Phương pháp lượng giác hoá

Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy... os Tương tự cho các b

Trang 1

Trong quá trình học tập, tôi cảm thấy lượng giác là một phương pháp rất hay trong việc giải quyết nhiều bài toán

số học, sau đây là một trong những ví dụ như vậy.

I-Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác:

1/ Nếu biến x tham gia trong bài toán có điều kiện x ≤ k k ( > 0 ), ta đặt x kc = os , α α ∈ [ ] 0, π hoặc

2 2

x k = α α  ∈ − π π 

2/ Nếu x ∈ ¡ , đặt tan , ;

2 2

x = α α  ∈ − π π 

3/ Nếu hai biến tham gia bài toán có ràng buộc: a x2 2+ b y2 2 = c2 ( a b c , , > 0 )

ta đặt : x c sin , y c c os , [ 0,2 ]

4/ Nếu ba biến x, y, z tham gia bài toán có ràng buộc x y z xyz + + = hoặc xy yz zx + + = 1 thì có thể đặt tan , tan , tan

2 2

π π

α β γ  ∈ −   ÷

5/ Một số biểu thức thường gặp khác:

2 2

π π

α  ∈ −   ÷

α

=



 =



[ ] 0,

;

2 2

π π

α  ∈ −   

2 2

α ∈     ÷ ∪  π  ÷

1

x y

xy

+

− hoặc 1

x y xy

− +

tan tan

x y

α β

=



 =

π π

α β  ∈ −   ÷

II-Ứng dụng của phương pháp:

1 Chứng minh các hệ thức đại số:

Bài toán 1: (Đại học Dược Hà Nội 1995)

Cho x, y, z > 0 và thoả mãn xy yz zx + + = 1, tính giá trị của biểut thức:

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

Giải: Đặt tan , tan , tan , , , 0;

2

∈  ÷  Theo giả thiết ta có tan tan tan tan tan tan 1

2

π

x

1 tan tan 1

yz

Tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta được:

M = − yz + − zx + − xy = − xy yz zx + + =

Bài toán 2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn ab+bc+ca=1 Chứng minh rằng :

( 2) ( 2) ( 2) 2 2 2

bc a +ca b +ab c =abc a b c

Trang 2

Giải: Đ ặt tan , tan , tan , , 0;

2

∈ ÷ Từ giả thiết ta có :

tan tan tan tan tan tan 1

2

π

cot cot os

Tương tự cho các biểu thức còn lại, ta được vế trái

cot cot cot tan os tan os tan os cot cot cot sin 2 sin 2 sin 2

2

1

cot cot cot 4 os cos cos

2 2cot ot cot cos cos cos

c

+ + + (đpcm)

Một số bài tập tự luyện:

a) x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 4

   

 −  − + −  −  + −  − =

        

b) x y z+ + −3xyz x y= ( 2+z2) (+y z2+x2) (+z x2+y2)

Bài 2: Cho x y z , , > 0, x2+ y2+ + z2 2 xyz = 1 Chứng minh rằng:

1+xyz x= (1−y2) (1−x2)+y (1−x2) (1−z2)+z (1−x2) (1−y2)

( 2) ( 2) ( 2)

4

x y z

+ + + + + = + + + ≠

1/ ( ) ( )

( ) ( )

2 2

(1) 1

z

+ − = −

+

2/ ( ) ( )

( ) ( )

2

(2) 1

z

+

( 2) ( 2) 2 2

ym

0

s

yz

=

∑

2 Bất đằng thức, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

Bài toán 1: (Đại học kiến trúc TP.HCM 1993) Chứng minh nếu x < 1 và n là một số tự nhiên lớn hơn 1 thì ta có: ( 1 ) (n 1 )n 2n (1)

Giải: Vì x < 1 nên ta đặt x c = ost , t ∈ ( 0; π ), khi đó (1) ( 1 ost ) (n 1 ost )n 2n

