Chuyên đề số phức (luyện thi đại học)

1. SỐ PHỨC. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC 1.1. Dạng đại số của số phức • Số phức là biểu thức có dạng trong đó là những số thực và • Kí hiệu: số phức với là phần thực, là phần ảo, là đơn vị ảo. • Tập hợp các số phức kí hiệu là 1.2. Số phức bằng nhau Cho hai số phức và Khi đó, 1.3. Biểu diễn hình học của số phức Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức được biểu diễn bởi điểm 1.4. Mođul của số phức Mođul của số phức là 1.5. Số phức liên hợp Số phức liên hợp của số phức là số phức 1.6. Cộng, trừ số phức Cho hai số phức và Khi đó, 1.7. Phép nhân số phức Cho và Khi đó, 1.8. Phép chia số phức Cho hai số phức và Khi đó, 2. CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2.1. Căn bậc hai của số thực âm Cho là số thực âm. Khi đó, có hai căn bậc hai đối nhau là 2.2. Căn bậc hai của số phức Cho số phức mỗi số phức thoả được gọi là một căn bậc hai của Khi đó, và 2.3. Phương trình bậc hai hệ số thực : ( là một số thực) • Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt • Phương trình có nghiệm thực (nghiệm kép). • Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt 2.4. Phương trình bậc hai hệ số phức: ( là một số phức) • PT có nghiệm kép • PT có hai nghiệm với là một căn bậc hai của 3. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 3.1. Acgumen của số phức 3.1.1. Khái niệm Cho số phức Gọi là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn của số phức Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu tia cuối được gọi là một acgumen của 3.1.2. Nhận xét • Nếu là một acgumen của thì mọi acgumen của có dạng • Acgumen của và sai khác nhau với 3.2. Dạng lượng giác của số phức 3.2.1. Khái niệm Cho số phức Kí hiệu là môđun của và là một acgumen của Khi đó, được gọi là dạng lượng giác của số phức 3.2.2. Chú ý • • 3.3. Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác Cho và Khi đó • • 3.4. Công thức Moa–vrơ 3.5. Căn bậc hai số phức dạng lượng giác Số phức có hai căn bậc hai là và BÀI TẬP 1. Tìm các số thực biết 1.1. 1.2. 1.3. 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức thỏa 2.1. Phần thực của bằng 2.2. Phần ảo của bằng 3 2.3. Phần thực của thuộc khoảng 2.4. Phần ảo của thuộc đoạn 1; 3 2.5. Phần thực và phần ảo của đều thuộc đoạn –2; 2 2.6. là số thực âm 2.7. là số ảo 2.8. là số ảo 2.9. là số thực dương 2.10. là số ảo 2.11. 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. 2.17. 2.18. 2.19. ( là số thực dương cho trước). 2.20. 2.21. 2.22. 3. Thực hiện các phép tính sau 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 4. Cho Tính 5. Tìm phần thực và phần ảo của số phức biết 5.1. 5.2. 5.3. và 5.4. 5.5. 5.6. và 5.7. và phần ảo của bằng 1 6. Giải phương trình sau 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.10. 6.11. 6.12. 6.13. 6.14. 6.15. 6.16. 6.17. 6.18. 6.19. 6.20. 6.21. 6.22. 6.23. 6.24. 6.25. 6.26. 6.27. 6.28. 6.29. 6.30. 6.31. 7. Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa độ trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số 8. Chứng minh rằng 8.1. Phần thực của số phức bằng , phần ảo của số phức bằng 8.2. Số phức là số ảo khi và chỉ khi . 8.3. Số phức là số thực khi và chỉ khi . 8.4. Với mọi số phức z, z¢, ta có và nếu z ¹ 0 thì 9. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta có 10. Chứng minh rằng 10.1. Nếu điểm biểu diễn số phức z thì và từ đó nếu hai điểm theo thứ tự biểu diễn số phức thì 10.2. Với mọi số phức z, z¢, ta có |z.z¢| = |z|.|z¢| và khi z ¹ 0 thì 10.3. Với mọi số phức z, z¢, ta có 11. Chứng minh rằng với mọi số phức z ¹ 1, ta có 12. Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định) 12.1. 12.2. 12.3. 13. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức Tìm số phức được biểu diễn bởi trọng tâm tam giác 14. Gọi là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức thỏa Chứng minh rằng là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi 15. Giả sử là hai nghiệm phương trình với là các số thực và b Tính và theo 16. Cho số phức Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận và làm nghiệm. 17. Chứng minh rằng nếu là một căn bậc hai của thì 18. Các phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao? 18.1. Công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức không. 18.2. Nếu mọi phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực thì có các hệ số là số thực. 18.3. Nếu mọi phương trình bậc hai có các hệ số là số thực thì phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực. 19. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i). 