Đại Số Luyện Thi Đại Học 2010

Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x Tùy theo số nghiệm của phương trình 2 mà ta suy ra được số nghiệm của phương trình 1 III... Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa...  Phương pháp 4: Nh

Chuyên Đề 2 : đại số ltđh 2010

CHUÛ ẹEÀ 1 : PHệễNG TRèNH - HEÄ PHệễNG TRèNH – BAÁT PHệễNG TRèNH

-* -Baứi 1 : PHệễNG TRèNH BAÄC 2 - TAM THệÙC BAÄC HAI

1. Phửụng trỡnh baọc 2 : ax2+ + =bx c 0 ( a 0)≠

Toồng S= x1 + x2 =

b a

−

; Tớch P = x1 x2 =

c a

 ẹieàu kieọn cuỷa nghieọm :

• PTB2 coự 2 nghieọm phaõn bieọt ⇔ a ≠ 0 ; ∆ > 0

• PTB2 coự 2 nghieọm traựi daỏu ⇔ P < 0

• PTB2 coự 2 nghieọm dửụng phaõn bieọt ⇔ ∆ > 0 ; S > 0 ; P > 0

• PTB2 coự 2 nghieọm aõm phaõn bieọt ⇔ ∆ > 0 ; S < 0 ; P > 0

 ẹũnh lyự ủaỷo veà daỏu tam thửực baọc 2

 So saựnh nghieọm tam thửực baọc 2 vaứ moọt soỏ ∝

• f(x)có 2 nghiệm phân biệt chỉ có 1 nghiệm thuộc (α;β)⇔ f(α)f(β) < 0

• f(x) có 2 nghiệm x1 , x2 và

1 2

>0af( ) > 0

(a) Có 2 nghiệm dương ? (b) Có 2 nghiệm trái dấu ? phươngtrình có thể có 2

nghiệm âm được không ?

(2) Tìm m để pt x2 − 2 x + m − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 4

(3) Tìm m để phương trình x2 − 2 mx + 3 m − 2 = 0có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

4 3

5 x1+ x2 =

(4) Tìm m để phương trình:

2(3m 1)x − + 2(m 1)x m 2 0 + − + = có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

1 2

(5) Tìm m để đường thẳng d : y=mx+ −2 2m cắt (C):

2 2 42

y x

(8) Tìm m để hàm số sau thoả tính đơn điệu (a) y=3x3−2x2+mx−4 (i) đồng biến trên R (ii) đồng biến trên (-1;+∞) (b) y mx= 3−3x2+(m−2)x+3 nghịch biến trên R

x nghịch biến trên từng khoảng xác định

(b) y=4mx3−6x2+(2m−1)x+1 đồng biến trên ( 0 ; 2)

(9) Tìm m để hs y x= +3 3x2+(m+1)x+4ma)Đồng biến trên R b) Nghịch biến trên (–1 ; 1)

(10)Chứng minh rằng đường thẳng (d) : 2x +y +m =

0 cắt đồ thị (C)

21

x y x

−

=+ tại 2 điểm A.B thuộc

2 nhánh khác nhau Tìm m để độ dài AB ngắn nhất

(11)Tìm m để (C)

11

x y x

+

=

− cắt (D) : y = mx+1 tại 2điểm phân biệt sao cho

(a) Thuộc 2 nhánh khác nhau (b) thuộc cùng 1 nhánh của (C)

+ −

=

− tại 2 điểm phân biệt thuộc 2 nhánh khác nhau

Bài 2 : PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3 - BẬC 4

I Phương trình bậc ba ax3+ bx2+ + = cx d 0 (1)

.Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)

Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1) Giả sử nghiệm là x = x0

Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế

trái thành nhân tử và đưa pt (1) về dạng tích số :(1 ⇔ (x-x0)(Ax2+Bx+C) = 0

Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).

