bài toán bất đẳng thức

Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, BCH trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam đã chỉ rõ "Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học , rèn luyện và phát triển khả năng suy

§¹i häc th¸i nguyªn

MỤC LỤC

Trang bìa phụ 1

Mục lục 2

Lời cảm ơn 3

Danh mục các từ viết tắt 4

MỞ ĐẦU 5

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 8

1.1 Tổng quan về hoạt động trí tuệ 8

1.1.1 Tư duy và những vấn đề liên quan 8

1.1.2 Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán 13

1.2 Hoạt động trí tuệ trong dạy và học ở trường phổ thông 23

1.2.1 Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT 23

1.2.2 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh 25

Kết luận chương 1 28

Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 29

2.1 Tổng quan về BĐT 29

2.2 Dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ qua bài toán BĐT ở trường THPT 31

2.2.1 Chủ đề 1: Bài toán BĐT Đại số 31

2.2.2 Chủ đề 2: Bài toán BĐT hình học và cực trị hình học 54

2.2.3 Chủ đề 3: Ứng dụng hàm số trong chứng minh BĐT 63

Kết luận chương 2 72

Kết luận 69

Tài liệu tham khảo 70

Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ hòm thư: Alm.maths@gmail.com

Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2012

Sinh viên

Lê Minh An

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Xuất phát từ mục tiêu trong giáo dục đào tạo của Đảng và Nhà nước

Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, BCH trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam đã chỉ rõ "Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học , rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở trường phổ thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề"

Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" (Chương I, Điều 4)

Xuất phát từ thực trạng dạy và học ở các trường phổ thông ở nước ta hiện

nay

Trong thực tế giáo dục hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh thường tiếp thu kiến thức một cách khá thụ động, vận dụng kiến thức một cách máy móc, không linh hoạt, và do đó thường lúng túng khi gặp vấn đề đó nhưng được biến đổi dưới dạng khác, hoặc đứng trước vấn đề mới Nguyên nhân của tình trạng này một phần

là do cách học của các em chưa phù hợp, nhưng phương pháp dạy của giáo viên chưa chú trọng đến việc phát triển tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh cũng là một lí do quan trọng Vì vậy cần tích cực dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tư duy học sinh để giúp học sinh học tập tốt, tiếp thu kiến thức hiệu quả, và xa hơn là phát triển giáo dục theo chiều sâu, xây dựng đào tạo con người mới: chủ động sáng tạo, phù hợp với sự phát triển của khoa học kĩ thuật như hiện nay

Xuất phát từ vài trò của môn Toán nói chung và nội dung Bất đẳng thức

nói riêng trong dạy và học ở trường phổ thông

Toán học là ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa học khác Nói đến toán học là nói đến sự chặt chẽ và logic Trong chương trình giáo dục

phổ thông môn toán không những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống kiến thức căn bản, mà nó còn được coi như là một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh

Bất đẳng thức (BĐT) là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ thông, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán phức tạp BĐT xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông, như trong việc giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó BĐT sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ

cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài: "Rèn luyện

một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán Bất đẳng thức"

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh THPT thông qua bài toán BĐT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lí luận và xác định một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ của học sinh trong giảng dạy môn toán ở trường THPT

- Trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đã được xác định, đề xuất phương án rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT

- Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm kết quả việc thực hiện phương án rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua bài toán BĐT

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT

qua các bài toán BĐT Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Tổng quan về hoạt động trí tuệ

1.1.1 Tư duy và những vấn đề liên quan

a) Tư duy là gì (xem [4])

Theo các nhà tâm lí học thì tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết

Quá trình nhận thức gồm hai giai đoạn: nhận thức cảm tính (gồm hai quá trình cảm giác và tri giác) và nhận thức lý tính (gồm hai quá trình tư duy và tưởng tượng) Như vậy, tư duy thuộc giai đoạn nhận thức lý tính nhưng vẫn có mối quan

hệ mật thiết với nhận thức cảm tính được bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, dựa trên

cơ sở nhận thức cảm tính

Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được diễn đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu, công thức

b) Những vấn đề liên quan với tư duy (xem [11])

Tư duy và ngôn ngữ

Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau : tư duy chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ ; tư tưởng của con người tồn tại vì có từ, có tiếng nói Tư tưởng thuộc phạm trù nội dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức Nội dung quyết định hình thức, hình thức lại ảnh hưởng trở lại nội dung

Trong toán học, việc thể hiện đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng toán học và hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng của giáo dục toán học

Ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ :

- Trong ngôn ngữ toán học, một dấu, một chữ số, chữ cái, dấu phép tính hay dấu quan hệ có thể biểu thị được điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến một mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị được Điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên

- Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên

- Trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến, điều đó cho phép ngôn ngữ toán học rất thích hợp để khái quát diễn đạt các quy luật chung

Tư duy và nhiệm vụ nhận thức

Tư duy chỉ nảy sinh khi có tình huống có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức Tư duy là sự vận động từ chỗ chưa biết, biết không đầy đủ, đến chỗ biết và biết đầy đủ Trong quá trình dạy học, khi giáo viên đặt học sinh trước một câu hỏi, bài tập, bài toán (nhiệm vụ nhận thức), tư duy sẽ nảy sinh khi học sinh phải đi tìm cách giải quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống nhau và khác nhau, khái quát các sự kiện và tự mình rút ra các kết luận