Ta có : (1 ost) (1 ost) 2 os2n sin2

Vì ta có 0 0 sin os t 1

c

π

< < ⇒ < < nên os 2n os 2 ; sin 2 sin 2

n

nc t n t  nc t t n

Bài toán 2: Cho x2+ y2− 2 x − 4 y + = 4 0 Chứng minh rằng :

x −y + xy− + x+ − y− + ≤

x +y − x− y+ = ⇒ −x + −y =

Đặt x− =1 sinα , y− =2 cos ,α α∈(0;2π) ⇒ = +x 1 sin ,α y= +2 cosα

6

A x= −y + xy− + x+ − y− + =  α−π 

Trang 3

Suy ra A ≤ 2 (đpcm)

Bài toán 3: Cho 0≤ ≤a i 1,i=1, 2, ,n (n∈¥*) Chứng minh rằng:

( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

Giải: Đặt tan 0

i

a = α  ≤α ≤π

 , vì cosαi ≥ 0 (i= 1,n) nên hiển nhiên ta có:

(1+cosα1) (1+cosα2) ( 1+cosαn) ≥ +1 cos osα1c α2 osc αn (1)

Thay

2

i

2

1 tan

2 os

1 tan

2

i

c

α

+ thay vào (1) ta có

n

Đẳng thức xảy ra ⇔ = a1 a2 = = an = 1

Bài toán 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

xy y

x xy P

2 2 1

) 6

( 2

2

2 + +

+

=

với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2+ y2 = 1

(Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2008 – Khối B)

Giải: Hệ thức x2+ y2 = 1 giúp chúng ta liên tưởng đến công thức lượng giác:

1 cos sin2u + 2u =

Vì vậy, ta đặt: x = sinu, y = cosu

Dưới hình thức lượng giác, ta có:

u u u

u u

u P

cos sin 2 cos 2 1

) sin cos sin 6 ( 2

2

2 +

+

=

2 2 cos 2 sin

1 2 cos 2 sin 6

+ +

+

−

=

u u

Để tìm miền giá trị của P, ta biến đổi (*) thành:

(P – 6)sin2u + (P + 1)cos2u = 1 – 2P (**) Điều kiện có nghiệm của phương trình (**) là:

( ) (2 ) (2 )2

2 1 1

P − + + ≥ − ⇔ 2 P2+ 6 P − 36 ≤ 0

3

6 ≤ ≤

−

Vậy, giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng – 6

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

5

2 +

−

P

với x, y là hai số thực thay đổi và thỏa mãn hệ thức: 36 x2+ 16 y2= 9

Giải:

Biến đổi 36 x2+ 16 y2 = 9 về dạng: 1

3

4 3

6 2 2 =









 +











Trang 4

Ta nghĩ đến việt đặt:











=

⇒











=

u y

u x

u y

u x

sin 4 3

cos 2 1

sin 3 4

cos 3 6

Khi đó, dưới dạng lượng giác thì: P = sin cos 5

4

3

+

u

Sử dụng bất đẳng thức: − a2+ b2 ≤ a sin u + b cos u ≤ a2+ b2

Ta suy ra: maxP =

4

25 1 16

9

5 + + =

minP =

4

55 1 16

9

5 − + =

Bài toán 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

2 2

2 4 3

y x

xy y

P

+

−

=

Giải: Biến đổi hàm P về dạng:











 +











 +

−











 +

=

2 2 2

2

3

y x

y y

x

x y

x

y P

và chú ý rằng:

2

3 2 cos 2

3 2 sin

2 2 2

sin

y x

x u

y x

y u

+

= +

=

Lúc đó, hàm số P dưới hình thức lượng giác là:

P = 3 sin2u – 4 sinu.cosu

2

3 2 cos 2

3 2 sin

Áp dụng bất đẳng thức: − a2+ b2 ≤ a sin u + b cos u ≤ a2+ b2

Ta được: maxP = 4

minP = -1

Bài toán 6: Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn: x + y = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

y

y x

x P

−

+

−

=

1 1

Giải: Với x, y > 0 và x + y = 1 nên ta đặt:









