Cách giải nhanh môn toán ôn thi đại học

Khi viết phương trình đường thẳng hoặc tiếp tuyến của hàm số nên viết dưới dạng đơn giản nhất, dạng chung như 3.3 Xem y”x0 >0 hay... Khi viết pt tiếp tuyến hàm số có dạng: làm phương p

Cách giải toán

[Đây là phần lý thuyết toán học 3 năm 10, 11, 12 Sơ lược lại 1 chút, còn nhiều phần nữa chưa đưa vô được Chúc các bạn học tốt!]

NHÀ XUẤT BẢN THÔN 1 FC

q



 : là số hạng đầu, công bội q 1

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân u n; (q 1) 1

1 Vài điểm nhỏ cần lưu ý:

1.1 Đồ thị hàm số y=f(x) và y= -f(x) đối xứng nhau qua trục Ox

1.2 Đồ thị hàm số chẵn nhận Oy làm trục đối xứng

1.3 Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

1.4 Từ đồ thị (C): với y= f(x) đồ thị (C1): y= f x 

- Từ đồ thị (C) đã vẽ ta suy ra như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới Ox

 Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox ta thu được đồ thị (C1) cần tìm

1.5 Từ đồ thị (C): với y= f(x) đồ thị (C2): y= ( )





- Từ đồ thị (C) đã vẽ ta suy ra như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị nằm bên phải

 Bỏ phần đồ thị phía bên trái ta thu được đồ thị (C2) cần tìm

1.6 Từ đồ thị (C): với y= f(x) đồ thị (C3): y  f x( )



- Từ đồ thị (C) đã vẽ ta suy ra như sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox

 Lấy đối xứng phần đồ thị nằm phía trên Ox

 Bỏ phần đồ thị phía dưới ta thu được đồ thị (C3) cần tìm

2 Khi viết phương trình đường thẳng hoặc tiếp tuyến của hàm số nên viết dưới dạng đơn

giản nhất, dạng chung như

3.3 Xem y”(x0) >0 hay <0 để kết luận cực trị

3.4 Tìm phương trình tiệm cận xiên lim ( )

x

f x a

3.5 Bảng biến thiên và vẽ đồ thị

3.6 Chỉ ra đồ thị hàm số cắt trục hoành, trục tung tại điểm nào

4 Khi áp dụng định lý Viet nhớ kiểm tra lại điều kiện cần và đủ

5 Khi tìm pt tiệm cận xiên của đths có tham số m tìm điều kiện để tồn tại tiệm cận xiên

( ) ( )

 thì ta có tiệm cận xiên

6 Nếu Phương trình bậc 3 không có nghiệm đặc biệt thì để 2 đồ thị tiếp xúc nhau ta phải

 có nghiệm để điều kiện tiếp xúc

7 Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng, chẳng hạn điểm thuộc đồ thị

8 Khi viết pt tiếp tuyến hàm số có dạng:

làm phương pháp hệ số góc

 Cụ thể phương pháp tiếp điểm: gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm Ta có pt tiếp tuyến:

10 Bài toán yêu cầu xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số có 2 tiếp điểm Gọi tiếp tuyến là

y=ax+b; pt f(x) =ax+b có 2 nghiệm kép phân biệt

 Tìm phương trình hoành độ giao điểm của (H) và (D)

 Tìm điều kiện để (H) và (D)giao nhau tại 2 điểm phân biệt (đó là phương trình hoành độ có 2 nghiệm phân biệt) chú ý a 0

 Tìm giao điểm C của  và D do D

 A, B đối xứng nhau qua mà  D nên C là trung điểm của A, B

 Aïp dụng định lý Viet suy ra m cần tìm

12 Tìm tâm đối xứng của đồ thị (H) là hàm phân thức

- Ta tìm A là giao điểm của tiệm cận

- Chuyển đổi hệ trục tọa độ

- Chứng minh hàm số mới là hàm lẻ

13 Hàm số không có cực đại hoặc cực tiểu  đạo hàm bậc nhất y’ vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Tức là  'y'  0 và y’ =0 có nghiệm kép là   ' 0

14 Tìm nghiệm đặc biệt của hàm số tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số đi qua

15 Đồ thị (C) là hàm bậc 3 thì

  C Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn  thì

max min

'

( ) 0 x

0 0

0 0

0 0

0 0

17 Chứng minh rằng (CMR) trên đồ thị hàm số có vô số cặp điểm sao cho tiếp tuyến với

đồ thị hàm số tại điểm đó song song nhau CMR đoạn thẳng nối các trung điểm, cặp điểm ấy luôn luôn đồng quy