Trong giáo dục toán học, các bài toán có vai trò đặc biệt quan trọng, là động lực thúc đẩy tư duy học sinh tích cực hoạt động Theo nhà giáo dục toán học G.Polya, nếu lấy việc làm cho tư duy học sinh tích cực nhiều hay ít để làm tiêu chuẩn phân loại thì có thể phân các bài toán làm 2 loại : bài toán chuẩn và bài toán không chuẩn Bài toán chuẩn là bài toán có thể được giải bằng cách áp dụng trực tiếp các quy tắc mà người giải chỉ cần có kinh nghiệm nhất định trong việc áp dụng một số quy tắc theo thuật toán Còn bài toán không chuẩn là bài toán được giải không theo một khuôn mẫu đã biết từ trước, nó đòi hỏi phải có sự sáng tạo nhất định ở học sinh Trong việc phát triển tư duy cho học sinh, bài toán chuẩn cũng có những lợi ích và cần thiết Tuy nhiên nếu tuyệt đối hóa vai trò của chúng thì không phát triển được tự duy sáng tạo cho học sinh Vậy cần phải có sự coi trọng đúng mức với cả hai loại toán chuẩn và không chuẩn

Tư duy và hoạt động

Hành động là sự vận động hướng vào đối tượng và theo đuổi một mục đích xác định

Trong tâm lí học, phân biệt những hành động vật chất (bên ngoài, vận động) với các đối tượng và những hành động trí tuệ (bên trong, tâm lí) với các hiện thực tâm lí

Một tập hợp các hành động trí tuệ gọi là hoạt động trí tuệ

Nội dung chính của giáo dục toán học coi trọng yếu tố hành động của chủ thệ nhận thức như sau :

- Nhà sư phạm lựa chọn, tạo ra những hoàn cảnh, môi trường có chứa đựng những khái niệm toán học sẽ giảng dạy cho học sinh

- Học sinh hành động trong môi trường toán học (dưới hình thức trò chơi hay thực hiện một nhiệm vụ nào đó) thông qua hành động, học sinh "tách" nội dung toán học trừu tượng ra khỏi hoàn cảnh đã toán học hóa

Tư duy và kiến thức

Tư duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loại hình nhiệm vụ nhận thức được đặt ra Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là phương tiện cơ bản, vừa là kết quả cuối cùng của quá trình tư duy

Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể chia làm hai loại :

- Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài toán khi đọc kĩ đề bài

- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhưng không

có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được ; đó là những kiến thức về định nghĩa, định lí toán học mà người giải toán đã thu thập được từ trước Những kiến thức này cần thiết cho sự thiết lập mối quan hệ logic giữa điều kiện và kết luận của bài toán

Sự phát triển của các năng lực tư duy, đòi hỏi sự phát triển của cả mặt nội dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí tuệ) Thực tế giáo dục cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉ nghe giảng qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay ; vì kiến thức chưa nắm vững, vì chưa có đầy đủ kiến thức hai loại nên không giải được toán Ngược lại, có nhiều học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịu giải bài tập, hành động trí tuệ ít được rèn dũa nên cũng không giải được bài toán đòi hỏi phải "động não" chút ít

Tư duy và những đặc điểm nhân cách

Những đặc điểm nhân cách bộc lộ rất rõ nét trong toàn bộ hoạt động nhận thức nói chung, hoạt động tư duy nói riêng của con người Mỗi thành phần của nhân cách có ảnh hưởng khác nhau đến hoạt động tư duy

- Thành phần thứ nhất của nhân cách đặc trưng khuynh hướng của nhân

cách; Khuynh hướng bao hàm một hệ thống các nhu cầu và hứng thú có tác động lẫn nhau, trong đó có những hứng thú giữ vai trò chủ đạo Khuynh hướng chủ đạo của nhân cách quyết định toàn bộ hoạt động tâm lí của nhân cách, chẳng hạn, sự chủ đạo của nhu cầu nhận thức dẫn tới trạng thái tương ứng của ý chí và cảm xúc, trạng thái này làm cho hoạt động trí tuệ trở lên tích cực

Trong quá trình dạy học môn toán, muốn nâng cao chất lượng nắm vững kiến thức của học sinh giáo viên cần coi trọng bồi dưỡng động cơ học tập đúng đắn, bồi dưỡng hứng thú toán học cho học sinh

- Thành phần thứ hai của nhân cách xác định những khả năng của nhân cách

và bao hàm một hệ thống những năng lực (thu nhận, chế biến, ghi nhớ các thông tin toán học) bảo đảm thực hiện một hoạt động thắng lợi

- Thành phần thứ ba của nhân cách là tính tình của con người, thành phần này ảnh hưởng đến quá trình tư duy dưới hình thức phản ứng trước việc tìm tòi thấy hay không thấy lời giải bài toán Dẫn tới sự thỏa mãn, tự tin hay kém tự tin gây thuận lợi hoặc trở ngại cho hoạt động trí tuệ được tiếp tục

- Thành phần thứ tư của nhân cách được xây dựng dựa trên các thành phần khác của hệ thống điều khiển Trong hoạt động tư duy, hệ thống điều khiển thực hiện sự tự điều chỉnh : Tăng cường hoặc giảm bớt hoạt động ; tự kiểm tra và tự sửa chữa những sai sót trong hoạt động ; lập kế hoạch cho hoạt động