=

u y

u x

2

cos

sin











 < <

2

0 u π

Trang 5

Lúc đó, P =

u u

u

u u

u

cos sin

sin

cos cos

sin2 + 2 = 3 + 3

Đặt t = sinu.cosu = , 1 2

4 sin









thí

1

3 )

3

−

=

t

t t t f P

3 )

(

2

4

<

−

+

−

=

t

t t f

Nên f(t) nghịch biến trên [ 1 ; 2 ] Vậy: min P = f ( 2 ) = 2

Bài toán 7: Tìm a và b sao cho hàm số:

1

2+

+

=

x

b ax y

đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1

Giải: Do hàm số y xác định với mọi x và sự có mặt của đại lượng 1 + x2 cho nên ta có thể lượng gíac hóa bằng cách đặt: x = tanα

Khi đó, hàm số y trở thành:

α α

tan 1

tan

b a

+

=

2 2 cos 2 2 sin 2

b b

a

Áp dụng công thức:

2 2 2

2 b a sin u b cos u a b

−

2

1

b

2 2 min

2

1

b

Đến đây, việc tìm a và b thỏa yêu cầu bài toán quy về việc giải hệ phương trình:







=

−

∨







=

⇔











−

= +

−

= + +

3

4 3

4

1 2

4 2

1 2

2 2

b

a b

a

b a b

Bài toán 8: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = xyz và x, y, z

3

≠

3 2

3

3 1

3 3 1

3

z

z z y

y y x

x x z

z z y

y y x

x x

−

− +

−

− +

−

Trang 6

Giải: Cấu tạo của các đại lượng, các thành phần tham gia trong biểu thức cần tính giúp chúng ta liên tưởng đến

công thức lượng giác:

a a

3 tan tan

3 1

tan tan

3

2

3

=

−

Vì thế ta đặt: x = tana, y = tanb, z = tanc

Khi đó: P trở thành:

P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a tan3b tan3c Mặt khác, ta có:

a c c

b b

a

c b a c

b a

c b a

tan tan tan

tan tan

tan 1

tan tan tan tan

tan tan

) tan(

−

− +

+

= +

Theo công thức lượng giác ta có

tana.tanb.tanc = tana + tanb + tanc

Từ (2), ta suy ra: tan (a + b + c) = 0

Từ (1), ta suy ra: tan(3a + 3b + 3c) = 0

và từ (2), ta suy ra: P = tan3a + tan3b + tan3c – tan3a.tan3b.tan3c = 0

Bài toán 9: Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( 1 2)( 1 2)

1

y x

xy y

x P

+ +

− +

=

Giải: Từ điều kiện x, y ∈ R và sự có mặt của biểu thức: 1+ x2 và 1+ y2 , ta đặt:







=

v y

u x

tan tan

Lúc đó, P trở thành: P =( )( )

v u v

u

2

2 1 tan tan

1

tan tan 1 tan tan

+ +

− +

v u

v u v

u

v

cos cos

sin sin 1 cos cos

) sin(











 − +

= sin(u + v) cos(u + v)

= sin ( 2 u 2 v ) 2

Suy ra: maxP =

2

1 và minP =

-2 1

Bài toán 10: Cho a, b, c là ba số dương thay đổi luôn thỏa điều kiện:

abc + a + c = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

3 1

2 1

2

c b

a

P

+

+ +

− +

=

Giải: Chúng ta lại gặp các biểu thức dạng: 1 + x2, qua đó ta nghĩ đến việc viết lại giả thiết thành:

ac

c a b

−

+

=

1 (giống hình thức của công thức:

y x

tan tan 1

tan tan

) tan(

−

+

=

Trang 7

Cho nên ta đặt: a = tanx, c = tany 









 < <

2 ,

0 x y π

thì b = tan(x + y) và ta được:

y y

x x

tan 1

3 )

