chuyên đề số phức ôn thi đại học

Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình... Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng ph

http://thaytoan.net Số phức

Trang 1

1 Khái niệm số phức

 Tập hợp số phức: C

 Số phức (dạng đại số) : z a bi

(a, bR , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1)

 z là số thực  phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

 u biểu diễn z, u' biểu diễn z' thì u u'

biểu diễn z + z’ và u u  '

 z là số thực  zz ; z là số ảo  z z

6 Môđun của số phức : z = a + bi

Số phức http://thaytoan.net

Trang 2

8 Căn bậc hai của số phức:

 zx yi là căn bậc hai của số phức wa bi  z2 w  2 2

 w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

 w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0)  B24AC

  0: (*) có hai nghiệm phân biệt 1,2

2

B z

A

  

 , ( là 1 căn bậc hai của )

  0: (*) có 1 nghiệm kép: 1 2

Chú ý: Nếu z0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*)

10 Dạng lượng giác của số phức:

 z r (cos isin ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r (cos isin ) , z'r'(cos ' isin ') :

 z z 'rr' cos(    ') isin(  ')  cos( ') sin( ')

 r(cos isin ) n r n(cosn isinn), (nN*)

 cos isinn cosn isinn

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

 Số phức z r (cos isin ) (r > 0) có hai căn bậc hai là:

http://thaytoan.net Số phức

Trang 3

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức

Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a i a





m)

)1)(

21(

3

i i

b i

a 

q) 2 3

4 5

i i

)2()23(

)1()21(

i i

i i

VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình

Bài 1 Giải các phương trình sau (ẩn z):

c) z2z24i d) z2  z 0

e) z 2z  1 8i f) (4 5 ) i z 2 i

i z

h)

i

i z







Bài 5 Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z1, z2 thoả mãn điều

kiện đã chỉ ra:

a)z2mz m  1 0,đk z: 12z22 z z1 21 b) z23mz5i0,đk z: 13z2318

c) x2mx3i0,đk z: 12z22 8

Bài 6 Cho z z1, 2là hai nghiệm của phương trình 1i 2z2(3 2 ) i z  1 i 0 Tính giá

trị của các biểu thức sau:

z

i z

z

25

4

2 2 2

1

2 1

z

i z

z

.25

.55

2 2 2 1

2 1

z

z z

31

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y

Bài 1 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

Bài 2 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

a) z2i là số thực b) z 2 i là số thuần ảo c) z z  9

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức

Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác

Bài 1 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

d)

4sin.4

i

8cos.8

i



Bài 2 Thực hiện các phép tính sau:

a) 3 cos 20 o sin 20i ocos 25o sin 25i o b) 5 cos sin 3 cos sin

c) 3 cos120 o sin120ocos 45o sin 45o

)45sin.45(cos

2

0 0

0 0

i i

2

)3

2sin.3

2(cos

Bài 3 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

i

22

Bài 4 Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos 45o isin 45o b) 2 cos sin

1

335

Bài 6 Chứng minh:

a) sin 5t16sin5t20sin3t5sint b) cos 5t16 cos5t20 cos3t5 cost

c) sin 3t3cos2tsin3t d) cos3t4 cos3t3 cost

Bài 9 Gọi u1; u2là hai căn bậc hai của z1 3 4i và v1; v2 là hai căn bậc hai của

z   i Tính u1 u2 v1 v2?

II ÔN TẬP SỐ PHỨC

Số phức http://thaytoan.net

Trang 8

Bài 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z 2 5  0 b)z2 2 2 z   0 c) z2 4 10 z   0d) z2 5 9 z   0 e) 2z2 3 1 z   0 f) 3z2 2 3 z   0g) (z z z z )(  ) 0 h) z2z20 i) z2 z2

z  i z  i z ie) z  i z  2  2 2  z    0 f) z22iz2i 1 0

g) z2(5 14 ) i z2(12 5 ) 0 i  h) z280z4099 100 i0

i) z(  3 i)26(z 3 i) 13 0  k) z2(cos isin ) z icos sin  0

Bài 12 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2(3 4 ) i x5i 1 0 b) x2(1i x)   2 i 0 c) 3x2  x 2 0

d) x2  x 1 0 e) x  3 1 0

Bài 13 Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a)z3iz22iz 2 0 b) z3(i3)z2(4 4 ) i z 4 4i0

Bài 14 Tìm m để phương trình sau: z i z   22mz m 22m0

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3(3i z) 23z(m i ) 0 có ít nhất một nghiệm thực

Bài 16 Tìm tất cả các số phức z sao cho (z2)(z i ) là số thực

Bài 17 Giải các phương trình trùng phương:

d) 1 sin cos , 0

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 28 Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a) z3(2 2 ) i z2(5 4 ) i z10i0 b) z3(1i z) 2(i1)z i 0

c) z3(4 5 ) i z2(8 20 ) i z40i0

Bài 29 Cho đa thức P z( )z3(3i6)z2(10 18 ) i z30i

z z

z



  , biết z 3 4i là một nghiệm của phương trình

Bài 31 Giải các phương trình sau:

a) z42z3z22z 1 0 b) z42z3z22z 1 0

z   z   z   z  d) z44z36z24z15 0e) z6z513z414z313z2  z 1 0

Bài 32 Giải các phương trình sau:

Chuyên đề: SỐ PHỨC

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

Lời giải:

KẾT THÚC CHUYÊN ĐỀ