Do vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải kết hợp việc truyền thụ trị thức toán học với việc bồi dưỡng những phẩm chất nhân cách cho học sinh

c) Quá trình tư duy (xem [4])

Tư duy là một hành động Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực tiễn Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn (khâu) kế tiếp nhau :

(1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác

là tìm được câu hỏi cần giải đáp

(2) Huy động, làm xuất hiện trong trí não những tri thức kinh nghiệm, những liên tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã được xác định và biểu đạt

(3) Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết cho phù hợp với nhiệm

vụ đã đề ra, từ đó đưa ra cách giải quyết có thể có đối với nhiệm vụ tư duy

(4) Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau, nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

(5) Giải quyết đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng Quá trình giải quyết nhiệm

vụ thường có nhiều khó khăn do chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện của bài toán hoặc đưa vào bài toán một điều kiện thừa và do tính khuôn sáo cúng nhắc của

tư duy

Nhà tâm lí học Xô Viết K.K.Platônốp đã tóm tắt các giai đoạn của một hành động (quá trình) tư duy bằng sơ đồ (Hình H1.1) [4]

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên tưởng

Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả

1.1.2 Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán

Theo Nguyễn Bá Kim [5] thì nội dung dạy học môn toán có mối liên hệ chặt chẽ với các hoạt động của học sinh Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó

Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học Nội dung môn toán

ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động Trong đó có các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa

Phân tích và tổng hợp:

Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt

của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần Trái lại, tổng hợp là dùng

trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau, chúng là hai mặt của một quá trình thống nhất

Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể đó sâu sắc hơn

Sự thống nhất giữa quá trình phân tích – tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I), định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận thức sâu sắc hơn (tổng hợp II);

Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II Các thao tác phân tích tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ Chẳng hạn, muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng, thì trước hết phải tách từng mặt của một đối tượng (tổng hợp II) xem chúng có những mặt nào giống nhau, những mặt nào khác nhau

Trong mọi khâu của quá trình học tập toán học của học sinh, năng lực phân tích và tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để xem bài toán thuộc loại gì, cần huy động những kiến thức thuộc vùng nào, có thể sự dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải Sau khi tìm lời giải của các bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán đang xét Thông thường, khi tìm tòi lời giải ta dùng đến năng lực phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta thường dùng đến năng lực tổng hợp để trình bày lời giải, giúp lời giải ngắn gọn, dù đôi khi có vẻ thiếu tự nhiên Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo lối tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng, song khi giảng bài, giáo viên cần

có những câu hỏi gợi mở, dẫn dắt để đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lí luận càng tự nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không áp đặt, không đột ngột, để tạo hứng thú và giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích

Ví dụ 1.1:

Bài toán: Cho a b c, , >0 thỏa mãn abc= 1 CMR: 3 3 3

a + +b c ≥ + +a b c

Nhìn bao quát bài toán:

Đây là bài toán chứng minh BĐT có điều kiện 3 biến đối xứng, phương pháp chứng minh: sử dụng BĐT cổ điển, sử dụng định nghĩa (xét hiệu hai vế), Bài toán

cho 3 số dương ( a b c, , >0) có tích bằng 1 ( abc =1) Yêu cầu chứng minh tổng các

lập phương của chúng lớn hơn hoặc bằng tổng của chúng ( a3 + + ≥ + +b3 c3 a b c) Phân tích:

- Nhìn vào 2 vế của bất đẳng thức, tương ứng là 3 3 3

, ,

a b c và a, b, c Làm thế nào để “hạ bậc”, chẳng hạn từ a 3 xuống a? Có liên hệ đến BĐT quen thuộc

nào có thể hạ bậc được không? (BĐT Côsi (AM-GM))

- a,b,c là các số dương nên ta có thể áp dụng BĐT Côsi, vậy áp dụng BĐT Côsi như thế nào? Áp dụng a3+ + ≥b3 c3 3abc được không? (Đúng nhưng không đi đến kết quả!)

- Dấu đẳng thức xảy ra khi a= = =b c 1, vậy phải chăng ta nên áp dụng BĐT

Côsi với 1! Áp dụng BĐT Côsi cho a 3 và 1 mà phải “hạ bậc” của a 3 xuống

Để có được BĐT cần chứng minh cần phải chứng minh thêm a+b+c≥3 Còn

giả thiết nào chưa sử dụng? (abc=1) BĐT nào biểu thị mối liên hệ giữa a+b+c

Trong dạy học môn toán nói chung, dạy học môn Toán ở trường THPT nói riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp học sinh tìm ra những dấu hiệu thuộc tính bản chất đặc trưng của sự vật (hiện tượng) từ đó giúp học sinh nắm vững và sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống Cần luyện tập cho học sinh so sánh những

sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau, hoặc cho học sinh so sánh các sự vật theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh này thì chúng khác nhau, nhưng nhìn ở khía cạnh khác thì chúng có thể giống nhau

Ví dụ 1.2:

Bài toán 1.2.1: Cho tứ giác ABCD, có AC ⊥BD CMR:

AB BC+AD CD≥ AC BD

Cộng vế 2 BĐT trên ta suy ra được điều phải chứng minh

Nhận xét: Khi mới nhìn qua đề bài thì 2 bài toán trên không có gì liên quan đến nhau, nhưng thực chất hai bài toán này là một Bởi ở bài toán 1, nếu ta đặt OA = a,

a +c b +c + a +d b +d ≥ a+b c+d (*) Đây chính là bài toán 2

Qua sự so sánh này ta có thể đưa ra lời giải bằng phương pháp hình học khá độc đáo cho bài toán 2, tương ứng có thể đại số hóa lời giải của bài toán 1, và đồng thời hiểu được ý nghĩa hình học của BĐT (*)

Như vậy chính sự so sánh các sự vật và hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau sẽ giúp cho quá trình khái quát hóa hay dự đoán bằng tương tự một cách sâu sắc

Tương tự

Là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với những đối tượng kia

H1.2

Kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết, một dự đoán, có thể đúng, có thể sai nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới Trong hoạt động giải toán,

sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải giúp nhanh chóng tìm ra lời giải, do đó khi dạy một tri thức mới, ra một bài tập mới, gợi

ý cho học sinh biết liên hệ kiến thức cũ, dự đoán kết quả để tìm ra phương pháp giải quyết

Ví dụ 1.3 Xét 2 bài toán:

Bài toán 1.3.1 CMR: ∀a b c, , ≥0 ta có:

32

[ ]? Bài toán trên có gì giống với bài toán đã xét không ?

+ Các biến trong BĐT đều là các số thực dương

+ "Mô hình" của BĐT nói chung là không thay đổi

[ ]? Có thể đưa ra một định hướng tương tự như bài toán 1 không?

[ ]? Có thể lập các biểu thức tương tự không? Mục đích của việc lập các biểu thức

M, N để làm gì? Các biểu thức M, N có đặc điểm gì?

+ Lập biểu thức M, N để "ghép" với S (vế phải của BĐT) có thể "giản ước" trực tiếp hoặc thông qua BĐT Côsi

[ ]? Vậy có cách nào khác để đánh giá nó không?

[ ]? Hãy quan sát đặc điểm của biểu thức này Để ý đến tử số của các hạng tử, có 2 cặp hạng tử có tử số giống nhau, ghép chúng lại xem có đặc điểm gì không?

[ ]? Áp dụng vào bài toán được không?

Nhận xét: Như vậy hướng dẫn học sinh giải bài toán theo một bài toán tương tự

đã giúp học sinh giải quyết bài toán dễ dàng và tự nhiên hơn, hơn nữa còn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn bài toán

Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát là dùng trí não tách ra cái chung trên cơ sở những đối tượng, sự kiện, hiện tượng đã biết của các trường hợp riêng Tức là chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của một số phần tử của tập xuất phát

Nhờ khái quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán Khái quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn (có thể đúng hặc không đúng (hoặc không giải được)) Có khi tổng quát hóa một bài toán lại giúp ta tim tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài toán đã cho Muốn khái quát hóa thường phải so sánh nhiều đối tượng, hiện tượng, sự kiện với nhau

Để rèn luyện cho học sinh năng lực khái quát hóa đúng đắn, cần luyện cho học sinh biết phân tích, tổng hợp, so sánh để tìm ra cái chung ẩn náu trong các hiện tượng, sau những chi tiết tản mạn khác nhau, nhìn thấy cái bản chất của các hiện tượng, sau cái hình thức bên ngoài đa dạng, “tóm lược” cái chính, cái cơ bản, cái chung trong cái khác nhau bên ngoài

Muốn vậy, một điều quan trọng là giáo viên phải biết biến thiên những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tượng đang nghiên cứu và giữ không đổi những dấu hiệu bản chất

Ngược lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa có tác dụng để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc để tìm ra kết quả khác Trong việc giải toán, việc xét trường hợp đặc biệt có khi gợi ý cho ta tìm được lời giải của bài toán đang xét hoặc thấy được phương pháp giải

Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất

Ví dụ 1.4

Bài toán 1.4.1 Cho a b, >0, a+ =b 2 CMR:c a2+b2 ≥ +a b

[ ]? Tương tự như phân tích ở ví dụ 1.1, để “hạ bậc” chẳng hạn từ a2 xuống a, đảm bảo đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 ta áp dụng BĐT Côsi: a2+ ≥1 2 ;a b s 2+ ≥1 2b

⇒ + ≥ + − thêm điều kiện a+b=2 ta có đpcm

[ ]? Có thể mở rộng BĐT trên không? Ta thử với ba số thực dương a, b, c? Chưa vội

để ý đến điều kiện của a, b, c thì BĐT có thể viết lại như nào? (Khái quát hóa) (a2+ + ≥ + +b2 c2 a b c)

[ ]? Áp dụng tương tự như bài toán trên ta có thể chỉ ra được điều gì?

[ ]? Vậy ta có bài toán mới như thế nào?

Bài toán 1.4.2 Cho a b c, , >0,a+ + =b c 3.x CMR:c a2+ + ≥ + +b2 c2 a b c

[ ]? Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn không? Với 4 số? 5 số? Với n số thì sao?

