toanmath com phân dạng các bài toán bất đẳng thức và min max mẫn ngọc quang

Tim gia tri nho nhât cua biêu th c:.

B T NG TH C 2 BI N

Giáo viên: M n Ng c Quang

xy 

3 3 2

6 3 2

Bài gi i

2 0

3 2 1

0

1 0

Bài 4: Cho x y , là các s th c d ng th a mãn xy    x y 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

4 3 ( ) 2 (

2 ) (

2

3 ) (

( 2 ) (

2

3 )

1)

(min

; 2

x y

Bài 7: V i moi sô th c x,y thoa man điêu kiên  2 2

2 x  y xy1Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c

4 4

2 1

x yP

Vây gia tri l n nhât cua P b ng 2, đat đ c khi x   y 1

Bài 9: Cho hai sô d ng x y , thoa man 2 2

Lai co 2 2

0  x y ,    1 x x y ,  y    x y 1. vây 1 t 2

Xet ham sô   2

2 1

Xét hàm s g(x) 3 2

x x



 trên [1;3]

9 ( ) 3

4

t t t

2 3

f t   t t   t trên đo n  0;8

Bài 15b: Cho các s th c d ng a,b,c th a mãn đi u ki n 5 5  2

Bài 17: Cho 2    x 3 y Tìm giá tr nh nh t c a

2 2

2x y 2x yB

11

f x

xx





 



Bài 19:Cho các s th c x, y th a mãn đi u ki n 2 2

x y

T b ng bi n thiên ta có

 2; 

5 27min ( )

1 33 2 5

24

Bài 25: Cho hai s th c d ng x, y th a mãn 3 6

21

2 3

T bang biên thiên ta suy ra:

yx

x y x y

x y x yP

3 1

tf

10

1;2max f t  f 2  6 8 2 Suy ra P 6 8 2, dâu đ ng th c

 V y giá tr l n nh t c a P là 6 8 2 , đat khi x  2; y  0

Bài 32: Cho hai s th c x, y th a mãn 2 2

23

Bài gi i

Ta có x y z , , và xyz  1 nên luôn t n t i hai s cùng l n h n ho c b ng 1 ho c hai s cùng nh h n

ho c b ng 1 Không m t tính t ng quát ta gi s hai s đó là x, y

Bài 8: Cho , ,a b c là đ dài 3 c nh c a tam giác Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

2 2

2 2

3 6 3 2448

Bài 31: Cho a b c , ,  0.Ch ng minh r ng 3 13 3 31 3 13 1

a b abc  b c abc  c a abc  abc

P  Dâu “=” xay ra khi x    y z 3

Bài 34: Cho 3 s th c d ng x y z , , thay đ i Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

Không m t t ng quát, gi s x la sô l n nhât trong 3 sô x, y, z, suy ra yz   1 x

Vây, GTLN cua P b ng 1, đat đ c khi va chi khi x    y z 1

Bài 38: Cho cac sô th c d ng x,y thoa man 3

Gi thi t bái toán tr thànha   b c 3 a1b1c1ab bc ca  abc2  *





   

 ; f  3 3, (0)f 2 6, ( 1)f  52

2

abcP

Xét hàm s

   

2 2 3

2

, t 0;1 1

3 1

t Q

t t

         bât đ ng th c cân ch ng minh

Dâu b ng cua bât đ ng th c xay ra 1

Bài 1: Cho các s d ng a, b, c th a mãn đi u ki n ab + bc + ca = 3

Bài gi i

2 18

t P

t t



  v i t3

Xét hàm s

2 2

2 ( )

bP

a d cd

 

   Suy ra 2 

1 1 3

P  a     b c

1

P  khi a  b c 1

Vây min P  1 khi a  b c 1

Bài 11: Cho a,b,c la cac sô d ng Tim gia tri nho nhât cua biêu th c:

T ng t , ta co:

3 2 2 2 3

2

2 2

2 2

Bài 1: Cho các s th c x y z, , th a mãn x2,y1,z0 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c:

V y giá tr l n nh t c a P là 10 D u “=” x y ra khi: 2 1

x  ,y    z

Bài 4: Cho các s th c d ng a b c, , Ch ng minh r ng: 2 3 6 

 

f t

0

1 4

+) MaxP =

3 3

3

4

3 4

2 2

4

a b c

f f f

  



Vây GTLN cua f a ( ) b ng 381 khi a5

Do đo GTLN cua P b ng 381 khi a  5; b    c 1

Bài 8: Xét các s th c d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = 7abc Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

Bài 10: Cho ba s th c x, y, z thay đ i th a mãn 2 2 20

1 3

t t



Vây đ ng th c không xay ra, do đo ta co điêu phai ch ng minh

Bài 15 : Xét x,y,z là các s th c d ng th a mãn xy  xz   1 x Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

khi       1 1, , 4, 4, 2 , , 4; ;

Bài 16 : Cho các s th c d ng x, y, z thu c th a mãn 1 1 1 16

Ta có: 1 1 1 16x 1 16

1

x x x

D u đ ng th c x y ra khi: 2

2 2

7 3 5 2

12

a bc

cabc

2 2

Do 2a4d2ca2  1 d2  4 c2  1 a2 c2 d2  6 3d 6 2a d 2c  6 P 1

D u " x y ra khi" 1; 1; 1

2

a  c b

Bai 24: cho cac sô th c d ng a b c, , va 2 2

ca ab b tim gia tri l n nhât cua:

T cac đanh gia trên ta co: 1 40

Bài 27: Cho ba s th c x, y, z thay đ i th a mãn 2 2 20

Có   2

f z  z  ,  

130

13

 , có

Bài 1: Cho các s th c d ng a, b, c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

2 162

1( )2

aa

53

abc

L n l t cho x  a b c ; ; r i c ng các v c a b t đ ng th c ta đ c

8 3

Vây minP 3 D u “=” x y ra khi và ch khi a  b c 1/ 5

Bài 9: Cho x y , , z la cac sô th c d ng Ch ng minh bât đ ng th c

Bài 10: Cho a,b,c la cac d ng thoa man:  2 2 2

2 a  b  c  ab bc ca    3 Tim gia tri l n nhât cua

V y giá tr l n nh t c a P là 6, đ t đ c khi x = 3, y   z 0ho c các hoán v

Bài 12: Cho cac sô th c d ng a,b,c thoa man:  3 3 3   

4 a  b  c  2 a   b c ac bc   2

2 22

b

ca

cba

cbcba

cb

Bài 1: Cho các s th c không âm a b c, , th a a2b2  c2 abc Ch ng minh b4 t đ ng th c :

T đây ta có: 0    x y z v i đk này ta có b đ sau: 3 3 3

1

zy xz xyz yz

xyz y

Ta th y 1

2

P  khi x  y z 1 V y giá tr l n nh t c n tìm là 1

2Max P  khi x  y z 1

Bài 7: Cho a b c , ,  0 th a mãn a  b c 3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

 đông biên  f t min  f 3 2 ln 3 5

Dâu b ng xay ra khi: a    b c 1

Bai 8 : Cho cac sô th c a b c, , thoa man

2 2 2

153

Bài 1: Cho a b c , , là đ dài 3 c nh c a 1 tam giác th a mãn a b c  1 Tìm Giá tr nh nh t c a bi u

th c 81 2  3 3 3

3 2 9

Áp d ng b t đ ng th c AM-GM, ta có

= 2

3 1 5 x y z  4 5 (1 5  x y z )  2 5xyz cac hê sô co gi đo g i m bai toan

ê bai la xy+yz+zx=2 P lai co 2 2

x  y ta se th đanh gia vê 2xy xem va điêu bât ng se t i :

yP

acb

H có nghi m khi a2  4a2  3 a2  4  a2 0 ; 4

 2 32 3 6 2 9 , 2  0 ; 4

2 2

4

;010

;912

'

t

tF

tt

 0 F 3 0; F 1 F 4 4

F

Suy ra maxF  khi a;b;c  2;1;1ho c các hoán v ho c a;b;c  2;1;1 ho c các hoán v

Bài 7 : Cho các s x y z, , th a mãn 0    x y z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

 2 2 22

2 2 2

.6

Bài 8 : Cho các s th c d ng , ,x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

3

22

Bài 11: Cho các s th c d ng x y z , , th a mãn x2y2z2 3 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c

Bài 1: Cho a, b, c là các s th c d ng th a mãn đi u ki n 3 3 3

3

2

718



  (1) v i m i 0   a 3 d u b ng khi a = 1, th t v y 2

b



  (2) d u b ng khi b = 1 2

9 3 32

34

a c c b

c b b a

b a S

2 2

2

3 3 3 3 3 3

7 2

x x

b b

7 2

2 2 3 3

b a b a

5 18

7 2

2 2 3 3

c b c b

5 18

7 2

2 2 3 3

a c a c

a 12 S

2 2 2







V y MinS =2 khi a=b=c=1

Bài 9 : Cho a, b, c là đ dài ba c nh c a m t tam giác Ch ng minh r ng:

cbaba

bacb

xzyzy

zyxyx

yxzx

zk

xzkyzyk

zykxyxk

yxkk

)3()(

)3()(

)3(

z x z y z y x y x x z z

x z z z

y y

z y y y

) ( 4 ) (

) ( 4 )

2

1 5 1 5 1 5 1 1

4 1 1

4 1

1

4

z z

z y y

y x x

x z y y

x x

t

0)

1(

)13)(

12(01821

2

2 3

ttt

t

ttt

Dâu "  " xay ra khi a  b c 1

Bài 13 : Cho ba s th c d ng a b c , , và th a mãn đi u ki n 2 2 2

Dâu b ng cua bât đ ng th c xay ra    a b c 1

Xét hàm s

3 1

P   t  t  Xét hàm s 1 3 1 2 1

  3

4 ab a( b) bc(b c) ca(c a) abc (a b c)

2 3

Bai nay tinh ca cach cua minh thi co khoang 7 l i giai nh ng co 4 l i giai co ve na na giông nhau vi thê xin chi nêu cac cach điên hinh :

chu y cac đ ng th c sau:

Bài 1: Cho các s th c x ; y ; z không âm sao cho không có hai s nào đ ng th i b ng 0 Tìm giá tr

P ab

ab

bb

1

t

t t

2( y z) x(2 y 2 z 3 x) 0

xP

Câu 13: Cho các s th c không âm , ,x y z xth a mãn x   Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c y z 1

( x  y )  ( y  z )   ( z x )  6tim max cua

    t đo P3dâu= khi(a,b,c)=(1,1,0) va hoan vi

Bai 18: Cho cac sô x y z, ,  0; 2 không đông th i b ng 0 Tim GTNN cua :

2 2 2

3 3 3

Bai 19: cho cac sô th c không âm x y z, ,  0, 2 va x  y z 3 tim gia tri nho nhât cua

P           dâu =khi ( , , )x y z (2,1, 0) va hoan vi

Bai 20 : Cho cac sô th c a    c b 0thoa man a   c 2 b  1 tim gia tri l n nhât cua :

Thay a   c 2 b  1ta co cac đanh gia:

    Vây Max P=3 khi ( , , )a b c (0,1, 2)

Bai 25: Cho cac sô th c  0;1 ; , 0;1

P  t i ( ; ; )x y z (3;0;0) và các hoán v

Cách 2

V y 324

5max

x y z

t x     y z t 0 Xet ham sô   102 5

, 0 2

x

3 2 3

f x

xx

Suy ra P64, dâu b ng xay ra khi x   y 0, z  4ho c x   z 0, y  4

Vây maxP64khi x   y 0, z  4ho c x   z 0, y  4

Bài 1: Cho ba s d ng x y z , , th a mãn x    y z 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

Bài 1 : Cho ba s th c d ng x y z; ; th a mãn: xyz3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:

Trong mp(Oxy), g i a (log3x;1),b (log3y;1),c(log3z;1)và n    a b c n (1;3)

Ta có: a  b  c    a b c log23x 1 log23 y 1 log23z 1 1232

t t

tt

Bài 6: Cho các s th c d ng x, y, z th a mãn 2 2 2

3

x  y  z  Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2

Bài 1 : Cho các s th c d ng x,y,z th a mãn 2 2 2

3( x  y  z )  2( xy  19 yz  xz ) Tìm GTNN c a

9 17

2 2

2 2

x P

1 3 f'(t)

Bài 4: Gi s x, y, z là các s th c không âm th a mãn 2 2 2

t

P   t (1)Xét hàm s 1 4

Bài 1: Cho abbc2c2,a 2c Tìm giá tr l n nh t c a P a b c

12

P

xc

xy yb

yxc

T b ng bi n thiên có f t ( )  12,   t 1 T (1) và (2) P  12 B t đ ng th c x y ra khi và ch khi

t

f t

t t

( 1)( )

T   đat đ c khi a=b=c

Bài 9 : Gia s x, y la cac sô th c d ng thoa man x   y 2 Tim gia tri l n nhât cua biêu th c

P x y  x  xy y

Bài gi i

Vi x, y la cac sô th c d ng nên

T bang biên thiên ta suy ra f t  3 v i moi t > 0

Dâu đ ng th c xay ra khi va chi khi t = 2

T (1), (2) va (3) ta suy ra Pxy7 3  8, dâu đ ng th c xay ra khi va chi khi

Bài 11: Cho ba s th c d ng a, b, c th a mãn đi u ki n 4a 1 2c b 1 c 6

4z

Bài 1 : Cho a, b, c là 3 s th c d ng và th a 21ab2bc8ca12 Tìm giá tr nh nh t c a bi u

Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c S = 2x + y + 2z

Bài gi i

Ta có: 2(x+ y) = z(xy – 7) Do x, y, z là các s d ng nên xy – 7 > 0

Khi đó , t gi thi t ta đ c 2( )

7

x y z

g x

xx

x

y z P

x y z x

Bài 4: Cho cac sô th c d ng a,b,c thoa   1 2 3

Suy ra f '( y ) la ham đông biên trên 0;va` f '( )3  0 f '( y )  0 y 3

Lâp bang biên thiên ta suy ra f ( y ) f 3  55hay P 55

ng th c xay ra khi y  3 , x    2 b 2 a ,c  3 a Vây max P=-55

Bài 1: Cho ba s th c d ng x y z , , th a mãn xy  yz  zx  xyz  4. Ch ng minh r ng

Suy ra A, B, C là ba góc nh n c a m t tam giác Ta có

2 cos cos 2 cos cosC 2 cosC cos

3(cos cos cos ) 8sin A sin sin

2 cos cos cos cos cos cos

Gia tri l n nhât cua ymax f t  f 0     2 t 0 x 0

Bài 4 : Xét s th c x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau

Trong đó ma, mb, mct ng ng là đ dài đ ng trung tuy n xu t phát t A, B, C c a ∆ABC

Theo b t đ ng th c Cô si cho hai s th c không âm, ta có

2 2 2

2 3c

Suy ra 2 3 32 2 

Bài m u: Cho a b c , , là các s th c th a mãn a c ,  1; b  2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c

Suy ra P5 D u x y ra khi và ch khi   5 3

x y zP

2

t

f t

t t

Câu 14: Cho x y z, , 0,1 Ch ng minh r ng P (1 1 )( x y z ) 3 1 1 1

 D u b ng khi A = B > 0 Do đ đoán đi m r i

x = y = 1 , z = 0 nên kh n ng x = x + z và y = y + z là hoàn toàn có th x y ra

Ta có:  

2 2

2

.2

 



  



V y giá tr nh nh t c a P là MinP4 đ t đ c khi x y z; ;   1;1;0

Câu 22: Cho hai s th c x y, th a mãn đi u ki n 1   x 2; 1   y 2.

xP

Câu 26: Cho a b c , , là các s th c thu c đo n  1; 4 th a mãn a b 2c8

x y zxy

Xét hàm trên xy>=1 làMinP=3, d u b ng khi x=y=z=1

Suy ra min P=1ln 2 1

2  d u b ng khi 1

0

x yz

ab a bab

Câu 36: Cho 3 s th c x, y, z thu c đo n [1;4] và th a mãn x    y z 6 Tìm giá tr nh nh t c a bi u