II Phương trình trùng phươngï:ax4+ bx2 + = c 0 ( a 0 ) ≠ (1)

Cách giải:

 Đặt ẩn phụ : t = x2 (t ≥ 0) Ta được phương trình: at2 + bt + c = 0 (2)

Giải pt (2) tìm t Thay t tìm được vào t = x2 để tìm x

Tùy theo số nghiệm của phương trình (2) mà ta suy ra được số nghiệm của phương trình (1)

III Phương trình bậc 4 qui về bậc 2 bằng phép đặt ẩn phụ Ï

1.Dạng 1 : ax4 + bx2+ = c 0 ( a 0 ) ≠  Đặt ẩn phụ : t = x2

2 Dạng 2 ( x a x b x c x d + )( + )( + )( + ) = k ( k 0 ) ≠ trong đó a+b = c+d

 Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)

3.Dạng 3: ( x a + ) (4+ + x b )4 = k ( k 0 ) ≠  Đặt ẩn phụ:t= x + a b 2 +

4.Dạng 4: ax4+ bx3+ cx2± bx a + = 0 Chia hai vế phương trình cho x2

 Đặt ẩn phụ : t =

1

x x

±

(13)Tìm m để phươngtrình:(x − 2)(x2 − 2mx + 3m− 2) = 0 cĩ 3 nghiệm phânbiệt

(14)Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 +2( m2 + 4m + 1) – 4m (m+1) cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

(15) Tìm m để phương trình x3−2mx2+(2m2−1)x m+ (1−m2) 0= có 3 nghiệmdương phân biệt

(16)Tìm m để đường thẳng y = x cắt đồ thi (C) : y

= x3-3mx2+4m3 tại 3 điểm A,B,C sao choAB=BC

(17)Gọi (D) là đường thẳng qua M(0 ; -1)và có hệsố góc k tìm k để (D) cắt (C) : y = 2x3-3x2-1tại 3 điểm phân biệt

(18)Tìm m để đồ thị (C)

313

y= x − +x m

cắt trụchoành tại 3 điểm phân biệt

0 3

2 3

1 x3 − mx2 − x + m + =

có ba nghiệmphân biệt x1, x2, x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 > 15

(20) Tìm m để (C) y x= 4−mx2+ −m 1 cắt trụchoành tại 4 điểm phân biệt

(21)Cho đồ thị hàm số (C)

4

y= − x + m− x− m+a) Tìm m để (C) cắt trục hoành tại 2 điểm A và B sao cho AB = 4b) Tìm m để đường thẳng (d) y = -2 cắt (C) tại 4 điểm có hoành độ lậpthành một cấp số cộng

(22)Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt:

m x

x4 − 2 2 − 3 =

(23)Tìm a để PTphương trình x4 – ax3 – (2a+1)x2+ ax + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt >1 lớn hơn 1

(24) Giải phương trình bậc 4 đủ bậc

= +

]

(c) x4−x2+2mx m− 2=0 [ Biến thành tích (x2− +x m x)( 2+ −x m) 0= ]

(25)Tìm m để phương trình x4+mx3+2mx2+ =1 0có nghiệm

(26)Tìm m để phương trình 2

2

x x

có nghiệm

(27) Giải phương trình bậc 4 :

(a) x4+5 (x x2 + =1) 6(x+1)2 [ Chia 2 vế cho ( x+1) 2 và đặt

21

x t x

=+ ]

(b)(x2−2x+2)2+3 (x x2−2x+ −2) 10x2 =0 [Chia2vế cho x 2 và đặt

2 2 2

t x

=+ ]

Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ

 Hệ đối xứng loại 1

• Đặt S = x +y và P = xy thay vào hệ đã cho

• Lúc đó x,y là nghiệm của phương trình : X2 – SX + P = 0

• Điều kiện có nghiệm ∆ = S2− 4 P > 0

• Chú ý phương trình có nghiệm đối xứng ( a;b) và (b;a)

 Hệ đối xứng loại 2 : khi hoán vị x, y thì phương trình (1) trở thành

(2) và ngược lại

• Xét hệ khi x = 0

• Khi x ≠ 0 Đặt y = kx , ta được hệ phương trình theo k và x

• Khử x ta được phương trình bậc 2 theo k

• Giải phương trình tìm được k Từ dó suy ra x và y

• Nhận xét : hệ phương trình đẳng cấp chỉ có thể có nghiệm dạng (0 ; y 0 ) ; (x 0 ; y 0 )

(28) 1)  



