Kỹ thuật phân tích phân tử giải hệ phương trình luyện thi đại học

KĨ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1 [Video]... Vậy hệ

KĨ THUẬT PHÂN TÍCH NHÂN TỬ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2

Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

Ví dụ 1 [Video] Giải hệ phương trình 3 2 2 ( 2 2) 2 2

x x y xy x xy y x xy y





 − + = + + − +



Lời giải

ĐK:

2

0

x xy y

x

y y

 − + ≥



+ ≥



 − + ≥



(*)

x x x xy y x x xy y x xy y

0 0

0

x x

≥



≥

(3)

Với y=0 thế vào (2) ta được 2 2

2x + =5 2 5⇔2x + −5 2 5=0 vô nghiệm nên loại

Khi đó (3) ⇔ = ≥x y 0, kết hợp với (2) ta được

2x −2x+ =5 x 8x+ +3 2 x −4x+5 x≥0

2

2

2

0

2

x x

x x

(4)

2

x x

x

x x

 = + ⇒ = +

Đ/s: ( )x y; ={ (2+ 3; 2+ 3 , 2) ( − 3; 2− 3) }

Ví dụ 2 [Video] Giải hệ phương trình

2

,

x y

 + + + = − +



∈



Lời giải

Điều kiện: 3x+ ≥2 0; y≥ −1; 4≥ −x 5 ; 2y x≥ −y 1

Từ phương trình thứ nhất trong hệ ta có:

x+ + y+ = − +x y ⇔ + + +x y x+ y+ = − +x y

2 2

y x

xy x y x y x xy y

y x

x xy y x y

+ ≥





+ ≥

Với x=4y+3 kết hợp 2y+ ≥1 x suy ra 2y+ ≥ =1 x 4y+ ⇔ ≤ −3 y 1⇒ y= −1⇒x= −1 không thỏa mãn điều kiện 3x+ ≥2 0 nên không là nghiệm của hệ phương trình

Với x= y thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: 2 ( )

x + + =x x+ + x+

2

2

1 0

2

x y x

x x

 ≥ −  = =





3

+ + + + + + Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm kể trên

Ví dụ 3 [Video] Giải hệ phương trình ( )

2

x y xy x y x x y







Lời giải

Điều kiện 7

8

x≥ Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với

2 2

2 2

x y y x x y x y

x y y

x y x

 + = +



 + = −



1

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có x3−8x2+9x+ =1 8x− +7 10x−6

( )

3 2

2

2

8

x − + = ⇔ ∈x x Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( ) 191

; 1;1 , 8;

2

 

Ví dụ 4 [Video] Giải hệ phương trình ( ) ( )

x x y y xy







Lời giải:

Điều kiện: ( ) ( 2 )

Phương trình một của hệ tương đương

3 3

x +y + xy+ + − = ⇔x y x+y + + − −x y xy x+ − =y

2

2 2

1

x y x y x y xy x y

x y

x y x y x y xy

x y x y y

+ =





∆ = − − + + = − + + < ∀ ∈ℝ suy ra ( )∗ vô nghiệm

Với y= −1 x thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2

2

x x x







Do đó phương trình ( ) ( )2

i ⇒ x+ = ⇔ = −x ⇒y= ( thỏa mãn điều kiện bài cho ) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) (x y; = −1; 2)

Ví dụ 5 [Tham khảo] Giải hệ phương trình ( )





 − − + = − +



Lời giải:

Điều kiện: x≥0; x+ + ≥y 1 0; 13x2 ≥2y2 −4

Bình phương hai vế phương trình một của hệ, ta có: ( ) ( )2

4y+4 x x+ + + =y 1 9 2 x+ + +y 1 1

1

x

=



TH1 Với x=1 thế xuống phương trình hai trong hệ, ta được: y2 + − −y 3 17−2y2 =0

( ) ( )( ) ( )( )

2

2

17

2

y

TH2 Với y=2 x thế xuống phương trình hai trong hệ, ta được: 2 2 ( )

Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2

2 2 2

1





Do đó từ phương trình ( )i suy ra 2 ( )2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ( ) ( )x y; = 1; 2

Ví dụ 6 [Tham khảo] Giải hệ phương trình

2

2

1

x x

x y x

+ + =







ℝ

Lời giải

Điều kiện: 2

x + + ≥x y y≥

Đặt 2

a=x +x, khi đó phương trình một của hệ trở thành:

a

a y

2 2

2

2 2

2

1 2

i





TH1 Nếu 2

1

x y

x x y y x y x y x y x y

x y

+ =



• Với x+ =y 0 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được: 3y2 +19y+ =8 2 y−2

3y +18y+ + − −9 y 2 2 y− + =2 1 2 y− ⇔2 3y +18y+ +9 y− −2 1 =0 vô nghiệm

• Với x= −y 1 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

3y −19y+27=2 y− ⇔2 3 y −7y+11 +2 y− −3 y−2 =0

2

y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là ( ) 5 5 7 5 5 5 7 5

x y = + +   − − 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

x xy y x y x xy y







Đ/s: ( ) ( ) ( )x y; ={1;1 , 2; 2 }

2

 − = + + +







Đ/s: ( ) ( ) (x y; ={10;1 ; 12; 2) }

Câu 3 Giải hệ phương trình

2 2 2

3

x









Đ/s: ( ) 1 1

x y    

   

Câu 4 Giải hệ phương trình

2

x

y

 − + + + =









Đ/s: ( )x y; ={ (1+ 2; 4 2 2 1+ )( − 2; 4 2 2− ) }

Câu 5 Giải hệ phương trình ( ) 2

2 2

y x y x x xy

x y xy x

 + − − + + =





Đ/s: ( ) ( )x y; = 2; 0

Câu 6 Giải hệ phương trình ( )





Đ/s: ( ) 36 33 31

x y

Câu 7 Giải hệ phương trình

 − − + = − − +





Đ/s: hệ phương trình vô nghiệm

Câu 8 Giải hệ phương trình ( )

,

x y x y x y

x y



∈



Đ/s: ( ) (x y; = − −2; 3)







Đ/s: ( ) ( )x y; = 2; 0

Câu 10 Giải hệ phương trình

2 2

1

y xy x x y

x y x xy y









 + +



Đ/s: ( ) ( )x y; = 1;1







Đ/s: ( ) ( ) 3 1

4 2

x y   

Câu 12 Giải hệ phương trình ( ) 2 ( )







Đ/s: ( ) ( ) (x y; ={10;1 , 18; 2) }

Câu 13 Giải hệ phương trình ( )

x xy y y x x y

 + − = − − +







Đ/s: ( ) ( ) 5 5 5 5 5 5 5 5

x y

  + +   − − 