20. Tìm số phức B để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8. 21. Tìm các số thực b, c để phương trình nhận làm nghiệm. 22. Tìm các số thực a, b, c để phương trình nhận và z = 2 làm nghiệm. 23. Dùng công thức khai triển nhị thức và công thức Moavrơ, tính . 24. Cho số phức . 24.1. Tìm các số nguyên dương để là số thực. 24.2. Tìm các số nguyên dương để là số ảo. 25. Các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức Chứng minh rằng 25.1. 25.2. vuông góc khi và chỉ khi 26. Tìm số phức thỏa mãn đồng thời và 27. Giải hệ phương trình hai ẩn phức 27.1. 27.2. 28. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau 28.1. 28.2. 28.3. 28.4. 29. Cho phương trình Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm phương trình đã cho thuộc đường tròn đơn vị 30. Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức là số thực, là số ảo? 31. Viết dạng lượng giác số . Suy ra căn bậc hai số phức BÀI TẬP TỰ RÈN 1. Tìm các số thực x, y sao cho 1.1. 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i 1.2. 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i 2. Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó. 3. Giải phương trình sau trên tập phức 3.1. (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i 3.2. (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. 3.19. 3.20. 3.21. 3.22. 3.23. 3.24. 3.25. 3.26. 3.27. 3.28. 3.29. 3.30. 3.31. 3.32. z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0 3.33. z3iz22iz2 = 0 3.34. z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0 4. Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4. 5. Cho hai số phức . Biết rằng là hai số thực. Chứng tỏ là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực. 6. Chứng minh rằng nếu thì số là số thực. 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 7.1. z = . Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực. 7.2. 7.3. . 7.4. . 7.5. 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20. 8. Thực hiện các phép tính 8.1. 8.2. 8.3. 9. Biết và là hai nghiệm của phương trình . Hãy tính: 9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 10. Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: 10.1. và 10.2. 10.3. 10.4. 10.5. (m là tham số thực) 10.6. 11. Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . 12. Tìm số phức z thoả mãn: . Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị. 13. Tìm số phức z thỏa mãn: 14. Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0. Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình: 15. Chỉ có đúng 1 nghiệm phức 16. Chỉ có đúng 1 nghiệm thực 17. Có ba nghiệm phức. 18. Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết: 18.1.  = 25i 18.2.  = 2i 18.3.  = 19. Trong các số phức thỏa mãn . Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất. CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG 20. (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D) 20.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn . Tìm phần thực và phần ảo của z. 20.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình trên tập . 21. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện . 22. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: và = 25. 23. (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị của biểu thức . 24. (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D) 24.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa: 24.2. Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình 25. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: và là số thuần ảo 26. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa 27. (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A) 27.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa: 27.2. Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa: . Tìm môđun của số phức 28. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối A) 28.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm tất cả các số phức biết 28.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tính môđun của số phức biết 29. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối B) 29.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức biết 29.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 30. (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối D) Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức biết 31. (Đề thi Cao đẳng 2011 – Khối A,B,D) 31.1. Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức thỏa mãn Tính môđun của 31.2. Chương trình Nâng cao (1 điểm) Cho số phức thỏa mãn Tìm phần thực và phần ảo của

