Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD.. Chứng minh rằng các đoạn nối chung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc trung của hai cạnh đó, tính độ dài của chúng.. Tín
Trang 1Bài 1: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD Hãy tính
góc giữa AB và CD, biết AB = CD = 2a và MN = a 2
Bài 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BCD
a Chứng minh rằng OA ⊥ CD
b Gọi M là trung điểm của CD Tính cosin góc giữa AC và BM
Bài 3: Cho tứ diện ABCD, có AB = CD = a , AC = BD = b , AD = BC = c
a Chứng minh rằng các đoạn nối chung điểm của hai cạnh đối diện là đoạn vuông góc trung của hai cạnh đó, tính độ dài của chúng
b Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a , AD = 2a , SAB
là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M khác A và D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P và Q
a Chứng minh rằng MNPQ là hình thang vuông
b Đặt AM = x , với (0 <x <2a ) Tính diện tích của MNPQ theo a và x
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA = a 6 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Tính góc giữa SC và (ABCD)
b Tính tan của góc giữa SC và (SAB)
c Tính sin của góc giữa SB và (SAC)
d Tính sin góc giữa AC và (SBC)
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tm giác đều cạnh bằng a Biết BC1
hợp với (ABB1A1) góc 300
a Tính AA1
b Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến mặt phẳng (BA1C1)
c Gọi N là trung điểm của cạnh BB1 Tính sin của góc giữa MN và (BA1C1)
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD la hình vuông cạnh a , SA = 2a và vuông góc
với đáy Mặt phẳng (P) qua BC và hợp với AC một góc 300, cắt SA, SD lần lượt tại M, N Tính diện tích thiết diện BCNM
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy Cạnh SC
có độ dài bằng a , hợp với đáy góc α và hợp với mặt bên (SAB) góc β
a Tính SA
b Chứng minh rằng AB = a cos(α +β).cos(α−β)
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông tai A, BC = a , SA = SB = SC =
3 / 2
a Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b Tính cosin góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC)
Bài toán 1: Góc giữa hai đường thẳng
Bài toán 2: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Trang 2Bài 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , tâm O Gọi M và N lần lượt
là trung điểm của các cạnh SA và BC Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600
a Tính MN
b Tính SO
c Tính sin góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)
Bài 11: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , SA vuông góc với đáy Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt (SAB) một góc α và hợp với mặt (SBC) một góc β
Dựng các đường cao AH, AK của các tam giác SAC và SAB
a Chứng minh rằng nBAC = α, AHKn = β
cos( ( )).cos( )
=
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình bình hành tâm O Hai mặt bên SAB và SCD
vuông tại A và C, cùng hợp với đáy góc α Biết n ABC = ϕ
a Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
b Chứng minh (SBC) và (SAD) cùng hợp với đáy ABCD một góc β thỏa mãn hệ thức
cotβ = cot cosα ϕ
Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh huyền BC thuộc mặt phẳng (P) Gọi ,β γ là góc hợp bởi hai đường thẳng AB, AC với mặt phẳng (P) Gọi α là góc hợp bởi (ABC) và
(P) Chứng minh rằng:
sin α = sin β +sin γ
Bài 14: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a , nBAC = α, SA =
a và vuông góc với đáy Gọi β là góc giữa hai mặt bên (SAC) và (SBC)
a Chứng minh rằng: tan tan 1 cos2
cos
α
α
+
b +ABC phải thỏa mãn thêm điều kiện gì để β = 600
Bài 15: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a ,
1
AA = Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABCa 1) và (BCA1)
Bài 16 : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB = 2 , SAa =a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC)
b Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác vuông cân với AB = AC = a , DBC là tam
giác đều, nhị diện cạnh BC có số đo bằng 300
a Tính AD
b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
c Tính tan của góc nhị diện cạnh BD
Bài toán 3: Góc giữa hai mặt phẳng
Bài toán 3: Góc nhị diện
Trang 3d Tính tan của góc nhị diện cạnh AD
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với AB = BC = a , SA =
a và vuông góc với đáy Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC
a Tính số đo của góc nhị diện (A, SC, B)
b Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC)
Bài 19: Cho hình vuông ABCD cạnh a , SA =a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Tính số đo của góc nhị diện (S, BC, A)
b Tính tan số đo của góc nhị diện (S, BD, A)
c Tính số đo của nhị diện (SAB, SCD)
Bài 20: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH vuông góc
với mặt phẳng (ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp S.ABCD có số đo bằng 600 Gọi K là trung điểm của cạnh AD
a Tính SH
b Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
c Tính cosin số đo góc nhị diện (A, SD, C)
d Tính số đo góc nhị diện (B, SC, K)
Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O, OB 3
3
a
6
SO
3
a
= và vuông góc với đáy
a Chứng minh tam giác ÁC vuông
b Chứng minh (B, SA, D) là nhị diện vuông
c Tính số đo của nhị diện (S, BC, A)
Bài 22: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC vuông cân đỉnh A, BC = 2a Cho
biết nhị diện (A, B1C1, B) có số đo bằng α
a Tính độ dài AA1
b Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên B1C và A1C Chứng minh rằng n
AHK là góc phẳng nhị diện (A, B1C, A1) và nAHK = π−2α
Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a ,
AD = DC= , a SA =a 2 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a Tính số đo góc nhị diện (S, BC, A)
b Tính số đo góc nhị diện (A, SB, C)
c Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD)
Bài 24: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a , tâm O, SA =a 2 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính cosin số đo nhị diện (B, SC, D)
Bài 25: Cho Hình chữ nhật ABCD có AB = a , AD = b Trên hai tia Ax, Cy cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M, N Đặt AM = x , CN = y
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhị diện (M, BD, N) có số đo bằng 600 là:
2 2
3
xy
+