Phương trình - Hệ phương trình

Phương pháp* Trừ theo vế của 2 phương trình ta được phương trình dạng tích.. Hệ phương trình đặc biệt Một số hệ phương trình không đưa được về các dạng chuẩn nhưng có thể giải được bằng

Từ phương trình (1) tính x theo y thay vào (2) → tìm được y → tìm được

nghiệm (x,y) của Hệ phương trình

Giải hệ này tìm được S và P

→ x, y là 2 nghiệm của phương trình t2 - St + P = 0

Chú ý: hệ (I) có nghiệm ⇔ Hệ (II) có nghiệm thoả mãn

Phương pháp

* Trừ theo vế của 2 phương trình ta được phương trình dạng tích

* nếu (x0, y0) là nghiệm của hệ thì (y0, x0) cũng là nghiệm của hệ

B Hệ phương trình đặc biệt

Một số hệ phương trình không đưa được về các dạng chuẩn nhưng có thể

giải được bằng các phương pháp khác nhau:

Phương pháp tham số hoá

Phương pháp đánh giá, phương pháp dùng hệ thức Viet mở rộng

Phương pháp dùng phương trình hệ quả, phương pháp đặt ẩn

phụ………

……….Đây là những hệ phương trình giải theo phương pháp đặc biệt chúng ta sẽ

đề cập đến ở phần sau bài viết này

ii các dạng bài tập và phương pháp giải chúng

Phương pháp chung để giải hệ phương trình là người làm Toán cố gắng đưa hệ phương trình về dạng chuẩn để giải chúng

A Phương pháp biến đổi đồng nhất.

Loại 1:Trong hệ có một phương trình bậc nhất với ẩn x,y → ta tìm cách rút y theo x hoặc ngược lại (Dạng 2 phần lý thuyết)

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình

2 2

4 8 2

Và ta có:

2 2

Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2)

Với x # 0 từ (2) → y + 1 = x2x−1 thay vào (1) ta có phương trình:

Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc 2 theo một ẩn (chẳng

hạn ẩn y) Lúc đó ta xem x là tham số và biểu diễn được y theo x bằng cách

4

5 5

x y x

Ta thấy y = 0 không thoả mãn phương trình (1) nên hệ phương trình

tương đương với

2 2

1

4 1

2 1

x

y x y

x

y x y

loại 1: Một phương trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)

phương trình còn lại giúp ta giới hạn được x.y để trên hàm f đơn điệu

Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 mà khi giải thường dẫn đến một trong 2

phương trình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn

Ta được hệ

2 2

1 3

1 3

b a

Nên hàm g(a) nghịch biến và do phương trình (4) có nghiệm a = 0 nên ta

có nghiệm ban đầu của hệ là (x = 1; y= 1)

+

Ví dụ 11 Giải hệ phương trình

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z

x z

3

2

2 9 2

Dấu “ = “ khi x x = =y y 10

 = =

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm như trên

Ví dụ 13 Giải hệ phương trình

3 3

Điều này mâu thuẫn với phương trình (2) có x - 2 và y - 2 cùng dấu

Tương tự với x ≤ 2 ta cũng suy ra điều mâu thuẫn

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x = y = 2

vi các phương pháp khác

1 Phương pháp sử dụng phương trình hệ quả

Ví dụ 13: Giải hệ phương trình

1 2 3

Trừ theo vế của (4) cho (1) → z = 2

Trừ theo vế của (4) cho (2) → x = 1

Trừ theo vế của (4) cho (3) → y = 0

Hệ phương trình có nghiệm: (x; y; z) = (1; 0; 2)

x y z a

xy yz xz b xyz c

Phần iii Các bài toán liên quan

1 Bài toán giải phương trình.

Bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp, ta được bài toán giải phương trình

Đặt 3 2x− = 1 y

Ta có hệ phương trình đối xứng loại 2

3 3



Thì theo vế của 2 phương trình ta được (x- y)(x 2 + y 2 + xy + 2) = 0

Dễ thấy : x 2 + y 2 + xy + 2 > 0 với mọi x, y → x = y

Phương trình có 3 nghiệm như trên

2 Bài toán nghiệm nguyên

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của hệ:

2 2



Lời giải:

Hệ

2 2

Ví dụ 17: Giải hệ phương trình

2 2 2 2 2 2

2 1 2 1 2 1

x

y x

y

z y

z

x z

⇒x, y, z là nghiệm của phương trình.x− x− = 1 0

Đặt x =t nếu không để ý đến điều kiện t ≥0

−

v khuynh hướng phát triển của chuyên đề

Ngoài các dạng toán cơ bản hệ phương trình đối xứng dạng 1, dạng

2, hệ phương trình đẳng cấp đã gặp nhiều trong các tài liệu nâng cao, người

ta viết đề tài này nhận thấy các tác giả ưa thích các dạng toán giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá sử dụng các bất đẳng thức cơ bản sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thích hợp và các phương pháp đặc biệt khác, điều đó đòi hỏi học sinh phải tích cực học tập, tìm tòi, đọc tài liệu, sáng tạo hơn trong cách đọc và luyện tập của mình

⇔(ax + bx + ab)(x + a + b) = abx

⇔(ax + bx + ab)( a + b) + (ax + bx)x + abx = abx

⇔( a + b) (ax + bx + ab) + x2( a + b) = 0

⇔( a + b) (ax + bx + ab + x2) = 0

Đối chiếu điều kiện ta thấy x1, x3 thoả mãn bài toán.

Vậy phương trình có 2 nghiệm 1

3

3 31

4 4 2

x x

0 không là nghiệm của phương trình nên phương trình ⇔

Với t = -3 ta có: x2 + 5x+ = − ⇔ 4 3 x2 + 5x+ = 7 0phương trình này vô nghiệm

Kết luận: tập nghiệm của phương trình là 5 13 ; 5 13

→ (x - 8)4 + (x -6)4 > 16 nên x < 6 không thoả mãn

Với 6 < x < 8 phương trình (1) viết về dạng:

(x - 6)4 + (8 - x)4 = 16

Khi đó (x - 6)4 + (8 - x)4 < (x - 6 + 8 - x)4 = 16

Vậy phương trình vô nghiệm khi: 6 < x < 8

Tóm lại tập nghiệm của phương trình là: {6; 8}

Ví dụ 9 Giải phương trình

x + x+ + x + x+ = − −x x

Lời giải:

Biến đổi phương trình về dạng: (x+ 3) 2 + + 4 (x+ 3) 2 + = 9 25 ( − +x 3) 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình nên chia hai vế của phương

trình cho x6 ta được phương trình tương đương:

5 4 5

áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương ta có:

4 4 4 4

Bài 2: Giải hệ phương trình: 2 2 2

3 3

Bài 4: Giải hệ phương trình:



 + ≥



Tìm nghiệm sao cho x + z đạt Giá trị lớn nhất (Dùng phương pháp đánh giá)

Bài 7: Giải phương trình

(Dùng phương pháp biến đổi tương đương)

Bài 9: Giải phương trình: 48x(x +1)(x3 - 4) = (x4 + 8x + 12)2

(Dùng phương pháp biến đổi tương đương)

Bài 10: Giải phương trình: x4 + x3 + x2 + x + 12 = 0

(Dùng phương pháp đánh giá)