Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức” tôi đã nhận được sự hướng dẫn, ủng hộ v

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác

Tác giả luận văn

Phạm Trung Hiếu

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình nghiên cứu đề tài “ Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức” tôi đã nhận được sự hướng dẫn, ủng hộ và giúp đỡ rất nhiều của các thầy cô giáo

Tôi chân thành cảm ơn các trường: THPT Nguyễn Du; THPT Chiềng Sinh; THPT Tô Hiệu và các đồng nghiệp, học sinhhọc sinh đã tận tình giúp

đỡ trong quá trình tìm hiểu thực tế và kiểm nghiệm đề tài

Sơn la, tháng năm 2015

Tác giả

Phạm Trung Hiếu

CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỤC LỤC Trang

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 4

6 Giả thuyết khoa học 4

7 Cấu trúc luận văn 4

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 5

1.1 Tổng quan về hoạt động trí tuệ 5

1.1.1 Hoạt động trí tuệ là gì 5

1.1.2 Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT 6

1.1.3 Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán 9

1.1.4 Vị trí vai trò của bài toán bất đẳng thức 19

1.2 Tổng quan về bất đẳng thức 20

1.2.1 Định nghĩa bất đẳng thức: 20

1.2.2 Tính chất của bất đẳng thức 21

1.2.3 Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng ở THPT 21

1.2.4 Một số quy tắc khi chứng minh bất đẳng thức 24

1.3 Thực trạng dạy học bất đẳng thức ở THPT 24

1.4 Kết luận chương 1 25

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 26

2.1 Tăng cường hệ thống và chứng minh một số các bất đẳng thức thường dùng 26

2.2 Chú trọng việc phân tích tìm lời giải bài toán bất đẳng thức thông qua việc phân tích tìm hiểu nội dung bài toán và vận dụng

các quy tắc thường dùng trong chứng minh bất đẳng thức 35

2.3 Phát triển các hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa thông qua việc khai thác lời giải và kết quả của bài toán bất đẳng thức 49

2.4 Kết luận chương 2 65

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 66

3.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm (TNSP) 66

3.2 Nhiệm vụ của TNSP 66

3.3 Đối tượng và cơ sở TNSP 66

3.4 Phương pháp TNSP 67

3.5 Phương pháp đánh giá kết quả 67

3.6 Tiến hành TNSP 69

3.7 Kết quả TNSP 69

KẾT LUẬN CHUNG 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 80

PHỤ LỤC 82

cá nhân đều phải đổi mới cách nghĩ và cách làm để dạy và học đạt kết quả tốt nhất Nghị quyết hội nghi làm thứ tám Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam khóa XI đã khẳng định vị trí quan trọng của ngành giáo dục trong thời kỳ hiện nay với mục tiêu: “ Đối với giáo dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện

và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn ” Đồng thời cũng xác định rõ nhiệm vụ, giải pháp thực hiện mục tiêu đó là: ” Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ và đồng bộ các yếu tố

cơ bản của giáo dục, đào tạo theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất năng lực của người học Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực ”

Trong thực tế giáo dục hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh thường tiếp thu kiến thức một cách khá thụ động, vận dụng kiến thức một cách máy móc, không linh hoạt, và do đó thường lúng túng khi gặp vấn đề tương tự nhưng được biến đổi dưới dạng khác, hoặc đứng trước vấn đề mới, qua tìm hiểu thực tế dạy học toán ở một số trường THPT thuộc thành phố Sơn

La chúng tôi nhận thấy chất lượng học tập của học sinh còn thấp, các thao tác

tư duy lí luận thấp, một phần là do cách học của học sinhchưa phù hợp, những phương pháp dạy của giáo viên chưa chú trọng đến việc phát triển tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh Vì vậy cần tích cực dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tư duy học sinh để giúp học sinh học tập tốt, tiếp thu kiến thức hiệu quả, và xa hơn là phát triển giáo dục theo chiều sâu, xây dựng đào tạo con người mới: chủ động sáng tạo, phù hợp với sự phát triển của khoa học kĩ thuật như hiện nay

Toán học là ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa học khác Nói đến toán học là nói đến sự chặt chẽ và logic Trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán không những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho người học một hệ thống kiến thức căn bản, nó còn được coi như là một môn thể thao của trí tuệ góp phần phát triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh

Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ thông, khó cả với người học và người dạy, các bài toán bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú mà không có một cách giải cụ thể nào tối ưu cho tất cả các bài toán, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo, đơn giản cho một bài toán phức tạp Trong chương trình THPT nội dung bất đẳng thức chiếm một thời lượng còn khiêm tốn và chưa được quan tâm đúng mức,

3

thường chỉ dùng để bồi dưỡng những học sinh khá giỏi nhưng ứng dụng của bất đẳng thức là khá lớn, bất đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông, như trong việc giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó bất đẳng thức sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh

Xuất phát từ những lý do trên tôi quyết định chọn đề tài: “Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh trung học phổ thông qua các bài toán bất đẳng thức”

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Các hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh; một

số dạng bài toán bất đẳng thức thường gặp ở THPT, tập trung chủ yếu vào các bài toán chứng minh bất đẳng thức sử dụng hai bất đẳng thức cơ bản là BĐT Cauchy và Bunhiacopxki

Phạm vi nghiên cứu: Một số trường THPT ở tỉnh Sơn La

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm rõ cơ sở lí luận của việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT

Tìm hiểu nội dung kiến thức về bất đẳng thức trong chương trình môn Toán ở THPT

Đề xuất một số cách rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh thông qua

4

việc giải các bài toán bất đẳng thức

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Phương pháp thống kê

6 Giả thuyết khoa học

Nếu học sinh được rèn luyện các hoạt động trí tuệ thông qua các bài toán bất đẳng thức thì sẽ nâng cao được chất lượng dạy và học tập môn toán ở

trường phổ thông

7 Cấu trúc luận văn

MỞ ĐẦU

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tổng quan về hoạt động trí tuệ

1.1.1 Hoạt động trí tuệ là gì

* Trí tuệ và sự phát triển trí tuệ:

Trong tâm lý học, có nhiều cách trình bày khác nhau về trí tuệ Trong

đó, tâm lý học macxit cho rằng: “trí tuệ là một cấu trúc động tương đối độc lập của nhân cách được hình thành và thể hiện trong hoạt động, do những điều kiện văn hóa lịch sử quy định và chủ yếu đảm bảo cho sự tác động qua lại phù hợp với hiện tượng xung quanh, cho sự cải tạo có mục đính của hiện thực ấy” [19]

Theo nghĩa từ điển, trí tuệ là khả năng nhận thức lý tính đạt tới một trình độ nhất định [16]

* Sự phát triển trí tuệ:

Trong điều kiện hiện nay sự tiến bộ của kỹ thuật và nhịp độ phát triển của khoa học đề ra những thách thức, yêu cầu ngày càng cao đối với trình độ văn hóa của thế hệ trẻ Vì thế dạy học không chỉ dừng lại ở chỗ trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức, kĩ năng, kĩ xảo xác định mà cùng với nhiệm

vụ đó cần đảm bảo và tối đa sự phát triển trí tuệ của học sinh Nhiều nhà khoa học, nhiều chính khách, nhiều quốc gia quan tấm đến sự thịnh vượng của quốc gia mình, họ rất chăm lo cho thế hệ trẻ, trong đó có việc chăm lo cho sự phát triển về trí tuệ

Tính năng động, óc sáng tạo, trí thông minh…xét về bản chất là những phẩm chất cao của sự phát triển trí tuệ Tuy nhiên đó là những vấn đề hấp dẫn và phức tạp trong tâm lý học nói chung và tâm lý dạy học nói riêng Nhưng có điều rõ ràng: dạy học kéo theo sự phát triển được coi như vấn đề ai cũng thừa nhận Còn những vấn đề như: bản thân sự phát triển trí tuệ, các chỉ

số của sự phát triển trí tuệ, tổ chức việc dạy học như thế nào để dẫn tới sự

Theo quan điểm vừa nêu, nổi lên các nội dung sau đây:

- Đã nói đến sự phát triển là có sự biến đổi, nhưng không phải mọi sự biến đổi đều đồng nghĩa với sự phát triển mà đó là sự biến đổi về chất, sự biến đôi theo hướng tiến bộ, theo đà đi lên, theo quy luật

- Sự phát triển trí tuệ ở đây được giới hạn trong hoạt động nhận thức, tức là hoạt động phản ánh bản thân hiện thực khách quan (thuộc về giới tự nhiên, xã hội, và ngay cả thế giới nội tâm)

Hoạt động: “Hoạt động là tiến hành những việc làm có quan hệ với nhau chặt chẽ nhằm một mục đích nhất định trong đời sống xã hội” [16]