( tan 1

2 tan

1

2

+

+ + +

− +

=

y y

x

2 2 cos ( ) 3 cos cos

=

= cos2x – cos(2x + 2y) + 3cos2y

= 2sin(2x + y).siny + 3 – 3sin2y

3

1 3 ) 2 ( sin 3

1 sin ) 2 sin(

2 sin

3 2 y + x + y y − 2 x + y + + 2 x + y

−

3

1 3 ) 2 sin(

3

1 sin

2

y x y

x









−

3

10 3

1

3 + =

≤

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:









=

+

⇔









= +

−

3

1 sin

1 ) 2 sin(

0 ) 2 sin(

3

1 sin 3

y

y x y

x

y x y

y

k x

∈











=

+

−

=

3

1 arcsin

3

1 arcsin 2

1

π

Vậy giá trị lớn nhất của P là:

3 10

Bài tập tự luyện:

1

a b c

ab bc ca

< <



 + + =

 , Tìm Min của biểu thức : 1 2 1 2 1 2

S

Bài 3:

a) Cho x,y,z thoả x2+ y2+ z2 = 1 Tìm Max của A xy yz = + + 2 zx

b) Cho a, b, c thoả mãn 2 2 2 2

a + b + c + = k (k là hằng số dương) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

B= + ab+ ac+ bc

nhất của biểu thức 22 22 23

P

Bài 5: Cho 13 số thực a a1, 2, , a13 khác nhau đôi một Chứng minh rằng tồn tại hai số

a a ≤ j k ≤ sao cho : 0 2 3

i k

a a

< <

x y

x y xy

−

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

xy x

y xy u

2 2 1

) (

2

2 + +

+

Bài 8:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2(x3 + y3) – 3xy

Trang 8

với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện x2+ y2 = 1

(Đề tuyển sinh Cao đẳng khối A, B, D – 2008)

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 1 + y + y 1 + x

với x, y là hai số thực thỏa mãn diều kiện x2+ y2 = 1

Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x 9 − y2 + y 9 − x2

Bài 11: Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( ) (2 )2

1 1

1

y x

xy y x P

+ +

−

=

(Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D – 2008)

Bài 12: Cho x, y là hai số thực thay đổi Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: ( )( )

( 2) (2 2)2

2 2 2 2

1 1

1

y x

y x y x P

+ +

−

=

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( 2)2

4

1

x

x y

+

=

Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + u, biết rằng x, y, u, v thỏa mãn điều kiện:











≥ +

= +

3 5 25

3

2 2

yu xv

v u

y x

(Đề thi tuyển sinh Đại học khối A năm 1987)

3 Phương trình, hệ phương trình , bất phương trình:

Bài toán 1: Giải phương trình sau: ( 2 ) ( 2 )2 1

x

− − = − ở trong khoảng (0;1)

Giải: Với x ∈ ( ) 0;1 , đặt x c = ost, 0;

2

t  π 

∈  ÷  Khi đó ta có phương trình:

32 ost cos t -1 2 os 1 1

ost

c

32 os sin os 2 c t t c t 1 c ost

8sin 2 os 2 t c t 1 c ost 2sin 4 t 1 c ost 1-cos8t =1-cost

2 7

2 9

t k

π

π  = π

 =



¢

Kết hợp với 0

2

< < , ta được 2 ; 2 ; 4

t= π t= π t= π .

Vậy các nghiệm của phương trình là : os2 , os2 , os4

x c= π x c= π x c= π .

Bài toán 2: (Vô định quốc gia 1984) Giải phương trình 2( ( )3 ( )3) 2

1 + 1 −x 1 +x − 1 −x = + 2 1 −x (1).