=

− +

= +

5 2 2

5 22

x

y x

 Hệ phương trình đối xứng lọai 1

(29) 1) 2) 3 3

161

= + +

7

52

2 y xy x

xy y x







= +

= + +

8

2 23

3 y x

xy y x

(34) Tìm m để hệ PT có nghiệm duy nhất

2 1

ĐS : 1) m =1 ;

3 4

2 2

2)

1 1 ( ; )

2 2

± ±

 Hệ phương trình đối xứng lọai 2

(39)Giải hệ phương trình :

23

23

y y x x x y

32

32

2 2

2 2

(a) Giải hệ phương trình khi m = 1

(b) Chứng tỏ hệ có nghiệm với mọi m

(45)Tìm m để hệ PT có nghiệm

( HD: Tìm P để hệ có nghiệm Þ 6 3 6 P 6 3 6- £ £ + )

(47)Tìm GTLN , NN của các biểu thức sau P, Q với

3) A 2x= 2+3xy 4y+ 2 Điều kiện x2- xy 2y+ 2=3

4) B 2x= 2- 2xy y+ 2 Điều kiện x2- 2xy 3y- 2=4

∎ĐS

2 6 2 6 57 30 2 57 30 2 7 65 1) 6 P 3 ; 2) Q ; 3) A ; minB=

ĐS 3 n 0 (1;1) , (-3± 3;-3± 3) + Đặt f(t) =t3-3t đồng biến [-1;1] ⇒

x=y ĐS 2n 0 4 4

1 1 ( ; )

2 2

± ±

+ Đặt u = x-y ; v = xy

ĐS 3n0 (0;0), (2;1), (-1;-2)

x 1 x y 4 y

x 1(x y 2) 1 y

ìï +

ïï + + = ïïïï

íï +

ïï + - =ïïïïỵ Đặt u= x2y+1, v = x+y-2 ĐS (1 ;2) (-2;5)

x xy 2 (2) : x y x xy x y (x xy) 1

ìï - = ï

- + - - = Û íï

- ïỵ

= + = - - =- ĐS : (-1;0) , ( 1;0)

2 2

x(x y) x 3 0 5 (x y) 1 0 x

ìï + + - = ïïï

2

2

42

2

xy

y x y x

⇔

2

0 ) ( )

xy

y x y x

=+

⇔

210

xy

y x

y x

log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )

log ( 1) log (4 2 2 4) log ( ) 1

y=1

x y

α

α α

−

23

5

3232

2 2

y xy

y xy x

<=>

2

2(x 3xy 2y ) 3(5xy 3y ) 5xy 3y 2

ìï - - + = ïí

-ï - ïî

−

)2(23

5

)1(0)5)(

2(

2

y xy

y x y x

Từ (1) có hai trường hợp:

*)TH1: y = 2x thế vào (2) suy ra nghiệm (1;2) (-1;-2).

*)TH2: x = -5y thế vào (2) cho nghiệm (5 1/14;− 1/14) và (-5 1/14; 1/14)

−

25)yx)(

y

x

(

13)yx)(

y

x

(

2 2

2 2

⟺  



= +

−

= +

−

25 ) )(

(

13 ) )(

(

2

2 2

y x y x

y x y x

⇔  



= +

−

=

−

25 ) y x )(

y x

(

1 ) y x

(

2 3

⇔  



±

= +

=

− 5 y x

1 y x

2 y , 3 x

+ HD: Đặt ẩn phụ u = x - y , v = x.y ĐS: (0 ; 0) ; (3 ; 2) , (–2 ; –3)

−+

38923

1432 2

2 2

y x y x

y x y x

−

−

=++

)(7

)(192 2

2 2

2

y x y xy x

y x y

xy x

=+

1

16 6

4 4

y x

=

− +

−

− +

3 2

1 2

) 1 ( 0 ) 2 ( 6 ) 4

( 5 ) 2

y x y x

y x y

x y

x

y x

y x X

3 ( ), 4

1

; 8

3 (

+

=+

+

662

922

2

2 2 3 4

x xy x

x y x x x

23

3x x2

B 0

Giải tiếp phương trình A = t sẽ được x

• Nếu phương trình chứa nhiều căn thức Đặt điều kiện để căn thức có nghĩa Nâng lũy thừa lên để khữ dần căn thức