Nói rõ hơn, hoạt động trí tuệ là tiến hành những việc làm có quan hệ chặt chẽ trên cơ sở những khả năng nhận thức lý tính của con người nhằm đạt tới một mục đích nhất định, ở một trình độ nhất định

1.1.2 Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT

Lứa tuổi học sinh THPT bao gồm những em có độ tuổi từ 14 đến 18 tuổi Đó là những học sinh đang theo học từ lớp 10 đến lớp 12 ở các trường THPT

Lứa tuổi này còn gọi là lứa tuổi thanh niên học sinh và nó có vai trò đặc biệt quan trọng trong các thời kì phát triển của trẻ em Đây là thời kì kết thúc

cả quá trình phát triển lâu dài của các lứa tuổi từ 0 đến 18 tuổi, là thời kì kết

7

thúc một quá trình trưởng thành và phát triển lâu dài của trẻ em về sinh lí và tâm lí, là thời kì năng lực trí tuệ, nhân sinh quan, thế giới quan , lí tưởng và toàn bộ nhân cách con người đang phát triển và biến đổi về chất

Đặc điểm nổi bật về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT đó là tính chủ định, tính chủ động, tính tích cực, tính tự giác được thể hiện rõ rệt ở tất cả các quá trình nhận thức Có thể nói, năng lực tư duy, năng lực tưởng tượng,

và các khả năng khác của học sinh THPT được hoàn thiện nhanh chóng và có chất lượng cao

Về sự phát triển của trí nhớ: Ở lứa tuổi của học sinh trung học phổ

thông, ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ của các em Đồng thời, vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt (học sinh biết sử dụng tốt hơn các phương pháp ghi nhớ: tóm tắt ý chính, so sánh, đối chiếu…) Đặc biệt, học sinhđã tạo được tính chủ động, tính mục đích trong quá trình ghi nhớ Học sinhhiểu được ý nghĩa của việc ghi nhớ và biết ghi nhớ theo điểm tựa, ghi nhớ logic kết hợp với tư duy trừu tượng Tuy nhiên ở độ tuổi này, vẫn còn một số em ghi nhớ đại khái, chung chung và nhiều em còn coi thường việc ôn tập tài liệu, dẫn tới kết quả ghi nhớ chưa cao

Về sự phát triển của tư duy: Do tính quyết định của ý nghĩa hoạt động

học tập cùng với sự phát triển hoàn thiện của quá trình nhận thức đã dẫn đến

tư duy của học sinh THPT có những thay đổi quan trọng Đặc trưng của tư duy trong giai đoạn này là: Tư duy trừu tượng phát triển mạnh và chiếm ưu thế trong mọi hoạt động đặc biệt là hoạt động học tập Khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát triển Học sinhtư duy logic, chặt chẽ, có căn cứ và nhất quán hơn lứa tuổi trước, đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển Khả năng vận dụng các thao tác tư duy khá nhuần nhuyễn và đạt kết quả cao Nhờ đó học sinh THPT có khả năng lĩnh hội các khái niệm

8

khoa học trừu tượng phức tạp

Các năng lực trí tuệ của học sinh THPT đạt tới mức độ tương đối hoàn thiện Đặc biệt là năng lực trừu tượng hóa và khái quát hóa Từ đó làm nảy sinh thêm nhiều năng lực mới ở các em Khả năng đặt vấn đề và giải quyết vấn đề trong học tập của học sinh THPT tương đối sáng tạo và linh hoạt Điều

đó nghĩa là phương thức tư duy và phương thức nhận thức của học sinhđã có những thay đổi về chất so với lứa tuổi trước Song bên cạnh những ưu điểm đáng kể thì tư duy học sinh THPT vẫn còn những hạn chế như: Nhiều em kết luận vội vàng, thiếu tính lịch sử, một số em không phát huy được năng lực độc lập suy nghĩ Chính vì vậy, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất tư duy tích cực, độc lập và sáng tạo

Về sự phát triển của tưởng tượng: So với lứa tuổi trước thì tưởng tượng

của học sinh THPT ngày càng phù hợp và gần với thực tế hơn Tính sáng tạo trong tưởng tượng đang phát triển mạnh mẽ Tưởng tượng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về phạm vi ở nhiều lĩnh vực Thể hiện rõ nhất là tưởng tượng được ứng dụng ngay vào hoạt động học tập và rèn luyện của học sinh, khả năng tái tạo, khả năng thâm nhập vào các môn khoa học tự nhiên cao hơn

