e Xác định giao điểm M của ∆ với P2, viết phương trình đường thẳng qua M, nằm trong P2 và vuông góc với ∆.. c Viết phương trình mp song song với P và cắt S theo thiết diện là đường tròn
Trang 1PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
(Dùng cho ôn thi Đại học năm 2011)
A BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1 Cho hai mp (P1): x + y + 2z = 0, (P2): x – y + z + 1 = 0, điểm A(1, 1, 1) và đ/thẳng : 2 2
a) Chứng minh rằng (P1) cắt (P2), viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của (P1) với (P2) b) Lập phương trình hình chiếu vuông góc của ∆ trên (P1)
c) Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt và vuông góc với d
d) Lập phương trình mặt phẳng song song với (P2) và cách A một khoảng bằng 3
e) Xác định giao điểm M của ∆ với (P2), viết phương trình đường thẳng qua M, nằm trong (P2) và vuông góc với ∆
f) Lập phương trình đường vuông góc chung của d và ∆
g) Chứng minh d và ∆ chéo nhau, lập phương trình mặt phẳng chứa d và song song với ∆
h) Lập phương trình đường thẳng qua A, cắt cả d và ∆
i) Lập phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo bởi (P1) và (P2)
2 Lập phương trình mặt phẳng trong các trường hợp sau
a) Đi qua G(1, 2, 3) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho G là trọng tâm của ∆ABC
b) Đi qua H(2, 1, 1) và cắt các trục tọa độ tại A, B, C sao cho H là trực tâm của ∆ABC
c) Đi qua M(1, 1, 1) và cắt chiều dương của các trục tọa độ tại A, B, C sao cho VOABC nhỏ nhất
3 Cho điểm M1(2 ; 1 ; -3) và hai mặt phẳng (P1) : x + y + 2z + 3 = 0, (P2) : x + (m – 2)y + (m – 1)z – 3m = 0
1 Xác định m để (P1) // (P2)
2 Với m vừa tìm được ở trên
a) Tính khoảng cách giữa (P1) và (P2)
b) Viết PTMP song song và cách đều (P1) và (P2)
c) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại M1 và tiếp xúc với (P2)
d) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với (P1) tại M1 và cắt (P2) theo thiết diện là đường tròn bk 6 2
4 Cho (P): 2x – 3y + 2z – 3 = 0, (S): (x – 8)2 + (y + 8)2 + (z – 7)2 = 68
a) Chứng minh (P) cắt (S), xác định tâm và bán kính đường tròn thiết diện
b) Viết phương trình mp song song với (P) và tiếp xúc với (S)
c) Viết phương trình mp song song với (P) và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có bán kính 51
d) Viết phương trình mặt cầu (S’) đối với (S) qua (P)
5 Lập phương trình đường thẳng qua A(4 ; 1 ; -1) cắt và tạo với d :
0 1 1
x
=
= +
= +
một góc 450
6 Cho A(4 ; -1 ; -1) và d1 : 1 3 2
x − = y − = z −
− , d2 :
x − = y − = z −
−
a) Chứng minh d1 và d2 chéo nhau Tính góc của chúng
b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2
c) Viết phương trình đường thẳng qua A, vuông góc d1 và cắt d2
7 Cho (P) : x + y – 6 = 0, d :
1 1 4
x y
=
=
= +
Trang 2a) Chứng minh d // (P) Tính khoảng cách giữa d với (P).
b) Viết phương trình mp chứa d và song song với (P)
c) Viết phương trình mp chứa d và tạo với (P) một góc α với os 3
10
c α = d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và tiếp xúc d tại A(1; 1; 1)
e) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc d và tiếp xúc với (P) tại E(5; 1; 1)
8 Cho d: 2 4 2
x − = y − = z −
và (P): 2x + 2y + z – 5 = 0
a) Viết phương trình mp chứa d và tạo với (P) một góc có số đo nhỏ nhất
b) Viết phương trình mặt cầu có bán kính bằng 3, tâm thuộc d và tiếp xúc với (P)
9 Cho d: 1 1 1
x + = y + = z −
và d’: 3 2 4
x − = y − = z −
a) Chứng minh d cắt d’, tìm tọa độ giao điểm Viết phương trình đường phân giác góc tạo bởi d, d’ b) Viết phương trình mp chứa d và d’
c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và tạo với d’ một góc α với sinα = 4/9
d) Viết phương trình mặt phẳng chứa d’ và tạo với d một góc lớn nhất
e) Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với d, d’ và có tâm thuộc đường thẳng
2 0
1 2
y
= − +
=
= −
10 Cho đường thẳng d: 2
x y = − = z
− , mp(P): 2x + y – 3z – 5 = 0, A(1, 1, 2), B(2, 1, -3).
a) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với d qua (P)
b) Tìm M thuộc d sao cho MA + MB nhỏ nhất
c) Tìm N thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất
d) Tìm K thuộc (P) sao cho MA MB − nhỏ nhất
e) Tìm L thuộc d sao cho LA LB − nhỏ nhất
11 Cho đường thẳng d: 1 2 1
x − = y − = z +
và mặt cầu (S) : (x – 4)2 + (y + 1)2 + (z – 2)2 = 27
a) Chứng minh rằng d cắt (S) tại 2 điểm A, B Tính độ dài AB
b) Viết phương trình đường thẳng song song với d và cắt (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất
c) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại A
d) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với d và
d1) Tiếp xúc với (S)
d2) Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn
d3) Cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có diện tích bằng 18π e) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn lớn
f) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và cắt (S) theo thiết diện là đường tròn có đường kính AB
12 Cho điểm A(4; 2; 2), và mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y – 1)2 + z2 = 9
a) Chứng tỏ A thuộc (S) Tìm B thuộc (S) sao cho AB lớn nhất
b) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (S) tại A và vuông góc với giá của vectơ ( − 1 0 1 ; ; ) c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (S) tại A và tạo với đường thẳng : 3
x y − z
−
Trang 3B GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI THI TUYỂN SINH CÁC NĂM
Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(-4; -2; 4) và đờng thẳng d:
3 2 1
1 4
= − +
= −
= − +
Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua điểm A cắt và vuông góc với đờng thẳng d
Bài 2:
1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0)
C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0
a) Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng B’C và AC’
b) Cho a, b thay đổi nhng luôn thoả mãn a + b = 1 Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đờng thẳng A’C
và AC’ lớn nhất
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P):
x + y + z - 2 = 0 Viết phơng trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P)
Bài 3: Cho đờng thẳng d: 1 3 3
x − = y + = z −
− và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2
b Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông góc với d
Bài 4: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 với A(0; -3; 0) B(4; 0; 0) C(0; 3; 0) B1(4; 0; 4)
a Tìm toạ độ các đỉnh A1,C1 Viết PT mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC1B1)
b Gọi M là trung điểm của A1B1 Viết phơng trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với
BC1 mặt phẳng (P) cắt đờng thẳng A1C1 tại điểm N Tính độ dài đoạn MN
Bài 5: Cho hai đờng thẳng: d1: 1 2 1
x − = y + = z +
− và d2:
2 0
3 12 0
x y z
x y
+ − − =
+ − =
a CMR: d1 // d2 Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng thẳng d1 và d2
b Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt d1, d2 lần lợt tại các điểm A, B Tính diện tích ∆OAB (O là gốc toạ độ)
Bài 6: Cho điểm A(0; 1; 2) và hai đ/thẳng : d1: 1 1
x = y − = z +
− d2:
1
1 2 2
x t
= +
= − −
= +
a Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d1 và d2
b Tìm toạ độ các điểm M ∈ d1, N ∈ d2 sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng
Bài 7: Cho điểm A(1; 2; 3) và hai đờng thẳng d1: 2 2 3
x − = y + = z −
− , d2:
x − = y − = z +
−
a Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đờng thẳng d1
b Viết phơng trình đờng thẳng ∆ đi qua A vuông góc với d1 và cắt d2
Bài 8: Cho hai đờng thẳng d1: 1 2
x = y − = z +
− và d2:
1 2 1 3
z
= − +
= +
=
a Chứng minh rằng: d1 và d2 chéo nhau
b Viết PT đờng thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đờng thẳng d1, d2
Bài 9: Cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0
a Viết phơng trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đờng tròn có bán kính bằng 3
b Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất
Bài 10: Cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đờng thẳng ∆: 1 2
x − = y + = z
−
a Viết PT đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB)
Trang 4b Tìm toạ độ điểm M thuộc đờng thẳng ∆ sao cho MA2 + MB2- nhỏ nhất
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và đờng thẳng
2
2 1
2
1 :
) ( x− = y = z−
d
a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d)
b) Viêt phơng trình mặt phẳng (α) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới (α) là lớn nhất
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1)
a) Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC
Bài 13 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3)
a) Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D
b) Tìm toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 14: Cho mp(P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z – 11 = 0
CMR mặt phẳng cắt mặt cầu, xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn giao tuyến
Bài 15 : Cho (P) x – 2y + 2z – 1 = 0, d1 : 1 9
x + = = y z +
, d2 : 1 3 1
x − = y − = z +
− Xỏc định tọa độ M
thuộc d1 sao cho M cỏch đều d2 và (P)
Bài 16 : Cho A(0, 0, 2) và đường thẳng d : 2 2 3
x + = y − = z +
Tớnh khoảng cỏch từ A đến d Viờts phương trỡnh mặt cầu tõm A cắt d tại 2 điểm B, C sao cho BC = 8.