- 1 -

1 SỐ PHỨC CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC

1.1 Dạng đại số của số phức

 Số phức là biểu thức có dạng a bi, trong đó a b, là những số thực và

i

 Kí hiệu: số phức z a bi,với a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo

 Tập hợp các số phức kí hiệu là {a bi a| ,b ,i2 1}.

1.2 Số phức bằng nhau

Cho hai số phức z1 a1 b i1 và z2 a2 b i2. Khi đó, 1 2 1 2

z z

b b

1.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trên mặt phẳng Oxy, mỗi số phức z a bi được biểu diễn bởi điểm M a b( ; ).

1.4 Mođul của số phức

Mođul của số phức z a bi là z a2 b2.

1.5 Số phức liên hợp

Số phức liên hợp của số phức z a bi là số phức z a bi.

1.6 Cộng, trừ số phức

Cho hai số phức z1 a1 b i1 và z2 a2 b i2. Khi đó,

1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 )

1.7 Phép nhân số phức

Cho z1 a1 b i1 và z2 a2 b i2. Khi đó, z z1 2 (a a1 2 b b1 2) (a b1 2 a b i2 1)

1.8 Phép chia số phức

Cho hai số phức z1 a1 b i1 và z2 a2 b i z2, 2 0.

Khi đó, 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2

2 2 2

.

z z z a a b b a b a b i

2 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I

2.1 Căn bậc hai của số thực âm

Cho a là số thực âm Khi đó, acó hai căn bậc hai đối nhau là i a| |.

2.2 Căn bậc hai của số phức

Cho số phức w a bi, mỗi số phức z x yi thoả z2 w được gọi là một căn bậc hai của w. Khi đó, x2 y2 a và 2xy b.

2.3 Phương trình bậc hai hệ số thực :

2 4

B AC ( là một số thực)

 0 : Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt

2

B x

A

 0 : Phương trình có nghiệm thực

2

B x

A (nghiệm kép)

 0 : Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt | |

2

B i x

A

2.4 Phương trình bậc hai hệ số phức:

B AC ( là một số phức)

 0 : PT có nghiệm kép

2

B x

A

 0 : PT có hai nghiệm ,

2

B x

A với là một căn bậc hai của .

3 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

3.1 Acgumen của số phức

3.1.1 Khái niệm

Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn của số phức z. Số đo (rađian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z.

3.1.2 Nhận xét

 Nếu là một acgumen của z thì mọi acgumen của zcó dạng

k k

 Acgumen của z và z sai khác nhau k2 với *. 3.2 Dạng lượng giác của số phức

3.2.1 Khái niệm

Cho số phức z a bi 0( ,a b ). Kí hiệu r là môđun của z và là một acgumen của z. Khi đó, z r cos isin được gọi là dạng lượng giác của số phức z.

3.2.2 Chú ý

 r a2 b2 , cos a, sin b

 z 0 z 0(cos isin ).

3.3 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r(cos isin ),r 0 và z r (cos isin ),r 0. Khi đó

 z z. r r cos( ) isin( )

 z r cos( ) isin( ) ,r 0.

3.4 Công thức Moa–vrơ

*

3.5 Căn bậc hai số phức dạng lượng giác

Số phức z r(cos isin ),r 0có hai căn bậc hai là cos sin

BÀI TẬP

1 Tìm các số thực x y, biết

1.1 3 – 2x 2y 1i x 1 – y– 5 i

1.2 (1 2 )x i 3 5 (1 3 )y i

1.3 2x y 2 –y x i x – 2y 3 y 2x 1 i

2 Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn bởi số phức z thỏa

- 3 -

2.3 Phần thực của z thuộc khoảng (1;2)

2.4 Phần ảo của z thuộc đoạn [1; 3]

2.5 Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn [–2; 2] 2.6 z2 là số thực âm

2.7 z2 là số ảo

2.8 1

z i là số ảo

2.9 z i

z i là số thực dương

2.10 2 z i z là số ảo

2.11 z 1

2.12 z i 1

2.13 z i 1

z i

2.14 z z 3 4i

2.15 z2 z2

2.16 z z 3 4

2.17 z z 1 i 2;

2.18 2 |z i| |z z 2 |i

2.19 z k,

z i (k là số thực dương cho trước)

2.20 z 2z 1 i z 3

2.21 z 1

2.22 1 z 2

3 Thực hiện các phép tính sau

3.1

2012

1

i i

3.2

9

5 3 3

1 2 3

i i

3.3 2 3i i 2 4i

3.4 1 i i2 i3 i2012

3.5 1 1 i 1 i 2 1 i 3 1 i 20

4 Cho 1 3

.

, , ,( ) ,1z z z z z .

z

5 Tìm phần thực và phần ảo của số phức z,biết

5.1 z i5 1 3i 7

5.2

10 9

1 3

i z

i

5.3 w i

z

w i và

2

10

1

i

5.4 1 tan

1 tan

i z

i

5.5 cos sin

5.6 2012

2012

1

z w

w và

1 1.

w w

5.7 z 1 và phần ảo của bằng 1

6 Giải phương trình sau

6.1 2 3  i z  z 1

6.2 iz   2 i 0

6.3 3 – 2i z 4 5i 7 3i

6.4 1 3i z – 2 5i 2 i z

6.5 2 1 3

z

6.6 2 i z   4 0

6.7 iz 1z 3iz  2 3i 0

2

i z i iz

i

6.9 z2 z 0

6.10 z2z2 0

6.11 z2   4 0

6.12  3z2  2z  1 0

6.13 2

7z    3z 2 0

6.14 2

5z    7z 11 0

6.15 2

1

z  z

6.16 2

6.17 1

1

z

z

6.18 1

2

z

z

6.19 z4   z2 6 0

6.20 z4  7z2   10 0

6.21 3

1 0

z  

6.22 4

1 0

z  

6.23 4

4 0

z  

6.24 4 3

8z  8z  z 1

- 5 -

2

3

4 z z z 

z

6.26 z2 12 z 3 2 0

6.27 z2   (1 3 )i z 2(1  i) 0

6.28  2  2 

z i z  iz 

6.29 1

2

z

6.30 1

4



















i z

i z

6.31 z2z 2 4z2z  12  0

7 Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều có tâm là gốc tọa

độ trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i.

8 Chứng minh rằng

8.1 Phần thực của số phức z bằng 1

2 z z , phần ảo của số phức bằng 1

2i z z

8.2 Số phức z là số ảo khi và chỉ khi z z.

8.3 Số phức z là số thực khi và chỉ khi z z.

8.4 Với mọi số phức z, z, ta có z  z' z z', zz' z z ' và nếu z  0 thì z' z'

 

   

9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m, ta có i4m  1;i4m1 i i; 4m2   1; i4m3  i

10 Chứng minh rằng

10.1 Nếu điểm M biểu diễn số phức z thì | | | |u  z và từ đó nếu hai điểm A A1, 2 theo

thứ tự biểu diễn số phức z z1, 2 thì A A1 2  z2z1

10.2 Với mọi số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| và khi z  0 thì z' z'

z  z

10.3 Với mọi số phức z, z, ta có z  z' z z'

11 Chứng minh rằng với mọi số phức z  1, ta có

10

1

z

z





12 Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý sao cho biểu thức xác định)

12.1 2 2

( )

z  z

12.2 3 3

( )

z z

z z



 12.3

( ) 1

z z

zz





13 Gọi A B C, , là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức z z z1 2 3, , Tìm số phức được biểu diễn bởi trọng tâm tam giácABC.

14 Gọi A B C, , là ba điểm theo thứ tự biểu diễn số phức z z z1 2 3, , thỏa z1 z2 z3 .

Chứng minh rằng A B C, , là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi

15 Giả sử z z1 2, là hai nghiệm phương trình az2 bz c 0, với a b c, , là các số thực

và a 0.b Tính z1 z2 và z z1 2. theo a b c, ,

16 Cho số phức z a bi. Tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và

z làm nghiệm

17 Chứng minh rằng nếu z là một căn bậc hai của w thì z w.

18 Các phát biểu sau là đúng hay sai? Tại sao?

18.1 Công thức Viét về phương trình bậc hai với hệ số thực vẫn đúng cho phương

trình bậc hai với hệ số phức không

18.2 Nếu mọi phương trình bậc hai z2 Bz C 0 có hai nghiệm là hai số phức

liên hợp không thực thì có các hệ số B C, là số thực

18.3 Nếu mọi phương trình bậc hai z2 Bz C 0 có các hệ số B C, là số thực thì

phương trình có hai nghiệm là hai số phức liên hợp không thực

19 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 4 – i và tích của chúng bằng 5(1 – i)

20 Tìm số phức B để phương trình 2

3 0

z Bz i có tổng bình phương hai nghiệm bằng 8

21 Tìm các số thực b, c để phương trình 2

0

z   bz c nhận z  1 i làm nghiệm

22 Tìm các số thực a, b, c để phương trình z3 az2   bz c 0 nhận z  1 i và z = 2 làm nghiệm

23 Dùng công thức khai triển nhị thức  19

1 i và công thức Moavrơ, tính

19     19 19 19  19

24 Cho số phức 1 1 3

2

24.1 Tìm các số nguyên dương n để w n là số thực

24.2 Tìm các số nguyên dương n để w n là số ảo

25 Các điểm M M1, 2trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z z1 2, Chứng minh rằng

25.1 1 2 1 1 2 1 2

.

2

25.2 OM1 vuông góc OM2 khi và chỉ khi z1 z2 z1 z2

26 Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời 1

1

z

z i và

3

1.

z i

z i

27 Giải hệ phương trình hai ẩn phức

27.1 12 22

4

5 2

27.2 1 22 2

5 5

5 2

28 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau

- 7 -

28.2 cos sin

28.3 sin cos

28.4 1 sin cos , 0

2

i

z kz k Chứng minh rằng các điểm biểu diễn nghiệm phương trình

đã cho thuộc đường tròn đơn vị

30 Hỏi với số nguyên dương n nào, số phức

n

i

i

















3 3

3 3

là số thực, là

số ảo?

31 Viết dạng lượng giác số 1 3

z i Suy ra căn bậc hai số phức .

z

BÀI TẬP TỰ RÈN

1 Tìm các số thực x, y sao cho

1.1 3x + yi = 2y + 1 + (2 – x)i

1.2 2x + y –1 = (x + 2y – 5)i

2 Chứng tỏ rằng với mọi số phức z, ta luôn có phần thực và phần ảo không vượt quá môđun của nó

3 Giải phương trình sau trên tập phức

3.1 (3 + 4i)z + (1 –3i) = 2 + 5i

3.2 (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz

3.3 3z2  7z  8 0

3.4 4

8 0

z  

3.5 4

1 0

z  

3.6  2  

3.7

2

3.8  2 2  2

z   z 

3.9 (1 5 )  i z    10 2i 1 5i

3.10 (3 2 )  i z   1 i 4z

3.11 1 3

1

z i

i

    

3.12 2 3 1 3 2 1

1

i

i

 3.13 ( 2 i 3)z i 2  3 2  i 2

3.14 2 1 3

z

3.15    2

1

z i

i



 3.16 2 3 1 2

z i

3.17   2 2

1

iz i

i



 3.18 2

8(1 ) 12 16 0

z  i z  i

3.19 2  

z  i z i

3.20 2  

iz  i z 

3.21 2  

3.22 x4  6x2  25 0 

3.23 4 2

16 100 0

x  x  

3.24 4 2

3.25 x4  3(1 2 )  i x2    8 6i 0

3.26 4

7 24 0

x   i

3.27 4

28 96 0

x   i

3.28 2

zz

3.29 z 2z  2 4i

3.30 z2  z 0

3.31

2

4 3 1 0

2

z

z z   z  

3.32 z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0

3.33 z3iz22iz2 = 0

3.34 z3+(i3)z2+(44i)z7+4i = 0

4 Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng 3, tích của chúng bằng 4

5 Cho hai số phức z z1, 2 Biết rằng z1z2, z z1 2 là hai số thực Chứng tỏ z z1, 2 là hai nghiệm một phương trình bậc hai với hệ số thực