ở các lứa tuổi trước rất nhiều

Về hoạt động ngôn ngữ: Do được học nhiều bộ môn, được lĩnh hội

nhiều khái niệm, nhiều danh từ khoa học, đặc biệt, lúc này học sinh THPT đã được học nhiều sách, cùng với các quan hệ xã hội mở rộng và sâu sắc đã đem đến cho học sinhsự phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện về ngôn ngữ

Như vậy, có thể nói năng lực nhận thức của học sinh THPT phát triển ở mức

độ cao và tiến dần tới sự hoàn thiện, ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa đóng vai trò quan trọng; khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát triển; tưởng tượng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về phạm vi, ngôn ngữ phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện, tất cả các yếu tố đó là

9

điều kiện thuận lợi cho việc dạy học rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy trong nhà trường

1.1.3 Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán

Theo Nguyễn Bá Kim [8] thì nội dung dạy học môn toán có mối liên hệ chặt chẽ với các hoạt động của học sinh Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình thành hoặc vận dụng nội dung đó

Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học Nội dung môn toán ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động Trong đó có các hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa

 Phân tích và tổng hợp

Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần Trái lại, tổng hợp là dùng trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể

Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau, chúng là hai mặt của một quá trình thống nhất

Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần cũng chỉ nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể đó sâu sắc hơn

Sự thống nhất giữa quá trình phân tích - tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ: cái toàn thể ban đầu, định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận

10

thức sâu sắc hơn ; Tổng hợp - Phân tích - Tổng hợp

Các thao tác phân tích tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ Chẳng hạn, muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng, thì trước hết phải tách từng mặt của một đối tượng xem chúng có những mặt nào giống nhau, những mặt nào khác nhau

Trong mọi khâu của quá trình học tập toán học của học sinh, năng lực phân tích và tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức một cách sáng tạo

Trong toán học, thường sử dụng hai phép phân tích

* Phép phân tích đi lên (suy ngược lùi): Tức là muốn chứng minh A thì

ta cần chứng minh A1, muốn chứng minh A1 thì ta cần chứng minh A2, …, cuối cùng muốn chứng minh An-1 thì ta cần chứng minh An Khi An là điều đã biết (tiền đề, định nghĩa, định lí,…) thì dừng lại Theo tam đoạn luận có điều kiện vì An đúng nên A đúng (thực tế là cả một dãy tam đoạn luận có điều kiện)

Phép phân tích đi lên thường được dùng để tìm lời giải

* Phép phân tích đi xuống (suy ngược tiến): Giả sử có A, từ A ta suy ra

A1, từ A2 suy ra A3,…An-1 suy ra An Khi gặp An là phán đoán sai thì dừng lại

vì khi đó chắc chắn A sai theo bảng chân lí của phán đoán có điều kiện Còn

An đúng thì chưa có thể kết luận được gì vì A có thể đúng hoặc sai Chỉ khi đảm bào rằng A n A n1A n2   A2 A1A là đúng thì mới kết luận được A đúng

Sơ đồ như sau: AA1A2   A n1A

Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp

11

để xem bài toán thuộc loại gì, cần huy động những kiến thức thuộc vùng nào,

có thể sự dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm, hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên

hệ giữa các yếu tố của bài toán để tìm ra lời giải Sau khi tìm lời giải của các bài toán bộ phận, phải tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán đang xét Thông thường, khi tìm tòi lời giải ta dùng đến năng lực phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta thường dùng đến năng lực tổng hợp để trình bày lời giải, giúp lời giải ngắn gọn, dù đôi khi có vẻ thiếu tự nhiên Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo lối tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng, song khi giảng bài, giáo viên cần có những câu hỏi gợi

mở, dẫn dắt để đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lí luận càng tự nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không áp đặt, không đột ngột, để tạo hứng thú

và giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích

a b c nên ta có thể dự đoán dấu “ =” xẩy ra khi a  b c 1

- , ,a b c là các số dương nên ta nghĩ đến việc áp dụng BĐT Côsi nhưng

nếu áp dụng trực tiếp không đi đến kết quả bài toán, vậy nếu áp dụng Côsi thì

áp dụng như thế nào?