• A < B ⇔ 0 A < B≤

A 0 < B 0

B < 0 A > B

Phương pháp giải

1) Biến đổi tương đương

2) Biến đổi rồi đặt ẩn phụ

3) Phương trình vô tỉ không mẫu mực

4) Phương pháp đối lập

5) Phương pháp khảo sát hàm

6) Biến vế trái thành tổng các số không âm ( dương)

7) Đoán nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất

8) Đối với hệ PT và hệ BPT ta thường dùng phương pháp thế

2) m>0 3)

3

m v m>12 2

13 )

2)3x 1+ - 3x 1- =6x2- 1 (chia 2 vế cho 3x 1- ) (x=

52

±

)

(58) 1)x2+ x 5 5+ = (Đặt u= x 5+ ) ( x=

1 17 2

(59)Tìm m để phương trình có nghiệm ( Dùng

bảng biến thiên )

4)( ; 4] [12;−∞ − ∪ +∞) 5)

1 8( ; 4] [ ; )

x x x

− − <

− 2)2

3

x x

(66)Cho bất phương trình : mx − x − ≤ + 3 m 1

(a) Giải BPT khi m =

6 20

♦ĐS 1)(2;-1) 2)(3;3) 3)(1;1)

3 1 ( ; )

2 2 B200 2 4 )

5 5 ( ; )

4 4 5)(0;0)

(70)

Giải các hệ phương trình sau :

− −

2 ) ( -4;0)

40 32 ( ; )

41 41

3)(1;8) (7;-7) ;

49 49 ( ; )

64 8

(71) 1)

(i)

1 1

4 2) (4;9),(9;4) 3)(11;11) 4)(0;0), (2;2) 5)(2;2)

(74)Cho hệ phương trình

(a) Giải hệ PT khi m = 9

(b) Tìm m để hệ PT có nghiệm

(75) Tìm m để hệ phương trình sau có

(a) Giải hệ phương trình khi m = 6

(b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

Phương trình - Hệ Phương Trình trong các đề thi

yxyx

15)Tìm m để PT 2 x2 − 4 x − 3 + 2 m x − 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

−

≤+

−

.0163

045

2

2

xmxx

xx

18) (DB-KD-04)Cho phơng trình

.02

43

my

yxx

yx

311

20) (B_2004 ) Xác định m để phong trình sau có nghiệm

22)(A-2004 ) Giải bất phơng trình

myx

có nghiệm duy nhất

40) ( DBKD - 07 )Tìm m để phơng trình

m x

x x

+ a> 1 thì x1>x2 ⇔ ( hàm số y = ax đồng biến )

+ 0<a< 1 thì x1>x2 ⇔ ( hàm số y = ax nghịch biến )

 Phương pháp 1:

• Nếu a >1 và a ≠ 1 không đổi thì :

( ) ( ) ( )

a

f(x) = g(x) b>0 f(x) = log

 Phương pháp 2: lấy logarit 2 vế ( 2 vế khác cơ số )

a f x( )=b g x( ) ⇔ f(x).log a = g(x)logc cb với (a,b,c > 0 ; a,b,c≠1)

 Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ t = ax với t > 0 và a ≠ 1

Chú ý các cặp số nghịch đảo 2 1 ; 2± ± 3 ; 3± 8

 Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm của phương trình

+ Đặt ẩn phụ t = ax với t > 0 và a ≠ 1

+ Dùng tính chất đồng biến, nghịch biến để kết luận phương trình có nghiệm duy nhất

Chú ý : Nếu VP = Hàm dồng biến , VT = Hàm Nghịch biến , hàm hằng số thì

phương trình có một nghiệm duy nhất

(b) Tìm mọi giá trị m để phương trình có đúng 1 nghiệm

(83)Cho phương trình Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

(84)Tìm a để phương trình sau có nghiệm :

V Bài 6 ấn đề 5 : PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG T RÌNH

- - BẤT P HƯƠNG T RÌNH LOGARIT

Tính chất logarit :