Cách làm:

17.1 Cách 1

17.1.1 Ta chứng minh có vô số cặp điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất của hàm số

bằng nhau tức là chứng minh y’ = k có 2 nghiệm phân biệt (để chứng minh ta phân tích

k ra nhé)

17.1.2 Ta chứng minh các cặp điểm này đối xứng với nhau qua tâm đối xứng của đồ thị

(đối với hàm phân thức) tức là trung điểm của các cặp điểm là tâm đối xứng I

17.2 Cách 2

17.2.1 CMR các cặp điểm đối xứng nhau qua tâm I có tiếp tuyến tại đó song song

17.2.2 Vì I là tâm đối xứng của đồ thị nên có vô số cặp điểm

18 Muốn CM 3 điểm thẳng hàng ta chứng minh chúng có cùng hệ số góc Giả sử:

19 Đồ thị hàm số bậc 2/bậc 1 có giá trị cực tiểu, cực đại mà

 yCĐ.yCT > 0  đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt tức là phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 yCĐ.yCT < 0  đồ thị hàm số y = f(x) không cắt trục hoành tức phương trình f(x) = 0

vô nghiệm

20 Đôi khi việc đặt ẩn phụ yêu cầu phải xác định chính xác vùng giá trị của biến do đó để làm được điều này ta thường dùng đạo hàm để xét rồi suy ra điều kiện của biến

21 Tìm điểm mà đồ thị hàm số không đi qua (hoặc đi qua) với mọi m (m là tham số)

Ta có điểm mà đồ thị hàm số không đi qua với mọi m bao gồm những điểm tại đó hàm số không xác định hoặc đồ thị có điểm cố định A(x A ; y A ) (điểm này đồ thị luôn đi qua với

mọi m – đọc kỹ đề là dễ nhận ra lắm) thì những điểm này là điểm mà đồ thị không đi qua (hoặc đi qua)

22 CM họ đường cong tiếp xúc nhau:

 tìm điểm cố định A(x A ; y A )

 mọi đường cong đều đi qua A(x A ; y A ) k y x'( ) 0 const; m

 Vì k là hằng số do đó mọi đường cong đều có tiếp tuyến chung tại điểm A nên chúng tiếp xúc nhau!

23 Một vài lưu ý:

23.1 Phương trình bậc 3 bao giờ cũng có nghiệm

23.2 Cặp điểm cách đều 2 trục tọa đọ là y0   x0

23.3 Quỹ tích dạng x2+ y2 + 2ax + 2by =C (C>0) là đường tròn tâm O(-a;-b)

23.4 Tìm 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giữa chúng là nhỏ

nhất?

Ta có tiệm cận đứng: x= x0  x1 < x0 < x2

Đặt x1 = x0 – a và x2 = x0 + b  a; b >0

23.5 CM x0 là trục đối xứng và tính duy nhất của nó?

Ta lấy 2 điểm đối xứng nhau qua x0 rồi kiểm tra xem f x( 0 x)  f x( x0 );  x hay không

23.6 CM tâm đối xứng I(xI;yI) và tính duy nhất

Ta c/m nếu x0 + x MXDthì x0 – x cũng MXD  0 0 

0

;2

23.7 Khi gặp hàm số mà ý nghĩ là dùng đến đạo hàm thì hàm số đó phải là 1 ẩn số 23.8 Tìm hệ số góc của đường thẳng qua điểm A(a;b) và điểm B(c;d)

Ta có: Hệ số góc là k d b

23.10 Với hàm phân thức: yêu cầu tìm điểm cố định mà (C) tiếp xúc với đường thẳng cố

định tại điểm đó thì làm theo cách: tìm điểm cố định thuộc (C) rồi viết phương trình đường thẳng cố định ấy!

23.11 Hàm đa thức thì ta tìm tiếp tuyến tổng hợp bằng cách: Gọi A(x0;y0) là điểm mà đường thẳng f(x): y = ax+ b luôn tiếp xúc với (C): g(x) từ đó thay vào hệ phương trình sau để giải: 0 0

'( ) '( )( ) ( )

23.12 Không thể xét dấu y’ do căn thức phức tạp Để giải quyết, ta cho giá trị của ẩn số x

bất kì tại thuộc đoạn đang xét vào y’ Nếu:

 Kết quả cho ra giá trị dương thì y’ > 0

 Kết quả cho ra giá trị âm thì y’ < 0

23.13 Nếu đề yêu cầu 2 cực trị của hàm số nằm về 2 phía của Ox thì: y1.y2 <0 và ngược lại Nếu đề yêu cầu 2 cực trị của hàm số nằm về 2 phía của Oy thì: x1.x2 <0

24 Cm đồ thị hàm số bậc 3 không tồn tại 2 điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc

nhau Xét y’: chú ý nếu: y’>0 x  x x0; 1 sao cho y’(x0).y’(x1) = -1 điều phải c/m

25 Định tham số m để (Cm) cắt Ox lập thành cấp số cộng:

25.1 Hàm bậc 3: y = ax3+ bx2 + cx+d có y’ = 3ax2 + 2bx + c

Để (Cm) cắt Ox lập thành cấp số cộng thì y = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Nếu a> 0: tịnh tiến sang trái a đơn vị Nếu a < 0: tịnh tiến sang phải đơn vị Nếu b> 0: tịnh tiến lên phía trên b đơn vị Nếu b < 0: tịnh tiến xuống dưới đơn vị

26 Muốn đoán trục đối xứng của hàm trùng phương bậc 4 (hàm chẵn), ta tìm trung bình

cộng các nghiệm của phương trình y’ = 0, đó chính là trục đối xứng của đồ thị hàm số đã cho

27 Định giá trị của m (tham số) để hàm số đạt giá trị Max, Min trên đoạn hoặc khoảng đã

cho:

Cách làm: xét f’(x) xem thử f’(x) nhỏ hơn hay lớn hơn không và xảy ra dấu bằng tại vị trí  nào Từ đó suy ra giá trị max, min chính là f() với  điểm thuộc đoạn hoặc khoảng đang xét Ví dụ đoạn ;,…

28 Tìm trên đồ thị (C) cặp điểm đối xứng nhau A, B qua I (a,b) Ta tiến hành như sau:

Thực hiện đổi hệ trục tọa độ

 từ đó suy ra được x,y  cặp điểm A, B

29 Đồ thị (C) của hàm f(x) có tiếp tuyến tại điểm I là đường thẳng d: y= ax + b

 Nếu f(x) < ax +b : đồ thị (C) nằm dưới d

 Nếu f(x) > ax +b : đồ thị (C) nằm trên d

30 Tìm điều kiện để hàm số f(x) có cực tiểu mà không có cực đại:

Ta viết lại f(x) thành (x- ).g(x) = 0 từ đó suy ra để thỏa mãn điều kiện bài toán thì

 G(x) = 0 có nghiệm kép

 G(x) = 0 vô nghiệm

 x =  là 1 nghiệm của g(x) = 0 Trong đó hệ số a của g(x) lớn hơn không

31 Tìm cực trị của hàm lượng giác:

Dùng điều kiện đủ thứ 2, đó là tìm y”(x0) với x0 là nghiệm của pt y’(x) = 0

A B

1 NÓI CHUNG KHI BẮT ĐẦU LÀM TOÁN LOẠI NÀY TIẾN HÀNH NHƯ SAU:

 NHẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀO MÁY TÍNH

 GÁN NGHIỆM ĐẶC BIỆT NHƯ TRÌNH BÀY Ở DƯỚI ĐÂY, KIỂM TRA XEM CÓ BẰNG

0 ?

 CÓ ĐƯỢC NGHIỆM ĐẶC BIỆT BÂY GIỜ TA MỚI VIẾT LẠI PHƯƠNG TRÌNH NÀY!

 VD: viết lại pt như sau: pt (X-1)(3X2+2X- 5) = 0

2 Phương pháp nhân liên hợp

2.1 Dạng 1: ax b  cxd kxh (nhân lượng liên thức  0 )

Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm đặc biệt.(thường là các số nguyên sau: -2; -1; 0; 1; 2 hoặc các số như -1.5; -1.25; -0.75; -0.5; 0.5; 0.75; 1.25; 1.5) Cách dùng máy tính như sau: Nhập cả biểu thức vào máy (chuyển hết về 1 vế rồi nhập) sau đó dùng lệnh Shift+ Solve gán giá trị x = bao nhiêu đó vào (các số như trên) rồi ấn dấu = Nếu cho kết quả bằng 0 thì giá trị x gán vào đó là nghiệm Cách này rất

hiệu quả và tuyệt vời!

Cách làm hoàn toàn tương tự như dạng 1, tuy nhiên, chú ý 1 chút là nếu

cxd  không biết dấu thì ta xét thêm trường hợp cxd  0 trước khi làm

n n

m m

rồi tìm nghiệm của phương trình

4 Dùng phương pháp khảo sát hàm số:

g(x)= f(m) có nghiệm xD  hàm f(m) có T f T g

e) f(x) cắt g(x) tại 1 điểm duy nhất Xét dấu “=” xảy ra bằng cách sử dụng Bất đẳng thức Cosi, Bunhiacopxki, hàm f(u) = f(v)

7 Phương pháp lượng giác hóa:

7.1.1 Khi ẩn x   a a;  đặt

2 2 cos ; 0;

9 Khi giải phương trình căn thức mà 2 vế không thể bình phương hoặc lập phương được (nếu được thì rất khó khăn) ta nghĩ ngay đến việc chia 1 vế phức tạp cho vế đơn giản rồi dùng đạo hàm tìm nghiệm của phương trình này!

10 Đôi lúc phương pháp hệ tọa độ cũng được sử dụng 1 cách linh hoạt, giúp bài toán trở

nên đơn giản hơn Chọn điểm có tọa độ là 1 hàm theo phương trình đã cho,…

11 Chú ý: Khi giải phương trình căn thức, ta hạn chế bình phương 2 vế hoặc 1 vế của

phương trình khi phương trình căn thức đó khá phức tạp (vì như vậy sẽ làm bạn rối hơn) Tuy nhiên không hẳn khi nào cũng loại bỏ phương pháp bình phương này, bạn phải khéo léo, tinh ý khi lựa chọn phương án này (giả sử rút gọn bớt các phần tử bằng cách đặt ẩn phụ), biết đâu nó là chìa khóa để giải toán!

 Ngoài ra còn có các phương pháp sau: cộng trừ vế theo vế (ta tìm BSCNN của 1 trong 2 ẩn ở 2 phương trình của hệ rồi thực hiện cộng-trừ), xem 1 ẩn (giả sử y ) là tham số giải phương trình theo ẩn còn lại (giả sử x), phương pháp đổi biến, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp hệ tọa độ (từ đề bài khéo léo chọn cặp điểm, điểm có tọa độ là hàm theo x, y ),…

( )

u b b

u x f u x dx f u du

Chú ý: khi biến đổi phải xem đổi biến có nghĩa không nếu không mọi tính toán sẽ

u x v x dx x  u x v x dx

Dùng tích phân biến đổi Dùng tích phân từng phần

Khi hàm liên tục [a,b] và có đạo hàm

quan hệ lẫn nhau trong biểu thức hàm

số (chú ý đọc kĩ đề, đánh giá, nhận xét

kết hợp cả so sánh nữa khi làm, không

vội vàng)

cos ( ) sinx ; e

ax a

x

u P x e

arcsinx arccosx

sinx cosx   cosx sinx   (sinx cosx)  đặt ẩn phụ t sinx cosx 

dễ dàng viết lại được như sau: dt2 dt;

t t



 

5 Nếu mẫu hoặc tử có dạng 2 2

ax a x m  trục căn thức ở mẫu hoặc tử

6 Khi không phát hiện được mối quan hệ đạo hàm hoặc không đặt được ẩn phụ 

dùng tích phân toàn phần

7 Gặp dạng (tanx)

cos 2

f

dx x

 hoặc (tanx)

sin 2

f

dx x

2

2 2

sin

2    cos (1 ) cos (1 tan )

cos sin 2 x 2 sinx cosx 2 cos tanx

x

x x

Khi đó đặt t = tanx thì 2

cos

dx dt

x

8 Gặp sinx cosx tanx 1 tan( )

sinx cosx 1 tanx 4 x

 nếu gặp dạng có cos2x, sin2x, sinx.cosx;…thì chia cho cos2x

 nếu gặp dạng n f x( ).m f x( ) đặt . .

ae b thì nhân cả tử và mẫu cho ex (để gọn gàng hơn khi làm)

 nếu gặp dạng p x( ).lnf x( ) với p(x) là hàm đa thức hoặc lượng giác thì đặt

ln ( ) ( )

+ ,m n   lẻ thì nhân cho sinpx p là số nguyên lẻ

+ m n  , chẵn thì 1=sin2x+cos2x  chuyển về tan2 1 1

2cos

 sinx hoặc cosx

 Tích phân mà có cận x 0;1nghĩ ngay đến sint và cost đặt x= sin2t dt = sin2tdt

 tanxdx  ln cosx ; cotxdx ln sinx

 Gặp x3; x4;… tìm cách rút gọn mũ và đặt u hoặc v= x3,x4…

 Gặp lnx, e-x,x e x2,… tìm cách rút gọn và đặt du hoặc dv= lnxdx; dv= e-xdx; dv=

2 x

t

 Gặp sina x.cosb x đặt u = cosx nếu b>a; hoặc u = sinx nếu b<a

 Nếu có mối quan hệ giữa tan2x+ 1 và cos2x thì đặt 2

Vd: ac.cosx d sinx.sinx b .cosx  m(c.cosx d.sinx) c.cosx d sinxn(csinxdcos )x

 Đôi khi biểu thức dưới dấu tích phân là các biểu thức của hàm lượng giác bậc nhất vd:

cosx, sinx,… ta đặt tan

2

x

 Hàm dưới dấu tích phân (hàm bậc nhất) là hàm lẻ (chẵn) thì đặt –t = x

 Hàm dưới dấu tích phân là căn thức f x( ) thì đặt t= f x( )

9 Ứng dụng tích phân tích diện tích, thể tích:

9.1 Diện tích hình thang cong: hàm y = f(x) liên tục trên [a, b] thì tích phân giới hạn bởi

9.6 Thể tích vật thể giới hạn bởi

V g dy quay quanh trục tung

Với hàm số y= f(x) liên tục trên [a, b] và cminf a ,f b  ;

V  f x g x dxquay quanh Ox

9.8 Thể tích vật thể giới hạn bởi

(y)(y)

4 Gặp dạng asinx + bcosx + c = 0; chia 2 vế cho 2 2

a b phương trình này có nhiệm khi

x

y

O g(y) h(y)b

a

6 Gặp dạng tanx + cotx hoặc cosx + sinx thì đặt tanx cotx   t t;  2

hoặc cos sinx t ; cosx sinx 2 sin( ) t 2

4

dạng tanx – cotx thì đặt t  2 cot 2 ;xx

7 Gặp dạng sinx sin  3x cosx hoặc sinx cos  3x cosx có mũ lá mũ bậc 3 và mũ bậc 1 thì chia hai vế phương trình cho cos x3 nếu cos x3 = 0 không là nghiệm phương trình

8 tan 2 1; cot 2 1; tan 3 1

cos 2 x  cos x(1 tan  x)  sin x(cot x 1)  2 cos x   1 1 2 sin x

cosx sinx 2 sin( ) 2 cos( )

3 sinx cosx 2 sin( ) 2 cos( )

2 xy  xy cosx.cosy=1cos( ) cos( )

2 xy  xy cosx + cosy=2 cos cos

Đặt t= tanx thì sin 2 x 2 2; cos 2 1 2

sin x sin x sin x; m n 2

cos x cos x cos x; m n 2

k n

Khi z=0+bi gọi là số ảo hay số thuần ảo

Khi z=0+0i gọi là số vừa thực vừa ảo

Khi z=a+0i gọi là số thực

.

: mô đun số phức

5 Các phép toán trong số phức:

5.1 số phức za bi gọi là số phức liên hợp của z

- nếu z là số thực thì z= z

- nếu z là số ảo thì z=- z

z  a b là mô đun của số phức z  0;   z và z  0 z 0

5.3 Số đối của z =a+bi là z” =-z = -a-bi; a b  ;

5.4 Các phép toán:

6 Quỹ tích số phức: z=a+bi

Cho 2 số phức z=x+yi và z’ =x’+y’i có điểm biểu diễn tương ứng là M và M’ thì

2 2

zz  xx  yy : khoảng cách MM’

6.1 Tập hợp phức: za   b z za trung trực của M1; M2 với M1(a;0); M2(-a;0)

6.2 Tập hợp phức: za blà đường tròn tâm I(a;0) với R=b

- Số 0 có một căn bậc hai là 0

- Số phức khác 0 có đúng 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau

  Phương trình có nghiệm kép là



 Với  ' là số phức có căn bậc hai là

'



10 Các dạng toán

10.1 Dạng 1: tìm căn bậc 2 của số phức đơn giản a rõ ràng có 2 nghiệm là

1 2

.

10.4 Tìm phương trình bậc 2 với hệ số thực nhận  làm nghiệm

Giả sử phương trình bậc 2 dạng Ax2+Bx+C=0 vì  là nghiệm nên A2+B+C=0 ta tiến hành đồng nhất thức được 



10.5 Định lý Viet cho nghiệm phức:cho pt Az2+Bz+C=0 có 2 nghiệm phức là z1 và

z2 lúc đó ta có 1 2

1 2

B

A C

z z A

i

z  r      z z ' r r ' cos( '  ) isin( ' ) Với 2 2

Với n  ;n 1 thì r(cosisin ) n r n(cosnisinn )

10.8.3 Căn bậc 2 số phức dạng lượng giác: số phức zr(cosisin ) (r>0) có 2