Trừu tượng hóa và cụ thể hóa

Khi khái quát hóa, ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này Chẳng hạn khi xem xét hình dáng của các vật (hình cầu chẳng hạn), ta gạt qua một bên kích thước, màu sắc, chất liệu, công dụng,… của các vật đó Đó là trừu tượng hóa

Quá trình ngược lại nhưng có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa là cụ thể hóa Đó là ý nghĩ về một cái riêng mà cái riêng này tương ứng với một cái chung nhất định Cũng có thể nói: cụ thể hóa là quá trình minh họa, giải thích những khái niệm, qui luật khái quát, trừu tượng bằng ví dụ

Toán học mang tính trừu tượng cao độ vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực trừu tượng hóa có ý nghĩa hết sức quan trọng Để phát triển năng lực trừu tượng hóa cho học sinh, cần nắm vững mối quan hệ qua lại chặt chẽ giữa tư duy cụ thể và tư duy trừu tượng, theo con đường biện chứng để nhận thức chân lý: “từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn” trong khi hình thành, củng cố các kiến thức toán học cho học sinh

Ví dụ 1.6

Bài toán: Duyên có một miếng bìa các-tông hình vuông có cạnh dài 2(m) Duyên

muốn dùng miếng bìa ấy cắt ở 4 góc ra những hình vuông bằng nhau để gấp lên

một cái thùng hình hộp (không nắp) để đựng đồ Hãy nghĩ cách giúp Duyên cắt miếng bìa để cái thùng có thể tích lớn nhất

Để giải bài toán này học sinh cần tách các đặc điểm về chất liệu, đơn vị đo (mét), công dụng của thùng, chú ý vào các đặc điểm hình vuông, tạo thành hình hộp, thể tích của hình hộp, để từ đó hình thành lên biểu thức biểu thị các mối liên

hệ trong bài toán

1.2 Hoạt động trí tuệ trong dạy và học ở trường phổ thông

1.2.1 Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT

Lứa tuổi học sinh THPT bao gồm những em có độ tuổi từ 14 đến 18 tuổi Đó

là những học sinh đang theo học từ lớp 10 đến lớp 12 ở các trường THPT

Lứa tuổi này còn gọi là lứa tuổi thanh niên học sinh và nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong các thời kì phát triển của trẻ em Đây là thời kì kết thúc cả quá trình phát triển lâu dài của các lứa tuổi từ 0 đến 18 tuổi, là thời kì kết thúc một quá trình trưởng thành và phát triển lâu dài của trẻ em về sinh lí và tâm lí, là thời kì năng lực trí tuệ, nhân sinh quan, thế giới quan , lí tưởng và toàn bộ nhân cách con người đang phát triển và biến đổi về chất

Đặc điểm nổi bật về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT đó là tính chủ định, tính chủ động, tính tích cực, tính tự giác được thể hiện rõ rệt ở tất cả các quá trình nhận thức Có thể nói, năng lực tư duy, năng lực tưởng tượng, và các khả năng khác của học sinh THPT được hoàn thiện nhanh chóng và có chất lượng cao

Về sự phát triển của trí nhớ: Ở lứa tuổi của học sinh trung học phổ thông,

ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ của các em Đồng thời, vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt (các

em biết sử dụng tốt hơn các phương pháp ghi nhớ: tóm tắt ý chính, so sánh, đối chiếu…) Đặc biệt, các em đã tạo được tính chủ động, tính mục đích trong quá trình ghi nhớ Các em hiểu được ý nghĩa của việc ghi nhớ và biết ghi nhớ theo điểm tựa, ghi nhớ logic kết hợp với tư duy trừu tượng Tuy nhiên ở độ tuổi này, vẫn còn một

số em ghi nhớ đại khái, chung chung và nhiều em còn coi thường việc ôn tập tài liệu, dẫn tới kết quả ghi nhớ chưa cao

Về sự phát triển của tư duy: Do tính quyết định của ý nghĩa hoạt động học

tập cùng với sự phát triển hoàn thiện của quá trình nhận thức đã dẫn đến tư duy của học sinh THPT có những thay đổi quan trọng Đặc trưng của tư duy trong giai đoạn này là: Tư duy trừu tượng phát triển mạnh và chiếm ưu thế trong mọi hoạt động đặc biệt là hoạt động học tập Khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát triển Các em tư duy logic, chặt chẽ, có căn cứ và nhất quán hơn lứa tuổi trước, đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển Khả năng vận dụng các thao tác

tư duy khá nhuần nhuyễn và đạt kết quả cao Nhờ đó học sinh THPT có khả năng lĩnh hội các khái niệm khoa học trừu tượng phức tạp Các năng lực trí tuệ của học sinh THPT đạt tới mức độ tương đối hoàn thiện Đặc biệt là năng lực trừu tượng hóa

và khái quát hóa Từ đó làm nảy sinh thêm nhiều năng lực mới ở các em Khả năng đặt vấn đề và giải quyết vấn đề trong học tập của học sinh THPT tương đối sáng tạo

và linh hoạt Điều đó nghĩa là phương thức tư duy và phương thức nhận thức của các em đã có những thay đổi về chất so với lứa tuổi trước Song bên cạnh những ưu điểm đáng kể thì tư duy học sinh THPT vẫn còn những hạn chế như: Nhiều em kết luận vội vàng, thiếu tính lịch sử, một số em phát huy được năng lực độc lập suy nghĩ Chính vì vậy, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo

Về sự phát triển của tưởng tượng: So với lứa tuổi trước thì tưởng tượng của

học sinh THPT ngày càng phù hợp và gần với thực tế hơn Tính sáng tạo trong tưởng tượng đang phát triển mạnh mẽ Tưởng tượng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về phạm vi ở nhiều lĩnh vực Thể hiện rõ nhất là tưởng tượng được ứng dụng ngay vào hoạt động học tập và rèn luyện của học sinh, khả năng tái tạo, khả năng thâm nhập vào các môn khoa học tự nhiên cao hơn ở các lứa tuổi trước rất nhiều

Về hoạt động ngôn ngữ: Do được học nhiều bộ môn, được lĩnh hội nhiều

khái niệm, nhiều danh từ khoa học, đặc biệt, lúc này học sinh THPT đã được học nhiều sách, cùng với các quan hệ xã hội mở rộng và sâu sắc đã đem đến cho các em

sự phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện về ngôn ngữ

Như vậy, có thể nói năng lực nhận thức của học sinh THPT phát triển ở mức

độ cao và tiến dần tới sự hoàn thiện, ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa đóng vai trò quan trọng; khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát triển; tưởng tượng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về phạm vi, ngôn ngữ phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện, tất cả các yếu tố đó là điều kiện thuận lợi cho việc dạy học rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy trong nhà trường

1.2.2 Rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh

Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh ở trượng THPT được thực hiện ở tất cả các môn học trong nhà trường Đối với bộ môn toán thì đó là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên Chủ đề về BĐT phong phú, đa dạng, quá trình giải các bài toán BĐT vận dụng nhiều kiến thức, sử dụng được nhiều phương pháp giải, đây cũng loại toán khó nhưng có thể gây được nhiều hứng thú học tập cho học sinh Vì vậy trong quá trình học tập giải các bài toán BĐT học sinh sẽ có nhiều cơ hội được rèn luyện các hoạt động trí tuệ

và phát triển tư duy

Với số lượng các bài tập về BĐT còn ít, nói chung các trường THPT chưa chú trọng dạy nội dung toán này cho học sinh diện đại trà mà chỉ tập trung dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp Với điều kiện thực tế như vậy thì việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh diện đại trà thông qua chủ đề

về BĐT hiện nay ở các nhà trường là rất hạn chế, trong khi thông qua dạy học loại toán này có nhiều cơ hội cho học sinh được rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy, phù hợp với những biến đổi và phát triển trí tuệ của học sinh THPT

Trên cơ sở nghiên cứu về các hoạt động trí tuệ và tư duy, để rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT, cần có những biện pháp cụ thể, có hiệu quả tác động trực tiếp vào việc rèn luyện từng yếu tố của các hoạt động trí tuệ Các biện pháp này cần được thực hiện một cách toàn diện trong các khâu của quá trình dạy học

Trong giảng bài mới

Giáo viên cần tạo ra tình huống có vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám phá ra kiến thức mới Cần vận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu một cách hợp lý để cả ba loại đối tượng học sinh (khá giỏi, trung bình, yếu kém) đều được tích cực hóa hoạt động tư duy Trong quá trình này học sinh được tự lực tiếp cận kiến thức với các mức độ khác nhau, được hướng dẫn hoạt động nhận thức, giải quyết vấn đề theo quy định Trong giảng dạy cần chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận có lý, dự đoán (thông qua quan sát, so sánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự,…)

Khi khai thác nội dung vấn đề giảng dạy, cần đề xuất hệ thống các câu hỏi, gợi vấn đề nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp, lật đi, lật

lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thật vững bản chất các khái niệm, ý nghĩa nội dung các công thức, các mệnh đề, tránh cách học thuộc lòng, vận dụng máy móc Trong luyện tập cần lưu ý sau khi học sinh áp dụng thành thạo một qui tắc nào đó, cần chú ý lựa chọn một vài ví dụ, bài tập có cách giải đơn giản hơn và áp dụng công thức tổng quát đã học

Trong việc giải bài tập

Lựa chọn và sử dụng bài tập phù hợp với yêu cầu của tiết học, trình độ của học sinh và có tác dụng củng cố kiến thức Chúng ta thấy hệ thống trong sách giáo khoa, sách bài tập THPT đã được biên soạn và chọn lọc rất công phu Đây là những bài tập rất cơ bản, đa dạng về chủng loại và có số lượng vừa phải Học sinh cần làm hết và nắm vững nội dung kiến thức, phương pháp và kỹ năng chứa đựng trong đó

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần căn cứ vào yêu cầu của từng loại tiết học

và trình độ của học sinh để cân nhắc hệ thống bài tập sử dụng trên lớp, quan hệ giữa các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập để rèn khả năng so sánh, tương tự cho học sinh, giúp học sinh nắm vững kiến thức Khi dạy giáo viên cần đưa ra bài tập theo quan điểm “vùng phát triển gần nhất” tức là dạy học phải hướng vào tương lai của sự phát triển của học sinh Các bài tập ra cho học sinh phải hơi khó một chút so với trình

độ hiện tại của học sinh, buộc học sinh phải huy động toàn bộ vốn kiến thức, kỹ năng,

tư duy, sáng tạo để giải chúng Nên cố gắng đưa vào các bài tập thực tế để rèn luyện khả năng trừu tượng hóa và cụ thể hóa cho học sinh