6 Chứng minh rằng nếu z  w  1 thì số , 1 0

1

z w

zw zw

 là số thực

7 Tìm phần thực và phần ảo của số phức

7.1 z = (xyi) 2  2(xyi) 5  Với giá trị nào của x, y thì số phức trên là số thực 7.2 (1 i) 5

7.3  6

3 i 7.4  8

3 i 7.5 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20

8 Thực hiện các phép tính

(1 2 )  i   (1 2 )i

8.2 2010 2009

(1 i)   (1 i)

8.3 2 2 1 2

9 Biết z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z2  3z  3 0 Hãy tính:

9.1 2 2

1 2

z z

9.2 3 3

1 2

z z

9.3 1 2

2 1

z z

z  z

2  2

- 9 -

10.1 z     2 i z 1 2i và 1 10

10

z  10.2 z i  2

10.3 3 1

3

z i

z i

 10.4 z   z 1 i

10.5 (2 3 )  i z   2i m 0 (m là tham số thực)

10.6 2 z   i z z 2i

11 Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 4z  11 0 Tính giá trị của biểu thức

2

z z A

z z





12 Tìm số phức z thoả mãn: z   2 i 2 Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị

13 Tìm số phức z thỏa mãn: z 1 1, z 3i 1

z i z i

14 Cho phương trình: (z + i)(z22mz+m22m)=0 Hãy xác định điều kiện của tham số

m sao cho phương trình:

15 Chỉ có đúng 1 nghiệm phức

16 Chỉ có đúng 1 nghiệm thực

17 Có ba nghiệm phức

18 Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận  làm nghiệm biết:

18.1  = 25i

18.2  = 2i 3

18.3  = 3 -i 2

19 Trong các số phức thỏa mãn 2 3 3

2

z  i  Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất

CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG

20 (Đề thi Cao đẳng năm 2009 – Khối A, B, D)

20.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thoả mãn

2

(1 i) (2 i z)     8 i (1 2 )i z Tìm phần thực và phần ảo của z

20.2 Chương trình Nâng cao (1 điểm) Giải phương trình 4z 3 7i z 2i

z i

   

 trên tập

21 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối D)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp

điểm biểu diễn các số phức z thoả điều kiện |z  (3 4 ) | 2i 

22 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối B)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thoả: |z   (2 i) | 10 và z z. =

25

23 (Đề thi Đại học năm 2009 – Khối A)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

2 10 0

z  z  Tính giá trị của biểu thức 2 2

A z  z

24 (Đề thi Cao đẳng năm 2010 – Khối A, B, D)

24.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần thực, ảo của số phức z thỏa:

2 3  i z  4 i z   1 3i

24.2 Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Giải phương trình z2   1 i z   6 3i 0

25 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối D)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z thỏa: z  2 và z2 là số thuần

ảo

26 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối B)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu

diễn bởi số phức z thỏa z   1 (1 i z)

27 (Đề thi Đại học năm 2010 – Khối A)

27.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm phần ảo của số phức z thỏa:

2

( 2 ) (1 2 )

z  i  i

27.2 Chương trình Nâng Cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa:

3

(1 3 ) 1

i z

i





 Tìm môđun của số phức ziz

28 (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối A)

28.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết z2 z2 z.

28.2 Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tính môđun của số phức z, biết

(2z 1)(1 i) (z 1)(1 i) 2 2 i

29 (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối B)

29.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z, biết z 5 i 3 1 0.

z

29.2 Chương trình Nâng cao (1 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i z

i

30 (Đề thi Đại học năm 2011 – Khối D)

Chương trình Chuẩn (1 điểm) Tìm số phức z, biết z (2 3 )i z 1 9 i

31 (Đề thi Cao đẳng 2011 – Khối A,B,D)

31.1 Chương trình Chuẩn (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn

2 (1 2 )i z z 4i 20. Tính môđun của z.

31.2 Chương trình Nâng cao (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn

z i z i Tìm phần thực và phần ảo của 1

.

z