- Nhìn vào 2 vế của bất đẳng thức, tương ứng là a b c và , ,3, 3, 3 a b c

Làm thế nào để “hạ bậc”, chẳng hạn từ a3 xuống a? ở bước phân tích này ta đã

dự đoán dấu dấu = xẩy ra khi a  b c 1 nên để hạ bậc, chẳng hạn a xuống 3

a ta áp dụng BĐT Côsi cho bộ 3 số a3,1,1

Trong dạy học môn toán nói chung, dạy học môn Toán ở trường THPT nói riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp học sinh tìm ra những dấu hiệu thuộc tính bản chất đặc trưng của sự vật (hiện tượng) từ đó giúp học sinh nắm vững và hiểu sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống Cần luyện tập cho

13

học sinh so sánh những sự vật, hiện tƣợng bề ngoài có vẻ khác nhau nhƣng thực chất là giống nhau, hoặc cho học sinh so sánh các sự vật theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh này thì chúng khác nhau, nhƣng nhìn ở khía cạnh khác thì chúng có thể giống nhau

Cộng vế 2 BĐT trên ta suy ra đƣợc điều phải chứng minh

Nhận xét: Khi mới nhìn qua đề bài thì 2 bài toán trên không có gì liên quan

đến nhau, nhƣng thực chất hai bài toán này là một Bởi ở bài toán 1.2.1, nếu ta

Đây chính là bài toán 1.2.2

Qua sự so sánh này ta có thể đưa ra lời giải bằng phương pháp hình học khá độc đáo cho bài toán 1.2.2, tương ứng có thể đại số hóa lời giải của bài toán 1.2.1, và đồng thời hiểu được ý nghĩa hình học của BĐT (*)

Như vậy chính sự so sánh các sự vật và hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau sẽ giúp cho quá trình khái quát hóa hay dự đoán bằng tương

tự một cách sâu sắc

 Tương tự

Là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng để từ những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với những đối tượng kia Kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết, một dự đoán, có thể đúng, có thể sai nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới Trong hoạt động giải toán, sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải giúp nhanh chóng tìm ra lời giải, do đó khi dạy một tri thức mới, ra một bài tập mới, gợi ý cho học sinh biết liên hệ kiến thức

cũ, dự đoán kết quả để tìm ra phương pháp giải quyết

Ví dụ 1.3 Xét 2 bài toán:

Bài toán 1.3.1 CMR: ∀a,b, c ≥ 0 ta có:

32

 Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát hóa là dùng trí não tách ra cái chung trên cơ sở những đối tượng, sự kiện, hiện tượng đã biết của các trường hợp riêng Tức là chuyển từ tập hợp đối tượng sang tập hợp lớn hơn chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của một số phần tử của tập xuất phát

Nhờ khái quát hóa, có thể đề xuất được những giả thuyết, những dự đoán Khái quát hóa một bài toán có thể đưa tới một bài toán rộng hơn (có thể đúng hặc không đúng (hoặc không giải được) Có khi tổng quát hóa một bài toán lại giúp ta tim tòi lời giải thuận lợi hơn, dễ dàng hơn đối với bài toán đã

Muốn vậy, một điều quan trọng là giáo viên phải biết biến thiên những dấu hiệu không bản chất của khái niệm, hiện tƣợng đang nghiên cứu và giữ không đổi những dấu hiệu bản chất

Ngƣợc lại với khái quát hóa là đặc biệt hóa Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tƣợng đã cho sang việc khảo sát một tập

H1.1

Khái quát hóa

Khái quát hóa từ cái tổng quát đến cái tổng quát hơn

Khái quát hóa từ cái riêng

18

hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu Đặc biệt hóa có tác dụng

để kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường hợp riêng hoặc để tìm ra kết quả khác Trong việc giải toán, việc xét trường hợp đặc biệt có khi gợi ý cho

ta tìm được lời giải của bài toán đang xét hoặc thấy được phương pháp giải

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu diễn bằng sơ đồ sau:

Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất

Đặc biệt hóa từ cái tổng

quát đến cái riêng lẻ

Đặc biệt hóa đến cái riêng

lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái riêng

lẻ chưa biết H1.2

19

Khái quát hóa

* Nhìn theo góc độ số mũ của hai vế của BĐT (1): Xét riêng a và 3 a b 2

ta thấy trong số hạng 3

a số mũ của a là 3, trong số hạng a b thì số mũ của 2 a

là 2, số mũ của b là 1 Như vậy số mũ của đã giảm đi 1 đơn vị nhưng tổng số

mũ của a và b trong số hạng 2

a b bằng số mũ của a trong a Từ đó ta có 3những BĐT tương tự sau:

a +b a b+b a (2)

a +b a b+b a (3) Theo hướng khai thác đó ta có thể khái quát hóa bài toán như sau: Cho a, b >0 Chứng minh rằng: n n n-1 n-1  

a +b a b+b a n¥* (4)

* Cũng nhìn theo góc độ số mũ của từng số hạng ở hai vế, ta thử mở rộng bằng cách thay n-1

a b bởi a bm n-m có nghĩa là chỉ cần tổng số mũ của a và

b bằng n là đủ Như vậy bài toán trên lại được khái quát hóa như sau:

1.1.4 Vị trí vai trò của bài toán bất đẳng thức

Giáo sư Hoàng Tụy có viết trên tạp chí Toán học và tuổi trẻ “ Các nhà toán học thường làm việc với bất đẳng thức nhiều hơn đẳng thức” Đối với chương trình toán ở trường phổ thông, BĐT là một trong những phần quan trọng Ngay từ lớp 1, học sinh được làm quen với BĐT thông qua các bài toán như: So sánh hai số, điền dấu  , vào ô trống Đến lớp 9, học sinh đã được tiếp cận với một vấn đề về BĐT nhưng ở mức độ cao hơn Sang bậc THPT, việc dạy học BĐT đã được đưa vào chương III - đại số 10 BĐT có trong tất

20

cả các chủ đề của toán sơ cấp thông qua các dạng toán như: toán cực trị, khảo sát hàm số, giải phương trình, giải bất phương trình… Có những bài toán, việc sử dụng BĐT đóng vai trò quyết định lời giải nhưng cũng có những bài toán ta chỉ sử dụng BĐT như một khâu trung gian

Bất đẳng thức là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ thông, các bài toán bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú mà không có một cách giải cụ thể nào tối ưu cho tất cả các bài toán, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não, tìm tòi, sáng tạo Trong chương trình THPT nội dung bất đẳng thức chiếm một thời lượng còn khiêm tốn nhưng ứng dụng của bất đẳng thức là khá lớn, bất đẳng thức xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông, như trong việc giải quyết các bài toán

về phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó bất đẳng thức là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh ở bậc phổ thông

22

hay gọi là BĐT Cauchy

Giả sử x , x , x ,1 2 3 , xn là các số không âm, khi đó ta có:

n

x x x n

S Max x x x x

Dấu “=” xẩy ra khi x1 x2 x3   x n  n P

* Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski-Schwarz (CBS) tên thường gọi là

Dạng 1: đƣợc suy ra từ bất đẳng thức CBS với việc áp dụng cho 2 bộ

1.2.4 Một số quy tắc khi chứng minh bất đẳng thức

Quy tắc song hành: Hầu hết các BĐT đều có tính đối xứng do đó việc

sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình dung ra

được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn

Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong BĐT là rất quan trọng Nó giúp ta

kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh Nó định hướng cho ta phương pháp

giải, dựa vào điểm rơi của BĐT

Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Không chỉ học sinh mà ngay

cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh BĐT cũng thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các BĐT nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng Một nguyên tắc khi áp dụng song hành các BĐT là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các dấu “=” phải được

cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến

Quy tắc biên: Quy tắc này là cở sở của các bài toán quy hoạch tuyến

tính, các bài toán tối ưu, các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng Ta biết rằng các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉểm nằm

trên biên

Quy tắc đối xứng: Các BĐT thường có tính chất đối xứng nên vai trò của

các biến trong BĐT thường là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biên đó bằng nhau Nếu bài toán có gắn hệ điều kiện đối xứng thì ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể

1.3 Thực trạng dạy học bất đẳng thức ở THPT

Qua quá trình tìm hiểu thực tiễn dạy học BĐT ở THPT tôi nhận thấy

25

rằng khi dạy học chủ đề “Bất đẳng thức” nói chung có thực trạng như sau:

Nội dung BĐT ở THPT chưa được quan tâm đúng mức, chiếm một thời lượng rất ít trong chương trình toán THPT nhưng ứng dụng của BĐT lá khá

đa dạng và phong phú, BĐT xuất hiện trong các bài toán giải phương trình, giải bất phương trình, tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, cực trị hình học Khi nói đến BĐT đa số học sinh rất ngại thậm chí “sợ” khi giải toán bất đẳng thức Từ tâm lý ngại và sợ đó dẫn đến tình trạng học sinh không quyết tâm khi học chủ