Cần khuyến khích và dẫn dắt học sinh tìm kiếm đưa ra bài toán tổng quát từ những trường hợp cụ thể, hay những bài toán đặc biệt trên cơ sở những bài toán cơ bản ban đầu, điều này khi mới bắt đầu có thể hơi khó nhưng khi đã thực hiện được

sẽ không những rèn luyện cho học sinh năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa mà còn khiến các em rất hứng thú bởi cảm giác sáng tạo ra cái mới

Hoạt động ngoài giờ lên lớp

Cần tổ chức hoạt động ngoại khóa, câu lạc bộ nhằm bổ sung thêm nhiều vấn

đề mà trên lớp không có điều kiện thực hiện Các hoạt động này nhằm bồi dưỡng cho học sinh:

Hứng thú học tập môn toán

Đào sâu kiến thức trong chương trình

Làm cho học sinh thấy rõ hơn vai trò của toán học trong cuộc sống

Bồi dưỡng cho học sinh tác phong nghiên cứu, thói quen tự đọc sách, khả năng làm việc độc lập để giải quyết các vấn đề về môn toán cũng như trong cuộc sống sau này

Việc kiểm tra đánh giá

Đây là một khâu rất quan trọng, vì vậy các đề kiểm tra, từ kiểm tra thường xuyên đến đề thi cuối kì, cuối năm, chuyển lớp, thi học sinh giỏi… phải có nội dung thích hợp kiểm tra được năng lực trí tuệ của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực trí tuệ của bản thân Cách kiểm tra, đánh giá như vậy chống được cách học tủ, học vẹt, học đối phó của học sinh

Kết luận chương 1

Nếu toán học là môn thể thao của trí tuệ thì công việc của người giáo viên dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nào thuận lợi hơn môn toán, trong đó đặc biệt là chủ đề về BĐT trong công việc đầy khó khăn và hứng thú này

Qua nghiên cứu về các hoạt động trí tuệ của học sinh trong học tập môn Toán, chúng ta thấy rõ được mối quan hệ mật thiết giữa tư duy và ngôn ngữ, giữa tư duy và nhiệm vụ nhận thức, giữa tư duy và hoạt động, giữa tư duy và kiến thức, giưa tư duy và đặc điểm nhân cách của học sinh Chúng có mối quan hệ khăng khít quyết định và tác động lẫn nhau Để tổ chức tốt các hoạt động trí tuệ như: phân tích tổng hợp, so sánh …, đồng thời phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT thông qua một nội dung dạy học cụ thể, người giáo viên cần hiểu rõ và nắm vững các mối quan hệ mật thiết đó

Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Trong chương này chúng tôi cố gắng khai thác xuất phát từ các bài tập BĐT đơn giản, các bài tập có sẵn trong SGK, bên cạnh đó là các bài tập trong các đề thi của các cuộc thi quen thuộc đối với học sinh THPT để tổ chức các hoạt động nhằm rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh với mong muốn nó có tính ứng dụng trong giảng dạy thực tế, tiếp cận được với nhiều đối tượng học sinh hơn

Trong các ví dụ, với một số cách khái thác bài toán chúng tôi đưa ra hệ thống các câu hỏi hướng dẫn học sinh, nhằm cụ thể hóa vấn đề khái thác bài toán như thế nào trong thực tế giảng dạy

2.1 Tổng quan về bất đẳng thức

a) Định nghĩa:

Bất đẳng thức: Cho 2 số a, b thuộc K (K là trường số hữu tỉ Q hay trường

số thực R) Ta nói a lớn hơn b và kí hiệu a > b nếu a – b là một số dương Khi đó ta cũng nói b bé hơn a và kí hiệu b < a

Ta nói a lớn hơn hoặc bằng b và viết a≥b nếu a b− là một số không âm Khi đó ta cũng nói b bé hơn hoặc bằng a

Chú ý: Không được trừ từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều

Trừ từng vế hai bất đẳng thức ngược chiều, được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ:

,

a>b c<d⇒a− > −c b d

Tính chất đơn điệu của phép nhân

- Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương:

2.2.1 Chủ đề 1: Bài toán bất đẳng thức đại số

Các BĐT kinh điển (BĐT AM - GM (BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân) hay thường được gọi là BĐT Cauchy, BĐT Cauchy-Shwartz hay thường được gọi là BĐT Bunhiakovsky) bên cạnh việc nó được coi như là một kiến thức cơ

sở cho các bài toán BĐT, thì tự bản thân nó cũng có thể được khai thác phát triển

mà ví dụ dưới đây là một cách khai thác

[ ]? Hãy để ý vào vế phải của BĐT, trung bình nhân của hai số a và b gợi cho các

em nhớ đến hệ thức nào trong hình học? Cụ thể hơn là trong tam giác vuông?

Với câu hỏi này sẽ làm cho học sinh huy động một loạt các kiến thức về hình

học (tổng hợp), sau đó là các thao tác so sánh, phân tích các hệ thức lượng để nhận

ra dạng trung bình nhân trong các hệ thức đó

→ Trong tam giác vuông độ dài đường cao xuất phát từ góc vuông bằng trung

bình nhân của độ dài 2 hình chiếu của 2 cạnh góc vuông lên cạnh huyền ABC∆

vuông tại C, CH là đường cao, ta có CH = AH BH

[ ]? Đặt HA=a HB, =b hãy biểu diễn ab và a+b

theo độ dài các đoạn thẳng trong tam giác? Hãy chuyển

BĐT đại số về BĐT hình học?