Giải: ĐK: 1 0 1 1

x

x x

+ ≥

 ⇔ − ≤ ≤

 − ≥

Đặt x c = ost, 0 t≤ ≤π , khi đó ( ( )3 ( )3)

(1)⇔ 1 sin+ t 1+cost − 1−cost = +2 sint

Trang 9

( )

t

1

2 ost = 1 cost =

2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2

2

Bài toán 3: Giải phương trình (3 2 2+ ) (x= 2 1− )x+3 (*)

Giải: Nhận xét rằng ( 2 1+ )( 2 1− =) 1, ( ) ( ) (2 ) ( )

3 2 2 + x= 2 1 + x ; 2 1 − x= 2 1 + −x

Đặt ( 2 1 + )x= 2t t( > 0) Khi đó ta có phương trình: 2 1 3 1

t

Dễ dàng chứng minh pt trên chỉ nghiệm t ∈ − [ 1;1 ], nên ta đặt t c= os ,α α( ∈[ ]0;π )

Vì [ ]0; ;5 ;7

π π π

  ⇒ pt (1) có 3 nghiệm os ; os5 ; os7

t∈ c π c π c π   Khi đó nghiệm của pt (*) là log 2 1 2 os ;log 2 1 2 os5 ;log 2 1 2 os7

Một số bài tập tự luyện:

 +  − −  =

( 4 m − 3 ) x + + 3 ( 3 m − 4 1 ) − + − = x m 1 0

2 x + 1 − + x 2 x 1 − x = 1

Bài 4: (IMO 1976) Cho f x ( ) = x2− 2 Đặt f x2( ) = f f x ( ( ) ) ; f xn( ) = f f ( n−1( ) x )

Chứng minh rằng pt : f xn( ) = 0 có đúng 2n nghiệm phân biệt







4 ( 2 2 2 )

x y z a b c xyz a x b y c z abc

+ + = + +





1

xy yz zx

 + + =



4 Tính giới hạn của dãy số

Bài toán 1: (Đề nghị Olympic 30-4-2000, tỉnh Đồng Tháp) Cho dãy số được xác định như sau:

x0 = 2 , xn+1 = 2 + xn , ∀ ∈ n ¥ Tìm lim n

→+∞

Giải: Ta có 0 2 2 os ; 1 2 1 2 1 os 2 os 3

  , bằng quy nạp ta chứng minh được rằng

n+2

2 os

2

n

x = c π

Khi đó lim lim 2 os n+2 2 os0 2

2

n

Trang 10

Bài toán 2: Cho dãy số {un} : 1 1 ( )

2 1

n n

n

u

− + Tính u2010

Giải: Đặt 1 2 tan , 0;

2

u = = ϕ ϕ  π

∈ ÷, và chú ý rằng 2 1 tan

8

π

− = Khi đó

2

tan tan

8 tan

8

1 tan tan

8

u

π

ϕ π

ϕ

8

u

ϕ

π ϕ

ϕ

Bằng quy nạp ta chứng minh được tan ( 1) , 1

8

n

u ϕ n π n

Vậy nên

( ) 2010

8

u

π ϕ

ϕ

Bài tập tự luyện:

2

1,

n n

v

n v

v

+







¥ CMR: 2n 2 2n 2

+ < < +

1

3 3 2

x+ = − +x − x a) Cần có thêm điều kiện gì đối với x1 để dãy {xn} gồm toàn số dương

b) Dãy số này có tuần hoàn hay không? Vì sao?

1

2 1

1

, 1, 2,

2

u

n

=







Chứng minh rằng tồn tại duy nhất số A sao cho sãy số {vn} : n ,

n

u

A

5 Ứng dụng trong các bài toán tích phân:

( , 2 2)

f x a −x dx

2 2

t∈ − π π

( , 2 2)

f x x −a dx

c

t∈ π ∪ π π

f x x +a dx

2

t∈ π

÷

 

, a x

a x

2

t=  π

( , )

f x x a x b dx− −

sin

2

t  π

∈  

Bài thí dụ: Tính

1 2 0

1 1

x

+

=

−

Giải: Đặt x c = ost ⇒ dx = -sintdt, đổi cận 0 , 1

x= ⇒ =t π x= ⇒ =t π

Trang 11

( )

2

2 2

2 os

1 ost. sin 2 2sin ost 2 os 1 ost

2

t c

( ) / 2

/ 3

3

t t ππ π

Lớp 12/1 – Trường THPT chuyên Quốc Học – Huế

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,06 MB