Bài 17: Cho : 1 2
x − y z +
− , (P) : x – 2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm
thuộc ∆ Tỡnh khoảng cỏch từ M đến (P), biết MC = 6
Bài 18 : Cho A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; b ; 0), C(0 ; 0 ; c) trong đú b, c > 0 và mặt phẳng (P) : y – z + 1 = 0 Xỏc định b, c biết rằng mp(ABC) vuụng gúc với mp(P) và khoảng cỏch từ O đến mp(ABC) bằng 1/3 Bài 19 : Cho 2 mp (P) : x + y + z – 3 = 0 và (Q) : x – y + z – 1 = 0 Viết phương trỡnh mp(R) vuụng gúc với (P) và (Q) sao cho khoảng cỏch từ O đến (R) bằng 2.
Bài 20 : Cho 1:
3
y t
z t
= +
∆ =
=
và 2: 2 1
x − y − z
∆ = = Xỏc định tọa độ điểm M thuộc ∆1 sao cho khoảng cỏch từ M đến ∆2 bằng 1.
Khoõng coứn thụứi gian cho vieọc nghú : Hoõm nay laứm hay ngaứy
mai laứm ! Chuực caực em oõn taọp thaọt toỏt, thi ủaùt ủieồm cao.
Bài 1i :
Mặt phẳng phõn giỏc gúc tạo bởi (P1), (P2) gồm cỏc điểm M(x, y, z ) thỏa món :
x y + + = x y − +
⇔
Trang 5Bài 2 : Phương trình mp theo đoạn chắn : x y z 1
a b c + + =
a) G là trọng tâm (A + B + C = 3G)
b) H là trực tâm HA BC HB AC H ⊥ , ⊥ , ∈ ( ) P
c) M thuộc (P) nên 1 1 1 1 33 1 1 1 abc 27
a b c a b c
V = abc ≥
Bài 3 :
c) Đường kính M1M2 với M2 là hình chiếu của M1 trên (P2)
d) Giả sử mặt cầu có tâm I(x, y, z) và bán kính R ; M2 là tâm của đường tròn giao tuyến (C)
Ta có 2 2 2 2 1 2 12 ( )2 2dR 2 2 2 2 4 6
2d
d r
R − = r M I = M M − IM = d R − ⇔ = d + ⇔ = r R + =
d(I, (P2)) = IM2 = R – d = 2 6
(S) tiếp xúc (P1) tại M1 1 . 1 , ,
2 1
3 2
M I t n y t x y z
− =
+ =
uuuur ur
Thay vào khoảng cách thì t = 4 ( chú ý t ≠ 0) Bài 5: Gọi H là hình chiếu của A trên d => tọa độ H Sử dụng tam giác ABH vuông cân tại H suy ra B Đường thẳng cần tìm qua 2 điểm AB
( Hoặc: Viết pt mp(P) qua A và chứa d Gọi u uur∆ là chỉ phương cần tìm Sử dụng u uur∆ vuông góc với Pháp tuyến của (P) và công thức góc, suy ra u uur∆ )
Bài 7 :
c) Sử dụng u uur uurQ ⊥ u∆ và công thức góc giữa hai mp
d) Gọi (S) là mặt cầu cần dựng Thí (S) có đường kính AA’ với A’ là hchiếu vuông góc của A/(P) e)