→ CH = ab AB; = +a b BĐT (1) có dạng

2

AB CH

[ ]? Vậy đẳng thức xảy ra khi nào?

→ Đẳng thức xảy ra khi M ≡H , như vậy thì HA=HB tức là a=b

[ ]? Vậy chúng ta đã giải quyết được bài toán rồi chứ? Các em hãy hoàn thiện lời

giải của bài toán? (tổng hợp)

Giáo viên còn có thể cho học sinh tiếp tục khái quát hóa bài toán

[ ]? Các em có thể tổng quát bài toán lên nhiều biến hơn không? Chú ý tên của BĐT

là "BĐT liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân"? (phân tích,trừu tượng hóa,khái quát hóa)

→ Trung bình công của ba số là

Vẫn như thế với nhiều biến hơn BĐT là 1 2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b c

Bài toán 2.1.3 Cho a a1, 2, ,a là các số thực dương CMR n

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1=a2 = = a n

Vẫn tiếp tục khai thác BĐT này, tùy đối tượng học sinh mà giáo viên có thể hướng dẫn cách chứng minh hoặc khái quát tiếp (BĐT AM - GM suy rộng) hoặc dừng lại khai thác theo khía cạnh khác, về ý nghĩa hình học của nó

[ ]? Trong BĐT AM-GM cho 2 số, biểu thức a+b và ab có khiến các em liên

tưởng đến công thức tính chu vi và diện tích của hình nào không?

→ Hình chữ nhật có kích thước các cạnh là a và b Chu vi P=2(a+b), diện tích

→ Đẳng thức xảy ra khi a=b, tức là 2 cạnh kề nhau của hình chữ nhật bằng nhau, vậy hình chữ nhật này là hình vuông

[ ]! Chính xác, các em đã vừa phát hiện ra một ý nghĩa hình học của BĐT AM-GM

cho 2 số: "Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích

lớn nhất"

Với cách thức tương tự giáo viên có thể cho học sinh khám phá một ý nghĩa

hình học khác của BĐT AM - GM: "Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích hình vuông có chu vi nhỏ nhất"

Từ BĐT AM - GM, bằng con đường đặc biệt hóa, giáo viên có thể định

hướng xây dựng một cách rất tự nhiên cho học sinh rất nhiều bài toán BĐT hay và

cả những BĐT nổi tiếng khác

- Đặc biệt hóa bài toán 2.1.2

Xét 2 dãy số không âm a a a và 1, 2, 3 b b b , chọn 1, ,2 3

Đối với học sinh mới làm quen với BĐT thì việc khai thác các bài tập trong SGK (là các bài tập rất cơ bản) sẽ giúp các em tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn, từ đó làm tăng hứng thú học BĐT ở các em, giúp cho các biện pháp rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh của giáo viên trở lên hiệu quả hơn

toán theo nhiều khía cạnh (trừu tượng hóa) từ đó có nhiều lựa chọn cho việc giải

một bài toán, không bị dập khuôn trong cách giải quyết vấn đề, không áp dụng máy móc những kiến thức đã có

Trước khi thực hiện lời giải học sinh đã có hoạt động tổng hợp các yếu tố

liên quan đến bài toán như giả thiết là gì, cần chứng minh điều gì, có những phương pháp nào để giải quyết nó… Khi xác định công cụ giải quyết là sử dụng định nghĩa

học sinh sẽ phân tích các yêu tố chẳng hạn như: đây là biểu thức gồm các phân số

do đó có thể quy đồng mẫu số, sau khi quy đồng và cộng các phân số, kết hợp với giả thiết thì đánh giá được mẫu số dương, và tử sau khi rút gọn có dạng hằng đẳng thức biến đổi thành bình phương của một tổng, do đó là một số không âm Tổng hợp

tất cả các phân tích này học sinh sẽ đưa ra lời giải của bài toán như trên

Tương tự như vậy, việc nhận diện phân tích các giả thiết của bài toán, thêm

sự hướng dẫn của giáo viên học sinh có thể nghĩ đến các phương pháp khác

Cách 3: Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz cho 2 bộ số ( )a b, và 1 1,

Với con đường khái quát hóa, có thể mở rộng bài toán 2.2.1 theo các hướng

khác nhau Dưới đây là hệ thống câu hỏi hướng dẫn học sinh mở rộng bài toán: [ ]? Bài toán trên có thể được mở rộng không? Mở rộng số biến lên 3 biến chẳng hạn? Nếu với 3 biến thì bài toán phát biểu như thế nào?

→ Cho 3 số dương a, b, c CMR: 1 1 1

a + +b c ≥ a b c

Số x là một số nào đấy, em chưa biết!

[ ]? Tạm thời ta chưa quan tâm đến số x này vội, nếu phải chứng minh BĐT trên với

x đã biết thì ta có thể áp dụng cách chứng minh bài toán 2.2.1 cho bài toán này được không? Em hãy thử với cách 2 sử dụng BĐT AM-GM?

→ Ta vẫn viết lại BĐT đưa vế trái về dạng ( ) 1 1 1

[ ]? Chính xác, các em đã xây dựng được bài toán tổng quát hơn với 3 biến:

Bài toán 2.2.2 Cho 3 số dương a, b, c CMR: