Bất đẳng thức do Trần Phương và Tăng biên soạn.Võ Quốc Bá Cẩn.Phạm kim Hùng.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
Nguyễn Phúc Tăng Sưu tầm và giới thiệu
Cho các số dương w w1, 2, ,w n thoả mãn w1w2 w n 1
Nếu a a1, 2, ,a n là các số thực không âm thì
Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức
Cho hai dãy số thực a a1, 2, ,a n và b b1 , 2 , ,b n Ta có:
Trang 2Với m dãy số dương a1,1,a1,2, a1,n , a2,1,a2,2, ,a2,n a m,1,a m,2, ,a m n, ta có:
Đẳng thức xảy ra khi m dãy tương ứng đó tỉ lệ
+Bất đẳng thức Cauchy - Chwarz là một hệ quả của bất đẳng thức Holder khi m = 2
Trang 3Q - Tập số hữu tỉ
[a, b] - Đoạn (khoảng đóng) của hai đầu mút a, b
(a, b) - Đoạn mở của hai đầu mút a, b
MO - National Mathematical Olympiad
IMO - International Mathematical Olympiad
TST - Selection Test for International Mathematical Olympiad
VMEO - Viet Nam Mathematical EOlympiad
VMO - Viet Nam Mathematical Olympiad
S.O.S - Sum of Square
MV - Mixing Variables hay dồn biến
SMV - Stronger Mixing Variables hay dồn biến mạnh
THTT - Mathematical and Youth Magazine hay tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ
APMO - Asian Pacific Mathematical Olympiad
R.M.M - Rumanian Mathematical Magazine
Kvant - Russia Magazine
Trang 4(Đề chuyên toán Hà Nam 2016-2017)
Bài 9: Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn abc = ab + bc + ca Chứng minh rằng :
(ĐTTS lớp 10 chuyên Toán – Tin, ĐH Sư phạm Vinh 2002 - 2003 )
Bài 13: Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có:
(ĐTTS lớp 10 chuyên Ngoại ngữ, ĐHNN Hà Nội 2007-2008)
Bài 14: Cho a, b, c > 0 thoả mãn abc = 1.Chứng minh rằng:
Trang 55 ab5 1
(ĐTTS vào 10 Nguyễn Trãi, Hải Dương 2016-2017)
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d > 0 ta luôn có :
16 a b c d abcbcd cdadab
Bài 20: Cho a, b, c > 0 và a + b +c =3 Chứng minh rằng ;
(Đề thi vào 10 chuyên toán, Hà Nội 2016-2017)
Bài 23: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng:
3
32
2
131
cyc
a b
Trang 6Bài 27: Cho x, y, z > 0 và xyz = 1 Chứng minh rằng:
4 2
1
82
x x
Bài 34: Cho a, b, c >0 và a + b + c 6 Chứng minh rằng:
2 2
2
a b
(ĐTTS vào 10 Chuyên Lê Quý Đôn-Bình Định2016-2017)
Bài 36: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
2
19
35
Trang 7(ĐTTS vào 10, Hưng Yên 2016-2017)
Bài 38: Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn: a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
3 , ,
1
11
(Đề thi 10 chuyên toán Hà Nội 2014-2015 / Tạp chí Crux math)
Bài 46: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
3 3
Trang 8(Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 425, Tháng 12 năm 2012)
Bài 48: Cho các số thực dương x, y, z Chứng minh rằng :
(Đề thi 10 vào 10 THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hoá năm 2014-2015)
Bài 49: Cho a, b, c là các số thực không âm và ab + bc + ca > 0 Chứng minh rằng:
Trang 9(Iranian Mathematical Olumpiad 1996)
Bài 60: Cho x, y, z là các số thực không âm Chứng minh rằng:
(Nguyễn Văn Quý)
Bài 64: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
32
Trang 10Bài 68: Cho (ab)3 4ab12.Chứng minh rằng:
(Đề thi vào 10 chuyên toán, THPT Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương 2015-2016)
Bài 69: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
2
2 , ,
1( 1)
Trang 11Chứng minh rằng:
3
13
a
(Đề thi IMO Shortlist 1998)
Bài 79: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
(ĐTTS vào 10 chuyên KHTN – ĐHQG Hà Nội 2007-2008)
Bài 82: Cho a, b, c > 0 và abc = 1 Chứng minh rằng :
(Tạp chí Toán học và tuổi trẻ bài T6, số 463)
Bài 84: Cho các số thực dương a, b,c thoả mãn abc + a + b = 3ab Chứng minh rằng:
(Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2011-2012)
Bài 85: Cho a, b, c > 0 thoả mãn bất đẳng thức sau: 2 2
1
11
Trang 123 21
(Tạp chí toán học và tuổi trẻ, bài T4, Số 42, Tháng 7/2012)
Bài 87: Cho a, b, c > 0 và thoả mãn điều kiện a + b + c = 3 Chứng minh rằng :
(Đề thi vào 10 chuyên toán, Nguyễn Trãi, Hải Dương 2014-2015)
Bài 92: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh rằng:
2 2
(Đề thi Junior Banlkan 2000)
Bài 95: Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1 Chứng minh rằng :
2
1
11
(Vasile Cirtoaje)
Trang 13Bài 96: Cho các số thực không âm a, b, c thoả mãn ab + bc +ca > 0 Chứng minh rằng:
(Đề thi Việt Nam MO 1991)
Bài 101: Chứng minh rằng với mọi a, b, c không âm ta có:
Trang 14(ĐTTS lớp 10 Chuyên Toán, Nam Định 2016-2017)
Bài 109: Cho x, y, z là các số không âm thoả mãn (x + z)(y + z)=1
Trang 15(Đề thi Olympic 30/4, khối 11, lần XII - 2006)
Bài 118: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
(Phạm Văn Thuận, Mathlinks forum)
Bài 119: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
(Vaslie Cirtoaje – Algebraic Inequalities – Old and New Method )
Bài 123: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng :
Trang 162 18
(Lê Hữu Điền Khuê THPT Quốc Học, Thành phố Huế)
Bài 128: Cho a, b, c là các số thực không âm Chứng minh rằng:
Trang 17(Nguyễn Đình Thi, Cezar Lupu)
Bài 141: Cho các số thực dương a, b, c sao cho ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng:
(Lê Việt Hưng, Hải Lăng, Quảng Trị )
Bài 145: Cho a, b, c > 0; abc = 1 Chứng minh rằng:
Trang 18Bài 147: Cho các số thực không âm a, b, c sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng
1
11
(Võ Quốc Bá Cẩn, Vasile Cirtoaje)
Bài 149: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
16
21
(Đề thi chọn đội tuyển VMO Bà Rịa - Vũng Tàu 2016-2017)
Bài 152: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng:
(Đề chọn đội tuyển VMO Thái Nguyên 2016-2017)
Bài 153: Cho b a > 0; c > 0 Chứng minh rằng:
Trang 19Bài 156: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = abc Chứng minh rằng:
(Lê Việt Hưng)
Bài 157: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
2 3
(Nguyễn Việt Hùng, GV THPT Chuyên KHTN,ĐHQGHN)
Bài 159: Cho a, b, c > 0; a + b + c = 1 Chứng minh rằng:
(Turkey National Olympiad )
Bài 160: Cho a, b, c > 0; a2 b2 c2 3 Chứng minh rằng;
Trang 20Bài 165: Cho a, b, c > 0; abc = 1 Chứng minh rằng:
2 , ,
331
a b c
a a
(Võ Quốc Bá Cẩn, Viet Nam (IMO training camp) 2009)
* Các tài liệu tham khảo:
[1] Solving the inequality ***** Group/ Facebook
[2] Mathematical Inequality Group/ Facebook
[3] Imad Zak Group/ Facebook
Trang 21[26] Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học - Trần Phương và sách của 1
số tác giả khác: Vasile Cirtoaje, Trần Quốc Anh, Võ Quốc Bá Cẩn, Phạm Kim Hùng, Phan Huy Khải, Bùi Việt Anh, Phan Thành Nam,…
-Hết -