Bài 5 bất đẳng thức cauchy

Tài liệu bài giảng Bài 2.. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Giáo viên: Phạm Tuấn Khải I.. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a.

Tài liệu bài giảng

Bài 2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Giáo viên: Phạm Tuấn Khải

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

Bất đẳng thức Cauchy

 Nếu a b, là các số thực không âm thì a b 2 ab Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b

 Nếu a b c, , là các số thực không âm thì a  b c 33abc Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a   b c

Một số hệ quả

Cho a b c x y z, , , , , là các số thực dương, ta có

1 2(a2 b2)(ab)2 4ab

2 3(a2b2 c2)(a b c)2 3(abbcca)

3 9(a3b3c3)(a b c)3 27abc

 ;

a   b c a b c

 

5



 ;

 

6 axby a2b2 x2 y2 ; axbycz  a2 b2c2 x2 y2z2

7 a2 b2  x2 y2  (ax)2 (b y)2 ;

a b c  x y z  ax  b y  cz ;

a x  b y  c z  a b c  x y z

II CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1 Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng

1) a2 b2c2 abbcca

2)

3) a2 b2 c2 1 1 1

4)

2

 

5)

bc ca ab   

6) a3b3c3 a b2 b c2 c a2

7)

8) a3 b3 c3 12 12 12

9)

2

10)

 

11)

 

Ví dụ 2 1) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a   b c 3

Chứng minh rằng

1

2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abbcca  3

Chứng minh rằng

2

3) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abc  1

2

Ví dụ 3 1) Cho ,x y là các số thực dương Chứng minh rằng 1 1 4

2) Cho a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nữa chu vi





3) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abbcca 4abc Chứng minh rằng

1

2a b ca 2b c a b 2c 

Ví dụ 4 1) Cho a b c x y z, , , , , là các số thực dương Chứng minh rằng



 và từ đó suy ra

 

2) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng 1 2 3 9

3) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abbcca 4abc Chứng minh rằng

1

2a b ca 2b c a b 2c 

Ví dụ 5 1) Cho a b c x y z, , , , , là các số thực dương Chứng minh rằng axby  a2b2 x2 y2 và từ

đó suy ra ax bycz a2b2c2 x2y2z2

2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a3b4c26 Chứng minh a2b2 c2 26

3) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ab b ca  3(a2b21) Chứng minh rằng

a2 b2c2  3

Ví dụ 6 1) Cho a b c x y z, , , , , là các số thực dương Chứng minh a2x2 b2y2  (a b )2 (x y)2

và từ đó suy ra a2x2  b2y2  c2 z2  (a b c)2(x y z)2

2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn a  b c 1 Chứng minh rằng

82

Ví dụ 7 1) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng (ab b)( c c)( a)8abc và từ đó suy

9

2) Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn abbcca  Chứng minh rằng 1

3 4