Hệ phơng trình phơng trình đại số
Lý thuyết:
Hệ đối xứng kiểu 1
Hệ đối xứng kiểu 2
Hệ đẳng cấp
Hệ lặp
Một số hệ khác
Các ví dụ
VD1: Một số hệ dạng cơ bản
1) Cho hệ phơng trình
= + + +
= + +
8
) 1 )(
1 (
2
x y x
m y
x xy
a) Giải hệ khi m=12 b ) Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phơng trình
1 1
2
a
x y
x y a
+ =
+ = +
Tìm a để hệ phơng trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Cho hệ phơng trình
1
x xy y
x xy y m
Tìm m để hệ có nghiệm
4) Cho hệ phơng trình
−
= +
= +
2 2
x
a y x
a) Giải hệ khi a=2 b) Tìm GTNN của F=xy+2(x+y) biết (x,y) là nghiệm của hệ
5) Cho hệ phơng trình
+
= +
+
= +
y m x
x m y
2
2
) 1 (
) 1 (
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
6)
=
− +
=
− +
2 2
2 2
x y
y x
7)
= + + + + + +
+
= + +
+
m y
x x
y y
x
y x
1 1
1 1
3 1 1
a) Giải hệ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x
x
y y
(KB 2003)
HD:
Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú y: x>0 , y> 0 suy ra vô nghiệm
Trang 2Bài 3:
= +
= + 35 8
15 2
3 3
2 2
y x
xy y
x HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt
S=2x+y và P= 2x.y
Đs : (1,3) và (3/2 , 2)
Bài 4:
=
+
−
=
−
) 2 ( 1
) 1 ( 3 3
6
6
3
3
y
x
y y
x
x HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hàm số :
f( )t =t3 −3t trên [-1,1] áp dụng vào phơng trình (1)
Bài 5: CMR hệ phơng trình sau có nghiệm duy nhất
+
=
+
=
x
a
x
y
y
a
y
x
2
2
2
2
2
=
−
=
2 2 3
2x x a
y x
xét f(x)=2x3 −x2 lập BBT suy ra KQ
Bài 6:
=
− +
=
− +
2 2
2 2
x y
y
x HD Bình phơng 2 vế, đói xứng loại 2
Bài 7:
+
=
−
=
−
1
2
1 1
3
x
y
y
y
x
x
(KA 2003)
HD: x=y V xy=-1
CM : x4 +x+2=0vô nghiệm bằng cách tách hoặc hàm số kq: 3 nghiệm
Bài 8:
+
=
−
=
−
) 2
(
5
) 1 ( 20
10
2
2
y
xy
x xy
y y
y
x= 5+ 2 = 5 +
Cô si = 5 + y ≥2 5
y x
x2 ≥20 theo (1) x2 ≤20 suy ra x,y
Bài 9:
+ +
= +
−
=
−
2
) 1 (
3
y x y
x
y x y x
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
Bài 10:
=
+
= +
−
+
a
y
x
a y
x
3
2 1
Tìm a để hệ có nghiệm
HD: từ (1) đặt u= x+1,v= y+2 đợc hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phơng trình bậc hai tơng ứng có 2 nghiệm trái dấu
Trang 3Bài tập áp dụng
1)
+
= +
+
= +
) ( 3
2 2
2 2
y x y
x
y y x x
KD 2003
2)
=
− + +
= + +
0 9 5
18 ) 3 )(
2 (
2
2
y x x
y x x x
3)
+ +
= +
−
=
−
2
) ( 7
2 2
3 3
y x y x
y x y
x
HD: tách thành nhân tử 4 nghiệm
4)
+
=
−
=
−
m xy
x
y xy
26
12
2
2
Tìm m để hệ có nghiệm
5)
=
−
=
−
19
2 ) (
3 3
2
y x
y y x
dặt t=x/y có 2 nghiệm
6)
= + +
= + +
6 4
9 ) 2 )(
2 (
x
y x x
x
đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
7)
=
− + +
=
−
− +
4
) 1 ( 2
2 2 2
x
y x y x
đổi biến theo v,u từ phơng trình số (1)
8)
−
= +
= +
2 2
3 3
3
6
19 1
x xy
y
x y
x
Đặt x=1/z thay vào đợc hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
9)
= +
−
= +
3
3 2 2
xy y
x
x
y y
x
HD bình phơng 2 vế
10)
= +
+
= +
78
1 7
xy y xy
x
xy x
y y
x
HD nhân 2 vế của (1) với xy
11)
=
−
−
=
−
−
49 5
56 2
6
2 2
2 2
y xy x
y xy x