• a M = N ⇔ M =logaN ( a> 0 và a ≠ 1 ; M ,N > 0 )

• loga M.N = loga M + loga N

b b

u(x)=aa>0 1 log ( ) log ( ) u(x)>0 v v(x) >0)

2 Bất phương trình logarit

• Nếu a > 1 :log ( ) log ( ) au x > av x ⇔ u(x)>v(x)>0

• Nếu 0 < a< 1 :log ( ) log ( ) au x > av x ⇔ v(x)>u(x)>0

(85)

log log 4

2 (b) log (x − =1) log (x−1)

(c) log (2 x2+3x+ +2) log (2 x2+7x+12) 3 log 3= + 2

(d) log (22 x+1).log (22 x+1+ =2) 6 ( CĐHoáChất2004)

(e) (x+1) log32x+4 logx 3 x−16 0= ( CĐNhaTrang2002 )

(b) Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1 ; 3 3]

(92) Định m để phương trình

22log (2x -x+2m-4m ) log (+ x +mx−2m ) 0=

Có 2 nghiệm x1 và x2 thỏa mản x12+x22 >1 (ĐHYDược 2001)

x x

xy x y

(log x ) 3

2 log x 3 + >

1( ) log log 8 4 (b) ( ) 1

log

2 6 7

( B_ 2008) 4)

0 2 3 log

2 2

x

x x

(D_ 2008)

5)

) 3 ( log 2

1 2 log

6 5

6/

) 1 ( log

1 1

3 2

log

1

3 1 2

2) Tìm m để PT log22x−log2x2+ =3 m cĩ nghiệm x∈ [1; 8].

3) Tìm m để phương trình log 42( x− m ) = + x 1

cĩ đúng 2 nghiệm phân biệt

4) Tìm m để phương trình log32x − ( m + 2).log3x + 3 m − = 1 0 cĩ 2 nghiệm x

1, x2

sao cho x1.x2 = 27

Vấ

Bài 7 n đề 6 : BẤT ĐẲNG THỨC -giá trị lớn nhất – nhỏ nhất

1/ Bất đẳng thức Cauchy ( Côsi ):

• Cho 2 số : a,b 0 : a+b 2 ab≥ ≥

• Tổng quát : Cho n số

2/ Bất đẳng thức Bunnhiacopski :

• Cho 4 số a,b,c,d R : ac+bd ∈ ≤ ( a2 + b )( c2 2+ d )2

Tổng quát : Cho các số a ,a a ; b ,b , b1 2 n 1 2 n∈ R :

Các phương pháp chứng minh BĐT :

• Phép biến đổi tương đương

• Sử dụng BĐT Cô-Si,Bun-nia-cốp-ki

• Phương pháp khảo sát hàm ( dùng bảng biến thiên )

• Dấu của tam thức bậc 2

 Phép biến đổi tương đương

(99) Cho 3 số a ,b , c bất kỳ Chứng minh cácbất đẳng thức

 Phương pháp đạo hàm

(103) Tìm GTLN,GTNN của hàm số

3) y= 1 sin x+ + 1 cos x+ 4) y (1 sin x)= − 4+sin x4

5) 2

cos x 1y

(105) 1) CMR a,b>0 ta có Cho 3 số thực

dương x,y,z sao cho xyz = 1 và n

a+ ≥b a b

+

2) Cho a,b,c ≥0 CMR :(1 a)(1 b)(1 c) (1+ + + ≥ + 3abc)3

3) Cho a,b,c > 0 và a+b+c=1 CMR

 Sử dụng BĐT Bun-nia-cốp-ki

(111) 1)Cho (112)

4) Cho u +v2 2 =x2+y2 =1 CMR : u(x y) v(x y)+ + − ≤ 2

(113) 1) Cho

2 2 1 4x+y 1 CMR : 4x +y

3) (a) Giải phương trình : 2x 1 x− + 2−3x 1 0+ =

(b) CMR ∀a phương trình có nghiệm duy nhất

Trường THPT Cần Đước Giáo Viên Nguyễn Văn Nhương

   Kiên Nhẫn - Tự Tin – Thành Công    

(tháng 162/201006 )