đề “ Bất đẳng thức”, nhiều học sinh cứ gặp bài toán bất đẳng thức là bỏ, không chịu tư duy để giải toán

Khi giải các bài toán bất đẳng thức, một điều khó khăn nhất đối với đa

số học sinh đó là tìm ra phương hướng để giải, học sinh thường chỉ áp dụng cách giải bằng định nghĩa, vận dụng các phép biến đổi tương đương Trong chương trình toán THPT học sinh mới chỉ biết đến BĐT Cauchy dạng hai biến số nên việc chứng minh các BĐT còn gặp nhiều khó khăn

Nhiều thầy cô giáo chưa thực sự quan tâm và đầu tư khi dạy học chủ

đề “Bất đẳng thức” cho học sinh vì đây là một nội dung khó, khó cho cả người dạy và người học, thường dành ưu tiên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi nên rất khó để giáo viên tổ chức dạy học ở những lớp có nhiều đối tượng học

sinh

1.4 Kết luận chương 1

Trong chương này luận văn đã trình bày tương quan về hoạt động trí tuệ và các hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh ở THPT trong học tập môn toán đó chính là cơ sở lý luận của luận văn Đồng thời nêu rõ vị trí, vai trò của bài toán BĐT chương trình toán THPT Luận văn cũng đã hệ thống các kiến thức về BĐT như: định nghĩa, một số tính chất, các quy tắc khi chứng

minh BĐT và một số những BĐT cơ bản thường dùng

26

CHƯƠNG 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC

2.1 Tăng cường hệ thống và chứng minh một số các bất đẳng thức thường dùng

2.1.1 Ý nghĩa, vai trò

Việc hệ thống và chứng minh các BĐT thường dùng trước hết giúp học sinh tự trang bị cho mình vốn kiến thức nhất định, tiếp theo là củng cố được các kiến thức khác về BĐT Các BĐT thường dùng thực ra là những bài toán BĐT đơn giản nên việc chứng minh các BĐT này giúp học sinh rèn luyện các

kỹ năng biến đổi tương đương, sử dụng định nghĩa để chứng minh BĐT

Khi gặp một bài toán BĐT khó, phải trải qua nhiều bước chứng minh, việc nắm vững được nhiều các BĐT thường dùng góp phần giúp học sinh có thêm các định hướng tìm lời giải cho các bài toán đó, hơn nữa trong chương trình THPT và trong các kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng học sinh chỉ được

sử dụng BĐT Cauchy dạng 2 biến số muốn sử dụng các BĐT khác học sinh phải chứng minh, vì vậy việc chứng minh các BĐT này là một vốn kiến thức

về BĐT cho học sinh

* Các bước thực hiện:

Vì là những BĐT đơn giản (thường chỉ có 2 biến, 3 biến) nên đa số các BĐT đều có thể giải được bằng cách sử dụng định nghĩa và các phép biến đổi tương đương Trong phần này tác giả không đi sâu vào việc phân tích định hướng lời giải hay phân tích lời giải của bài toán mà chỉ tập trung vào việc trình bầy lời giải, đưa ra nhận xét và hệ thống các bất đẳng thức các bước thực hiện như sau:

- Chứng minh các BĐT CAUCHY và CBS dạng 2 biến, 3 biến

27

- Chứng minh một số BĐT thường dùng, lập bảng tổng hợp các BĐT vừa được chứng minh

a ab b

ab

Chuyển vế, quy đồng ta được

2

04

ad

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c  (đpcm)

Bài toán 2.2: Cho , ,a b c0 Chứng minh:

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a b c 

Nhận xét: Hai chuỗi bất đẳng thức trên thường xuất hiện khá nhiều trong các

bài toán BĐT khác Điểm mạnh của hai chuỗi BĐT này là ta luôn đánh giá được “tổng các bình phương”  “bình phương của một tổng” “tổng các cặp tích” Có thể ghi nhớ ở trường hợp 2 biến trọng số tương ứng là 2:1:4, ở trường hợp 3 biến là 3:1:3

Bài toán 2.3: Cho , ,a b c0 CMR:  2

Bài toán 2.5: Cho a a a là những số thực bất kì, 1, 2, 3 x x x là những số thực 1, 2, 3dương CMR: